高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省長水教育集團2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,則,解得.當(dāng)滿足題意；當(dāng),不滿足集合元素互異性；故.故選：A.2.已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，則直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍，易知直線的傾斜角為.故選:A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，故.故選：D.4.若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為方程表示圓，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.5.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由于圓錐的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的高為，母線長為2r，又軸截面面積為，故，則該圓錐的表面積為，故選：B6.已知向量滿足：，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A.7.過點分別作兩條直線與圓分別相切于A、兩點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，可得圓心，半徑，因為，則，可得，，故.故選:C.8.在正方體中，平面經(jīng)過點B，D，平面經(jīng)過點A，，當(dāng)平面，分別截正方體所得截面面積最大時，平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：因為正方體中過體對角線的截面面積最大，所以題目轉(zhuǎn)化為求平面與平面夾角的余弦值，以D點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1，平面與平面的夾角為，因為平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，同理平面，所以為平面的一個法向量，為平面的一個法向量，A1,0,0，，，，，則.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部為B.C.在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于直線上D.為方程的一個根【答案】BCD【解析】對于A，，故，其虛部為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于直線上，故C正確；對于D，易得，故D正確.故選：BCD.10.如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，，，點O是與的交點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.平面⊥平面【答案】ABD【解析】對于A，因，故A正確；對于B，不妨設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個基底.則依題意：由A可得，，則，則，故B正確；對于C，因，故故C錯誤；對于D，如圖取的中點E，連接，則，因為，E為的中點，所以.又，故有.因為，平面，所以平面,又平面，故平面⊥平面，即D正確.故選：ABD.11.若圓上恰有三個點到直線的距離為2，則的取值可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】將圓的方程化為標準方程為，則圓心為，半徑為4，由于圓的半徑為4，則要使上恰有三個點到直線的距離為2，只需圓心到該直線的距離為2，即，解得，則選項BC正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.學(xué)校組織知識競賽，某班8名學(xué)生的成績（單位：分）分別是65，60，75，78，86，84，90，94，則這8名學(xué)生成績的分位數(shù)是______.【答案】84【解析】8名學(xué)生的成績從小到大排列為：60，65，75，78，84，86，90，94，因為，所以分位數(shù)為第5個數(shù)，即84分.13.過曲線上一點A作平行于兩坐標軸的直線，分別交曲線于點，，若直線過原點，則其斜率為______.【答案】【解析】不妨設(shè)，則，，由題意可得，解得或，經(jīng)過檢驗不符合，故舍去，故其斜率為.14.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象與曲線關(guān)于原點對稱，則______．【答案】【解析】將的圖象向左平移個單位長度，得到圖象對應(yīng)解析式為，若與曲線關(guān)于原點對稱，可得，即，由于不恒等于0，所以，故．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線與直線.（1）當(dāng)為何值時，與平行，并求與的距離;（2）當(dāng)為何值時，與垂直.解：（1）由直線與平行，則，解得，所以此時直線，所以與的距離為.（2）由直線與垂直，則，解得或.16.在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且.（1）若，求；（2）若，求面積的最大值.解：（1）因為，所以由正弦定理得，又，所以，，從而.（2）由余弦定理可知，則，又，故，即，故，即，從而，當(dāng)時取等號，即的面積的最大值為3.17.如圖，在三棱柱中，平面，為線段上的一點．（1）求證:平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）若直線與平面所成角為，求點到平面的距離．（1）證明：連接，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，又平面，故平面；（2）解：因為平面，平面，所以，而，故兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系：則，連接，則，由，故，故直線與直線所成角的余弦值為；（3）解：設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，有，令，則，，即，因為直線與平面所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面的距離為.18.已知圓的半徑為3，圓心在直線：位于第一象限的部分上，一條光線沿直線入射被軸反射后恰好與圓相切.（1）直接寫出的反射光線所在直線的方程；（2）求圓的方程；（3）點是圓與軸的公共點，一條光線從第一象限入射后與圓相切于點A，并與軸交于點，其在點處被直線反射后沿著軸負方向傳播，此時的面積恰好為，求直線的方程.解：（1）設(shè)的反射光線所在直線上任意點為，則該點關(guān)于軸對稱點直線上，所以的反射光線所在直線的方程為：.（2）設(shè)點，而圓與直線相切，且圓半徑為3，則，即，整理得或，又點在第一象限，即，因此，點，所以圓的方程為.（3）由（2）知，點到軸距離為3，即軸與圓相切于點，由一條光線從第一象限入射后與圓相切于點A，并與軸交于點，得點在點的右側(cè)，設(shè)，，則，連接，，，，，，又，整理得，解得，即點，直線的斜率為，由光的反射性質(zhì)知，，則直線的斜率為，直線的方程為，即.19.在以為原點的平面直角坐標系中：過點的直線與圓：交于，兩點，圓：.