2/30專題1.4基本不等式及其應(yīng)用（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1基本不等式及其應(yīng)用】 3【題型2直接法求最值】 4【題型3配湊法求最值】 6【題型4常數(shù)代換法求最值】 7【題型5消元法求最值】 8【題型6齊次化求最值】 10【題型7多次使用基本不等式求最值】 11【題型8基本不等式的恒成立、有解問題】 13【題型9利用基本不等式解決實(shí)際問題】 15【題型10基本不等式與其他知識交匯】 171、基本不等式及其應(yīng)用考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程

(2)會用基本不等式解決最值問題

(3)理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用2022年I卷：第12題，5分2023年新高考I卷：第22題，12分2025年北京卷：第6題，4分2025年上海卷：第8題，5分基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運(yùn)用.知識點(diǎn)基本不等式1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．3．常見的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.4．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型1基本不等式及其應(yīng)用】【例1】（2025·北京·高考真題）已知a>0,b>0，則（

）A．a(chǎn)2+bC．a(chǎn)+b>ab D．【解題思路】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.【解答過程】對于A,當(dāng)a=b時，a2對于BD，取a=12,b=1a對于C，由基本不等式可得a+b≥2ab故選：C.【變式1-1】（2025·陜西寶雞·二模）設(shè)a，b∈R，則“a+b≥2”是“a2+A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由基本不等式結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【解答過程】若a+b≥2，則a2+b若a2+b2≥2所以“a+b≥2”是“a2故選：C.【變式1-2】（2025·全國·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（

）A．a(chǎn)b≤14 C．1a+1【解題思路】根據(jù)基本不等式逐項判斷ABD，消元，化簡，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷C.【解答過程】因?yàn)閍>0，b>0，且a+b=1，由基本不等式可得ab≤a+b22由基本不等式知a+b2≤a即a2+b由題得1a由已知0<b<1，故1?b2∈故1a由基本不等式可得a+即a+b≤故選：D.【變式1-3】（2025·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，設(shè)AD=a，BD=b，用該圖形能證明的不等式為（

）．A．a(chǎn)+b2≥abC．a(chǎn)+b2≤a【解題思路】由△ABC為等腰直角三角形，得到OC=a+b2，OD=OB?BD，然后在Rt△OCD【解答過程】解：由圖知：OC=1在Rt△OCD中，CD=O所以O(shè)C≤CD，即a+b2故選：C.【題型2直接法求最值】【例2】（24-25高一上·重慶·期末）函數(shù)y=3x+1xx>0A．4 B．5 C．32 D．【解題思路】利用基本不等式即可得解.【解答過程】因?yàn)閤>0，所以y=3x+1當(dāng)且僅當(dāng)3x=1x，即則y=3x+1xx>0故選：D.【變式2-1】（24-25高一上·廣東河源·階段練習(xí)）已知a>0，則a+1a的最小值是（A．?1 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)基本不等式可求最小值.【解答過程】因?yàn)閍>0，所以a+1當(dāng)且僅當(dāng)a=1a，即所以a+1a的最小值是故選：C.【變式2-2】（24-25高二上·云南昭通·階段練習(xí)）若x>0，則y=(1?x)8?2xA．?2 B．0 C．1 D．2【解題思路】將式子利用多項式乘以多項式展開，再利用基本不等式求解即可.【解答過程】因?yàn)閤>0，所以y=(1?x)=10?≤10?2=10?8=2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=8x，即所以y=(1?x)8?故選：D.【變式2-3】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零實(shí)數(shù)，則y2x2A．6 B．12 C．2 D．4【解題思路】由基本不等式即可求解.【解答過程】y2當(dāng)且僅當(dāng)y2即y=所以y2故選：A.【題型3配湊法求最值】【例3】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）若a>1，則4a+1a?1的最小值為（A．4 B．6 C．8 D．無最小值【解題思路】將式子配湊成4(a?1)+1【解答過程】若a>1，則4a+1當(dāng)且僅當(dāng)4a?1=1a?1，即故選：C．【變式3-1】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知x∈0,+∞，則y=x+1A．2 B．2 C．22 D．【解題思路】變形應(yīng)用基本不等式求解即可.【解答過程】由x∈0,+∞，得又y=x+1當(dāng)且僅當(dāng)2x+12=1故選：A.【變式3-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y=x3?2x的最大值為（

