高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由.故選：C.3.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，，且，則，則，所以，故選：A4.函數(shù)的最大值是（）A. B.3 C. D.5【答案】C【解析】，由正弦函數(shù)的值域可得其最大值為.故選：C5.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A.3 B. C. D.5【答案】D【解析】由題意可得實(shí)部為，虛部為1，所以.故選：D6.在中，“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.7.如圖，在等腰梯形中，，，，為邊上一點(diǎn)，且滿足，若，則（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】由題可知，故，從而易知．，．故，故選：B．8.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)在角的終邊上，則，，則，，故選：A.9.如圖，正方體的棱長為，點(diǎn)在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動，且滿足，則四面體的體積的最小值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，，所以，點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，圓心角為，且半徑為的圓弧及其內(nèi)部，連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為的中點(diǎn)，且，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，則，所以，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，所以，面積的最小值為，故，即三棱錐體積的最小值為.故選：C.10.在中，，，是的內(nèi)心，若，其中，則動點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，設(shè)內(nèi)角所對的邊分別為，由余弦定理，得.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，所以.故動點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為.故選：B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知，則＝________.【答案】【解析】由，平方可得即，所以.故答案為：.12.已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】3【解析】，所以，所以.故答案為：313.如圖，梯形是水平放置的平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則在平面圖形中，______；圖形的面積為______．【答案】2；3【解析】由斜二測畫法可知；由圖可得梯形的高為，所以梯形的面積，則平面圖形的面積為.故答案為：2；3.14.在水流速度為的河中，要使船以的速度與河岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為______，與水流方向所成的角為______．【答案】20；【解析】如圖，表示水流方向，表示垂直于對岸橫渡的方向，表示船實(shí)際航行的方向，則，由題意知，，所以，且．所以船行駛速度的大小為，與水流方向所成的角為．故答案為：20；．15.已知中，，，若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若在方向上的投影向量為，則的最小值為；③若，則的最大值為；④若，則為定值．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③④【解析】由已知，結(jié)合正弦定理可知，即，①如圖所示，設(shè)中點(diǎn)為，則，即，所以是以為底的等腰三角形，所以，①正確；②如圖所示，若在方向上的投影向量為，則，即，即為直角三角形，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值為，②錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)，即，則，又，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最大值為，③正確；若，即，所以，又，，則，即是以為底的等腰三角形，如圖所示，，所以，④正確；故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知復(fù)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值．解：（1）當(dāng)時(shí)，所以.（2）由為純虛數(shù)知，得，解得.所以．.17.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，所以，，所以，所?18.在中，．（1）求的大?。唬?）若，再從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求邊上中線的長．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．解：（1）在中，可得，所以，由正弦定理，可得，因?yàn)椋?，又因?yàn)榍遥?，所以因?yàn)椋?（2）取中點(diǎn)，則邊上中線為，且，選條件①：當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，可得.選條件③：由的面積為，在中，可得，解得，由余弦定理，可得，所以．若選條件②：由，由函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，此時(shí)，不符合題意19.已知平面四邊形的邊長滿足，且．（1）若，求的大?。唬?）若，求四邊形的面積．解：（1）在中，由正弦定理知，.因?yàn)椋?，且因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，且所以?（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理可得在中，由余弦定理可得所以故四邊形的面積20.如圖，在正四棱錐中，側(cè)棱長為1，記，其體積記為，表面積記為．（1）求的值；（2）求的解析式，并直接寫出的取值范圍；（3）試判斷是否存在最值，并說明理由．解：（1）因?yàn)檎睦忮F中，，所以，設(shè)正方形的中心為，連接，則，則在中，，則，所以；（2），，由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知；（3），因?yàn)椋?，所以，所以，所以不存在最?21.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系.在仿射坐標(biāo)系中，若，記.（1）在仿射坐標(biāo)系中，①若，求；②若，且，的夾角為，求；（2）如圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，分別在軸，軸正半軸上，，分別為中點(diǎn)，求的最大值.解：（1）①因?yàn)椋?