2/30重難點07導(dǎo)數(shù)中的零點問題（舉一反三專項訓(xùn)練）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷、證明或討論零點的個數(shù)】 2【題型2零點問題之唯一零點問題】 3【題型3零點問題之雙零點問題】 3【題型4根據(jù)零點（個數(shù)）情況求參數(shù)范圍】 4【題型5函數(shù)零點的證明問題】 4【題型6多零點的和、差、積與大小關(guān)系問題】 6【題型7隱零點問題】 7【題型8三角函數(shù)的零點問題】 8【題型9導(dǎo)數(shù)中函數(shù)零點的新定義問題】 91、導(dǎo)數(shù)中的零點問題導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點（方程根）問題在高考中占有很重要的地位，是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考?？疾楹瘮?shù)零點的個數(shù)判斷或求參問題，三次函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的零點問題，以及函數(shù)零點與其他知識的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，復(fù)習(xí)是要加強這方面的訓(xùn)練.知識點1導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點問題的解題策略1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=f(x)，把使f(x)=0的實數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點.(2)三個等價關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點的橫坐標?函數(shù)y=f(x)有零點.2．函數(shù)零點的判定如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個也就是f(x)=0的根.我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理.3．函數(shù)零點（個數(shù)）問題的的求解方法(1)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).(2)函數(shù)零點存在定理：利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零點.(3)數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.4．導(dǎo)數(shù)中的含參函數(shù)零點（個數(shù)）問題利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點（個數(shù)）問題主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.5．與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略與函數(shù)零點（方程的根）有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，進而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況.知識點2隱零點問題1．隱零點問題隱零點問題是指函數(shù)的零點存在但無法直接求解出來的問題，在函數(shù)不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合題目中常會遇到涉及隱零點的問題，處理隱零點問題的基本策路是判斷單調(diào)性，合理取點判斷符號，再結(jié)合函數(shù)零點存在定理處理.2．隱零點問題的解題策略在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點，但所述情形都難以求出其準確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個端點的函數(shù)值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設(shè)出其零點是x0.因為x0不易求出(當(dāng)然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點x0叫做隱零點；若x0容易求出，就叫做顯零點，而后解答就可繼續(xù)進行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.【題型1判斷、證明或討論零點的個數(shù)】【例1】（2025·云南紅河·三模）函數(shù)fx=x3?12x+16A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-1】（2025·寧夏銀川·三模）若函數(shù)fx=2x3A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-2】（2025·湖北恩施·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2x?1?ln(1)若點P是函數(shù)y=fx圖象上的一點，求點P到直線l(2)若gx=f(x)+te【變式1-3】（2025·山東淄博·三模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=12時，判斷(2)當(dāng)1<m<3時，判斷函數(shù)y=fx在1?m,+【題型2零點問題之唯一零點問題】【例2】（2025·四川成都·三模）函數(shù)fx=2x?m?lnx有且只有一個零點，則A．1?ln2 B．1+ln2 C．【變式2-1】（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)=ax?x3+ax2?x?1（a>0A．2≤a<e B．32<a<e C．【變式2-2】（2025·云南曲靖·二模）已知函數(shù)fx=ax+A．1 B．1e2 C．1e【變式2-3】（2025·河南·二模）若函數(shù)fx=2x3?3x2A．2,3 B．0,1 C．?1,4 D．?1,0【題型3零點問題之雙零點問題】【例3】（2025·湖南郴州·模擬預(yù)測）已知fx=memx?lnxA．0,1e B．0,1e2 【變式3-1】（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx,x>0?eA．?∞,1e B．1e,【變式3-2】（2025·黑龍江大慶·三模）已知函數(shù)fx=lnx?kx?2A．?e,1e3 B．0,1【變式3-3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=x3?3x+a在區(qū)間0,2A．0,2 B．2,+∞ C．0,1 D．【題型4根據(jù)零點（個數(shù)）情況求參數(shù)范圍】【例4】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=exx，若函數(shù)gA．?∞,?2e B．?∞,?e【變式4-1】（2025·貴州貴陽·一模）已知函數(shù)fx=a+ex,x>0eA．?∞,e B．?∞,?e【變式4-2】（2025·陜西漢中·二模）已知函數(shù)f(x)=?x3?3x2?2x,x≤0A．(14,1e) B．(?2,0]∪{【變式4-3】（2025·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=3?2x+1,x>0,(x+2)2eA．0,1 B．1,4 C．1,4 D．1,+【題型5函數(shù)零點的證明問題】【例5】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點0,f(2)討論fx(3)證明：當(dāng)a≥13時，函數(shù)【變式5-1】（2025·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=e(1)當(dāng)a=0時，證明：f(x)有且僅有一個零點；(2)若曲線y=f(x)與y=g(x)相切．（ⅰ）求a；（ⅱ）當(dāng)x>0時，證明：f(x)≥g(x)．