A．3 B．94 C．92 【解題思路】根據(jù)基本不等式可得最值.【解答過程】當(dāng)0<x<32時，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3?2x，即x=3當(dāng)x≤0或x≥32時，綜上所述y=x3?2x的最大值為9故選：D.【變式3-3】（2025·河北石家莊·一模）已知x∈0,4，則fx=A．493 B．172 C．193【解題思路】利用基本不等式來求得正確答案.【解答過程】x∈0,4f=1417+當(dāng)且僅當(dāng)4?xx故選：D.【題型4常數(shù)代換法求最值】【例4】（2025·河南·三模）若a>0，b>0，且a+b=1，則?1a?A．?9 B．?7 C．?5 D．?3【解題思路】根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式求出1a【解答過程】因?yàn)閍>0，b>0，且a+b=1，所以1a+4當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab，a>0，b>0，即所以?1a?故選：A.【變式4-1】（2025·山東·模擬預(yù)測）設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1，則(a+1)2+bA．372 B．17 C．8+45【解題思路】代入a+2b=1，再由基本不等式即可求解；【解答過程】由題意知(a+1)2當(dāng)且僅當(dāng)4ab=5b因此，(a+1)2+b故選:C.【變式4-2】（2024·江蘇宿遷·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，則3a+6A．9 B．18 C．24 D．27【解題思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值．【解答過程】由a>0,b>0,a+2b=3，得3≥13(15+26ab所以3a故選：A.【變式4-3】（2025·福建泉州·二模）若x≥0，y≥0，且1x+1+12x+4y=1A．2 B．3 C．4 D．8【解題思路】分析可知，x+1≥1，2x+4y>0，將代數(shù)式x+1+2x+4y與1x+1【解答過程】因?yàn)閤≥0，y≥0，則x+1≥1，2x+4y≥0，由題意可知2x+4y≠0，則2x+4y>0，3x+4y=3x+4y+1=2+x+1當(dāng)且僅當(dāng)x+12x+4y=2x+4y所以3x+4y的最小值是3.故選：B.【題型5消元法求最值】【例5】（2025·陜西寶雞·二模）已知正數(shù)x,y滿足x+1y=1，則1A．2+22 B．6 C．42 【解題思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.【解答過程】由x+1y=1可得xy=y?1，因x>0,y>0于是1x因1y?1+2(y?1)≥21即y=1+22，x=2?1時，故選：D.【變式5-1】（2024·山西·三模）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x2+3xy?2=0，則2x+y的最小值為（A．2103 B．103 C．2【解題思路】根據(jù)題意分析可知2x+y=5x【解答過程】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x2+3xy?2=0，則則2x+y=2x+2當(dāng)且僅當(dāng)5x3=2所以2x+y的最小值為210故選：A.【變式5-2】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足mn=2，則1m+2A．22 B．3 C．32 【解題思路】利用基本不等式可得最值.【解答過程】根據(jù)題意，mn=2，可得n=2則1m設(shè)1m+m=t，則t≥2，原式為當(dāng)且僅當(dāng)t=3故選：C.【變式5-3】（2025·河南·模擬預(yù)測）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足2c2?bc+2b2?1A．4 B．92 C．5 D．【解題思路】由題意得a=12c2?bc+2b2【解答過程】依題意，由2c2?bc+2所以abc=bc當(dāng)且僅當(dāng)cb=b則代入2c2?bc+2b2?1因此1c當(dāng)且僅當(dāng)b=23時取等號，所以當(dāng)a=34，b=23，故選：B.【題型6齊次化求最值】【例6】（24-25高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1，則x2+yxyA．122 B．22 C．1【解題思路】將目標(biāo)式整理為齊次式，再結(jié)合均值不等式即可求得結(jié)果.【解答過程】x2+yxy=x2則xy+2yx+1≥2故x2+yxy故選：D.【變式6-1】（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=2，則x+6y+6xy的最小值為（

