高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知.故選：C.2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】，則的虛部為.故選：A.3.在中，為線段的靠近點的一個三分點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為為線段的靠近點的一個三分點，所以，所以.故選：B4.若，則（）A. B.2 C.2023 D.2025【答案】A【解析】.故選：A.5.在中，角的對邊分別為，則的外接圓面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，則，所以外接圓半徑，故圓的面積為.故選：D6.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，由于，則，令，則，于是有，整理可得，因為，解得，即，解得.故選：B.7.在中，角的對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則三角形為銳角三角形【答案】B【解析】A：由，錯；B：由，則，又，則，對；C：對于鈍角三角形，若，此時，錯；D：由，則，故，所以為銳角，但不能說明三角形為銳角三角形，錯.故選：B8.已知單位向量、、滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單位向量、、滿足，則，所以，所以，，解得，同理可得，因為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各組向量中，不能作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】對于A，令，則，顯然無解，則向量不共線，故A不合題意；對于B，令，則，顯然無解，則向量不共線，故B不合題意；對于C，令，則，解得，則向量共線，故C符合題意；對于D，令，則，解得，則向量共線，故D符合題意.故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得的圖象與函數(shù)的圖象重合【答案】ABD【解析】對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A對；對于B選項，因為，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B對；對于C選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C錯；對于D選項，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，D對.故選：ABD.11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，則下述正確的是（）A. B. C.是奇函數(shù) D.若，則【答案】ACD【解析】令，則，故A正確；令，則，則，故B錯誤；令，則，所以，又令，則，所以是奇函數(shù)，故C正確；令，則，所以，故D正確；故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.利用斜二測畫法得到的：①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；③菱形的直觀圖一定是菱形.以上結(jié)論正確的是__________.【答案】①【解析】由斜二測畫法規(guī)則知，斜二測畫法保持平行性不變，因此原相交直線，利用斜二測畫法得到的仍是相交直線，三角形的直觀圖一定是三角形，①正確；斜二測畫法中只有平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變，因此正方形、菱形的相鄰兩邊，利用斜二測畫法得到的線段不等，②③錯誤.故答案為：①13.已知向量，則在上的投影向量為__________.【答案】【解析】在上的投影向量為.故答案為：.14.已知，且，則的最小值是__________.【答案】【解析】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.婁底四中校內(nèi)有塊空地，為美化校園環(huán)境，學(xué)校決定將空地建成一個小花園，市園林公司中標(biāo)該項目后須購買一批機器投入施工，據(jù)分析，這批機器可獲得的利潤（單位：萬元）與運轉(zhuǎn)的時間（單位：年）的函數(shù)關(guān)系為.（1）當(dāng)這批機器運轉(zhuǎn)第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（2）當(dāng)運轉(zhuǎn)多少年時，這批機器的年平均利潤最大？解：（1）故當(dāng)時，取得最大值，最大值為45，所以這批機器運轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤45萬元；（2）記年平均利潤為，則14當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.16.已知.（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，求與的夾角的余弦值.解：（1）設(shè)，由題意有，解得或.故的坐標(biāo)為或；（2）由化簡整理得，則，解得，=.17.在中，角的對邊分別為.（1）求.（2）若，求的面積的最大值.解：（1）因為，由正弦定理可得，因為0，所以，，又，所以.（2）因為，由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取的面積的最大值.18.在中，已知分別為上的點，且.（1）求；（2）求證：；（3）若是線段上的動點，滿足均為正常數(shù)，求的最大值.解：（1），，，所以，；（2），所以，所以；（3）因為，由三點共線可得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值.19.已知函數(shù).（1）解方程；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）若函數(shù)在上只有一個零點，求的取值范圍.解：（1）由得，所以，所以，令，解得，所以；（2）定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)；（3）函數(shù)有唯一零點等價于方程有唯一解，即方程有唯一解，整理得，令，即方程有唯一正數(shù)根，①若，此時符合題意；②若，則當(dāng)時，符合題意，當(dāng)時，不合題意，舍去，當(dāng)時，，方程有兩相異實根，符合題意，當(dāng)且時，則，只需，所以(舍去)，綜上，實數(shù)的取值范圍是2或.湖南省婁底市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知.故選：C.2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】，則的虛部為.故選：A.3.在中，為線段的靠近點的一個三分點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為為線段的靠近點的一個三分點，所以，所以.故選：B4.若，則（）A. B.2 C.2023 D.2025【答案】A【解析】.故選：A.5.在中，角的對邊分別為，則的外接圓面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，則，所以外接圓半徑，故圓的面積為.故選：D6.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，由于，則，令，則，于是有，整理可得，因為，解得，即，解得.故選：B.7.在中，角的對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則三角形為銳角三角形【答案】B【解析】A：由，錯；B：由，則，又，則，對；C：對于鈍角三角形，若，此時，錯；D：由，則，故，所以為銳角，但不能說明三角形為銳角三角形，錯.故選：B8.已知單位向量、、滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單位向量、、滿足，則，所以，所以，，解得，同理可得，因為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各組向量中，不能作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】對于A，令，則，顯然無解，則向量不共線，故A不合題意；對于B，令，則，顯然無解，則向量不共線，故B不合題意；對于C，令，則，解得，則向量共線，故C符合題意；對于D，令，則，解得，則向量共線，故D符合題意.故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得的圖象與函數(shù)的圖象重合【答案】ABD【解析】對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A對；對于B選項，因為，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B對；對于C選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C錯；對于D選項，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，D對.故選：ABD.11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，則下述正確的是（）A. B. C.是奇函數(shù) D.若，則【答案】ACD【解析】令，則，故A正確；令，則，則，故B錯誤；令，則，所以，又令，則，所以是奇函數(shù)，故C正確；令，則，所以，故D正確；故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.利用斜二測畫法得到的：①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；③菱形的直觀圖一定是菱形.以上結(jié)論正確的是__________.【答案】①【解析】由斜二測畫法規(guī)則知，斜二測畫法保持平行性不變，因此原相交直線，利用斜二測畫法得到的仍是相交直線，三角形的直觀圖一定是三角形，①正確；斜二測畫法中只有平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變，因此正方形、菱形的相鄰兩邊，利用斜二測畫法得到的線段不等，②③錯誤.故答案為：①13.已知向量，則在上的投影向量為__________.【答案】【解析】在上的投影向量為.故答案為：.14.已知，且，則的最小值是__________.【答案】【解析】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.婁底四中校內(nèi)有塊空地，為美化校園環(huán)境，學(xué)校決定將空地建成一個小花園，市園林公司中標(biāo)該項目后須購買一批機器投入施工，據(jù)分析，這批機器可獲得的利潤（單位：萬元）與運轉(zhuǎn)的時間（單位：年）的函數(shù)關(guān)系為.（1）當(dāng)這批機器運轉(zhuǎn)第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（2）當(dāng)運轉(zhuǎn)多少年時，這批機器的年平均利潤最大？解：（1）故當(dāng)時，取得最大值，最大值為45，所以這批機器運轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤45萬元；（2）記年平均利潤為，則14當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.16.已知.（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，求與的夾角的余弦值.解：（1）設(shè)，由題意有，解得或.故的坐標(biāo)為或；（2）由化簡整理得，則，解得，=.17.在中，角的對邊分別為.（1）求.（2）若，求的面積的最大值.解：（1）因為，由正弦定理可得，因為0，所以，，又，所以.（2）因為，由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取的面積的最大值.18.在中，已知分別為上的點，且.（1）求；（2）求證：；（3）若是線段上的動點，滿足均為正常數(shù)，求的最大值.解：（1），，，所以，；（2），所以，所以；（3）因