【變式5-2】（2025·浙江金華·三模）已知函數(shù)fx=x?a(1)當(dāng)a=1時，求fx(2)若fx在區(qū)間?1,0上存在零點（ⅰ）求a的取值范圍；（ⅱ）證明：當(dāng)?1<x<0時，fx【變式5-3】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=9cos(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的圖象在x=0處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間?1,π2內(nèi)存在極值點x0(3)證明：當(dāng)0<a<6時，f(x)在區(qū)間?1,3參考數(shù)據(jù)：ln(【題型6多零點的和、差、積與大小關(guān)系問題】【例6】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+1?ax有兩個零點x1A．a(chǎn)>1 B．xC．x1?x【變式6-1】（2025·四川成都·一模）已知函數(shù)fx=lnx2?a2xlnx+aeA．?1e2?e,0 B．?【變式6-2】（2025·湖北·二模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=1時，求曲線y=fx在1,f(2)若fx有兩個不同的零點x1，（?。┣髮崝?shù)m的取值范圍；（ⅱ）證明：x1【變式6-3】（2025·廣東·二模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=2時，求曲線y=fx在點1,0(2)若fx有三個零點x①求m的取值范圍；②判斷x1?x【題型7隱零點問題】【例7】（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，求fx在點π(2)若fx在區(qū)間0,π2【變式7-1】（24-25高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ln（1）若直線y=2x與函數(shù)fx的圖象相切，求實數(shù)a（2）當(dāng)a=?1時，求證：fx【變式7-2】（2025·重慶·三模）已知函數(shù)fx=x?1ex?ax+b，函數(shù)(1)求a，(2)討論fx【變式7-3】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xe(1)求fx在區(qū)間?1,1(2)當(dāng)a≥1時，求證：fx【題型8三角函數(shù)的零點問題】【例8】（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ax+sinx，曲線y=f(x)在(1)證明：函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；(2)設(shè)g(x)=mx3+f(x)，若m≤?【變式8-1】（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若a=1，求fx在0,+(2)若fx在0,2π上恰有兩個零點，求實數(shù)【變式8-2】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時，求fx在區(qū)間0,(2)當(dāng)x∈0,π2，a=?【變式8-3】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=2時，求曲線y=fx在點π(2)若a>0且函數(shù)fx在0,π上沒有零點，求實數(shù)【題型9導(dǎo)數(shù)中函數(shù)零點的新定義問題】【例9】（2025·河南許昌·模擬預(yù)測）對于函數(shù)y=f(x)，x∈D1和y=g(x)，x∈D2，設(shè)D1∩D2=D，若對任意的x1，(1)判斷函數(shù)f(x)=sinx，x∈(0,π2)(2)若函數(shù)f(x)=1x2+2lnx?2與y=g(x)“具有性質(zhì)H(1)”，且函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,+∞(3)已知函數(shù)f(x)=xlnx，x∈(0,1)，g(x)=x，求證：函數(shù)y=f(x)與y=g(x)“具有性質(zhì)【變式9-1】（2025·湖北武漢·一模）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則稱fx為區(qū)間D上的凹函數(shù)；若f′x在區(qū)間(1)若fx在2,3上為凹函數(shù)，求實數(shù)λ(2)已知Fx=fx?1，且Fx在【變式9-2】（24-25高二下·甘肅臨夏·期末）給出定義：設(shè)f′x是函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)，f″x是函數(shù)f′x的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″x(1)若4,f4是函數(shù)fx的“拐點”，求a的值和函數(shù)(2)若函數(shù)fx的“拐點”在y軸右側(cè)，討論f【變式9-3】（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)fx在x=0處的m,n階帕德近似定義為：Rx=a0+a1x+?+amxm1+b1x+?+bnxn，且滿足：f0=R0，f′(1)求實數(shù)a，b的值；(2)比較fx與R(3)若?x=mfx?1一、單選題1．（2025·天津河北·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=lnA．0 B．1 C．2 D．32．（2025·山東青島·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=x21?A．?∞,0 B．?∞,1 C．3．（2025·湖南益陽·三模）若函數(shù)f(x)=?alnx+x2?1A．?∞,1 C．0,1∪1,+∞4．（2025·江蘇常州·模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=(x?5)ex+A．1 B．3 C．5 D．75．（2025·江西鷹潭·二模）已知函數(shù)f(x)=2?2ex+1，若方程f(aeA．(0,6e3) B．(0,2e6．（2025·廣西河池·二模）關(guān)于函數(shù)fx=?xA．函數(shù)fx沒有零點 B．函數(shù)fC．函數(shù)fx至少有1個零點 D．函數(shù)f7．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xex?a有兩個零點xA．x1+2eC．x1+2ex2<?38．（2025·四川南充·一模）已知函數(shù)f(x)=lnx?2x+2?m（0<m<3）有兩個不同的零點x1，x2（①x2x1<e2m

②xA．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2025·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=xex?A．當(dāng)a=0時，f(x)在(?1,+∞B．當(dāng)a<0時，fC．當(dāng)a>0時，f(x)有一個零點D．f(x)最多有兩個不同的零點10．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnA．存在負數(shù)k，使得fx沒有零點 B．若fx恰有2C．若fx恰有1個零點，則k=?e D．當(dāng)0<k<e?3時，11．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x?1A．?a∈R，使得fxB．當(dāng)a=3時，fxC．若fx有三個不同的零點x1、x2、D．若fx有三個不同的零點x1，x2，x3三、填空題12．（2025·四川德陽·一模）若關(guān)于x的方程lnx+1+mx=1有且僅有兩個實根，則實數(shù)m13．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xex?a,x<a,2?x?2a,x≥a14．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx?ax有2個零點x1，x2，且四、解答題15．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=a(1)求fx(2)討論fx16．（2025