（1）若，求斜率；（2）若過點存在無窮多對互相垂直的直線和分別與和相交于，和，兩點，和的斜率存在，且，求的值.解：（1）設(shè)Ax1,y1，B聯(lián)立，得，所以得，，解得.（2）由題意可得直線、的方程分別為：，，即：，將圓化為標準方程為：.因為，故有：，化簡得：或，因為過點存在無窮多對互相垂直的直線和，所以關(guān)于的方程有無窮多解，從而有或，解得或，故或2.云南省長水教育集團2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,則,解得.當(dāng)滿足題意；當(dāng),不滿足集合元素互異性；故.故選：A.2.已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，則直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍，易知直線的傾斜角為.故選:A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，故.故選：D.4.若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為方程表示圓，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.5.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由于圓錐的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的高為，母線長為2r，又軸截面面積為，故，則該圓錐的表面積為，故選：B6.已知向量滿足：，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A.7.過點分別作兩條直線與圓分別相切于A、兩點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，可得圓心，半徑，因為，則，可得，，故.故選:C.8.在正方體中，平面經(jīng)過點B，D，平面經(jīng)過點A，，當(dāng)平面，分別截正方體所得截面面積最大時，平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：因為正方體中過體對角線的截面面積最大，所以題目轉(zhuǎn)化為求平面與平面夾角的余弦值，以D點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1，平面與平面的夾角為，因為平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，同理平面，所以為平面的一個法向量，為平面的一個法向量，A1,0,0，，，，，則.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部為B.C.在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于直線上D.為方程的一個根【答案】BCD【解析】對于A，，故，其虛部為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于直線上，故C正確；對于D，易得，故D正確.故選：BCD.10.如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，，，點O是與的交點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.平面⊥平面【答案】ABD【解析】對于A，因，故A正確；對于B，不妨設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個基底.則依題意：由A可得，，則，則，故B正確；對于C，因，故故C錯誤；對于D，如圖取的中點E，連接，則，因為，E為的中點，所以.又，故有.因為，平面，所以平面,又平面，故平面⊥平面，即D正確.故選：ABD.11.若圓上恰有三個點到直線的距離為2，則的取值可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】將圓的方程化為標準方程為，則圓心為，半徑為4，由于圓的半徑為4，則要使上恰有三個點到直線的距離為2，只需圓心到該直線的距離為2，即，解得，則選項BC正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.學(xué)校組織知識競賽，某班8名學(xué)生的成績（單位：分）分別是65，60，75，78，86，84，90，94，則這8名學(xué)生成績的分位數(shù)是______.【答案】84【解析】8名學(xué)生的成績從小到大排列為：60，65，75，78，84，86，90，94，因為，所以分位數(shù)為第5個數(shù)，即84分.13.過曲線上一點A作平行于兩坐標軸的直線，分別交曲線于點，，若直線過原點，則其斜率為______.【答案】【解析】不妨設(shè)，則，，由題意可得，解得或，經(jīng)過檢驗不符合，故舍去，故其斜率為.14.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象與曲線關(guān)于原點對稱，則______．【答案】【解析】將的圖象向左平移個單位長度，得到圖象對應(yīng)解析式為，若與曲線關(guān)于原點對稱，可得，即，由于不恒等于0，所以，故．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線與直線.（1）當(dāng)為何值時，與平行，并求與的距離;（2）當(dāng)為何值時，與垂直.解：（1）由直線與平行，則，解得，所以此時直線，所以與的距離為.（2）由直線與垂直，則，解得或.16.在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且.（1）若，求；（2）若，求面積的最大值.解：（1）因為，所以由正弦定理得，又，所以，，從而.（2）由余弦定理可知，則，又，故，即，故，即，從而，當(dāng)時取等號，即的面積的最大值為3.17.如圖，在三棱柱中，平面，為線段上的一點．（1）求證:平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）若直線與平面所成角為，求點到平面的距離．（1）證明：連接，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，又平面，故平面；（2）解：因為平面，平面，所以，而，故兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系：則，連接，則，由，故，故直線與直線所成角的余弦值為；（3）解：設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，有，令，則，，即，因為直線與平面所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面的距離為.18.已知圓的半徑為3，圓心在直線：位于第一象限的部分上，一條光線沿直線入射被軸反射后恰好與圓相切.（1）直接寫出的反射光線所在直線的方程；（2）求圓的方程；（3）點是圓與軸的公共點，一條光線從第一象限入射后與圓相切于點A，并與軸交于點，其在點處被直線反射后沿著軸負方向傳播，此時的面積恰好為，求直線的方程.解：（1）設(shè)的反射光線所在直線上任意點為，則該點關(guān)于軸對稱點直線上，所以的反射光線所在直線的方程為：.（2）設(shè)點，而圓與直線相切，且圓半徑為3，則，即，整理得或，又點在第一象限，即，因此，點，所以圓的方程為.（3）由（2）知，點到軸距離為3，即軸與圓相切于點，由一條光線從第一象限入射后與