，所以；②由，即，得，，，因?yàn)榕c的夾角為，則，得；（2）依題意設(shè)，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，為中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，則，在中依據(jù)余弦定理得，所以，代入上式得，，在中，由正弦定理，設(shè)，則，，其中，是取等號，則.北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由.故選：C.3.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，，且，則，則，所以，故選：A4.函數(shù)的最大值是（）A. B.3 C. D.5【答案】C【解析】，由正弦函數(shù)的值域可得其最大值為.故選：C5.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A.3 B. C. D.5【答案】D【解析】由題意可得實(shí)部為，虛部為1，所以.故選：D6.在中，“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.7.如圖，在等腰梯形中，，，，為邊上一點(diǎn)，且滿足，若，則（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】由題可知，故，從而易知．，．故，故選：B．8.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)在角的終邊上，則，，則，，故選：A.9.如圖，正方體的棱長為，點(diǎn)在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動，且滿足，則四面體的體積的最小值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，，所以，點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，圓心角為，且半徑為的圓弧及其內(nèi)部，連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為的中點(diǎn)，且，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，則，所以，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，所以，面積的最小值為，故，即三棱錐體積的最小值為.故選：C.10.在中，，，是的內(nèi)心，若，其中，則動點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，設(shè)內(nèi)角所對的邊分別為，由余弦定理，得.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，所以.故動點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為.故選：B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知，則＝________.【答案】【解析】由，平方可得即，所以.故答案為：.12.已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】3【解析】，所以，所以.故答案為：313.如圖，梯形是水平放置的平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則在平面圖形中，______；圖形的面積為______．【答案】2；3【解析】由斜二測畫法可知；由圖可得梯形的高為，所以梯形的面積，則平面圖形的面積為.故答案為：2；3.14.在水流速度為的河中，要使船以的速度與河岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為______，與水流方向所成的角為______．【答案】20；【解析】如圖，表示水流方向，表示垂直于對岸橫渡的方向，表示船實(shí)際航行的方向，則，由題意知，，所以，且．所以船行駛速度的大小為，與水流方向所成的角為．故答案為：20；．15.已知中，，，若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若在方向上的投影向量為，則的最小值為；③若，則的最大值為；④若，則為定值．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③④【解析】由已知，結(jié)合正弦定理可知，即，①如圖所示，設(shè)中點(diǎn)為，則，即，所以是以為底的等腰三角形，所以，①正確；②如圖所示，若在方向上的投影向量為，則，即，即為直角三角形，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值為，②錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)，即，則，又，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最大值為，③正確；若，即，所以，又，，則，即是以為底的等腰三角形，如圖所示，，所以，④正確；故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知復(fù)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值．解：（1）當(dāng)時(shí)，所以.（2）由為純虛數(shù)知，得，解得.所以．.17.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以；?）因?yàn)椋裕?，，所以，所?18.在中，．（1）求的大?。唬?）若，再從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求邊上中線的長．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．解：（1）在中，可得，所以，由正弦定理，可得，因?yàn)椋?，又因?yàn)榍遥?，所以因?yàn)?，所?（2）取中點(diǎn)，則邊上中線為，且，選條件①：當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，可得.選條件③：由的面積為，在中，可得，解得，由余弦定理，可得，所以．若選條件②：由，由函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，此時(shí)，不符合題意19.已知平面四邊形的邊長滿足，且．（1）若，求的大??；（2）若，求四邊形的面積．解：（1）在中，由正弦定理知，.因?yàn)椋?，且因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋宜曰?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理可得在中，由余弦定理可得所以故四邊形的面積20.如圖，在正四棱錐中，側(cè)棱長為1，記，其體積記為，表面積記為．（1）求的值；（2）求的解析式，并直接寫出的取值范圍；（3）試判斷是否存在最值，并說明理由．解：（1）因?yàn)檎睦忮F中，，所以，設(shè)正方形的中心為，連接，則，則在中，，則，所以；（2），，由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知；（3），因?yàn)椋?/p>