A．12 B．3+22 C．252 【解題思路】借助“1”的活用將分式其次化后結(jié)合基本不等式計算即可得.【解答過程】由x+y=2，則x+6y+6=4當(dāng)且僅當(dāng)2xy=9y2x，即故選：C.【變式6-2】（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知x≥32，則2xA．7+63 B．C．7+43 D．【解題思路】先變形已知2x【解答過程】2x∵x≥3∴2x?1當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=6故2x2+3x+1故選：C.【變式6-3】（24-25高三上·山西·期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y=3，則x2+3yxyA．22+1 B．4 C．4【解題思路】由條件可得x2【解答過程】由題意知x2當(dāng)且僅當(dāng)x+2y=3，且xy=2yx，即x=即x2+3yxy故選:A.【題型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2025·天津紅橋·一模）已知a>0,b>0，則1a+aA．42 B．22 C．4【解題思路】利用基本不等式即得.【解答過程】因?yàn)閍>0,b>0，所以1a當(dāng)且僅當(dāng)1a=a4b所以1a故選：D.【變式7-1】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【解題思路】先根據(jù)基本不等式求出92a+2【解答過程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.因?yàn)?2a+2當(dāng)且僅當(dāng)9b2a=2a所以，a+b2當(dāng)且僅當(dāng)2a=3ba+b=92a所以，a+b≥3故選：D.【變式7-2】（2025·全國·模擬預(yù)測）已知a為非零實(shí)數(shù)，b，c均為正實(shí)數(shù)，則a2b+aA．12 B．24 C．22【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【解答過程】因?yàn)閍為非零實(shí)數(shù)，a2>0，b，則a=1當(dāng)且僅當(dāng)4a2=b2則a2b+a故選：B．【變式7-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知x>?1，y>0，z>0，2x+3y+z=2，則1x+1+1A．72+6 B．7+62 【解題思路】結(jié)合條件可得41【解答過程】因?yàn)?x+3y+z=2，所以2x+1所以4所以41又2x+1y+6x+1z+9yz+z所以41x+1+1y+3所以1x+1+1故選：A.【題型8基本不等式的恒成立、有解問題】【例8】（2025·吉林延邊·一模）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y?12xy=0，且不等式x+y?a>0恒成立，則aA．a(chǎn)<2 B．a(chǎn)<8 C．a(chǎn)<6 D．a(chǎn)<4【解題思路】對題目等式變形得1x【解答過程】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足x+y?12xy=0則：x+y=2(x+y)1當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時取等號，因?yàn)椴坏仁絰+y?a>0恒成立，所以a<8．故選：B．【變式8-1】（2024·浙江寧波·一模）不等式x2?ax?1x?b≥0對任意x>0恒成立，則A．22?2 B．2 C．22【解題思路】先由題意得到x=b是x2?ax?1=0的一個根，從而得到a,b之間的關(guān)系式為【解答過程】由題意可得，需滿足x=b是x2即b2?ab?1=0，且b>0，所以a2當(dāng)且僅當(dāng)2b2=所以a2+b故選：A.【變式8-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知x>0,y>0，且x+y=5，若4x+1+1y+2≥2m+1A．?∞,116 B．?∞,【解題思路】由已知條件得出x+1+y+2=8，將代數(shù)式4x+1+1y+2【解答過程】因?yàn)閤>0，y>0，且x+y=5，則x+1+y+2=8，則y+2x+1所以4≥1當(dāng)且僅當(dāng)4y+2即當(dāng)x=133，y=23時，所以因?yàn)?x+1+1y+2≥2m+1所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞故選：A.【變式8-3】（24-25高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x>32，y>3，不等式k2x?3y?3≤8A．12 B．24 C．23 D．【解題思路】原不等式可轉(zhuǎn)化為4x2y?3【解答過程】由x>32，y>3變形可得2x?3>0，令a=2x?3>0，b=y?3>0，則k2x?3y?3≤8x3其中4x當(dāng)且僅當(dāng)a=3b=3ba=a所以不等式4x2y?3故選：B.【題型9利用基本不等式解決實(shí)際問題】【例9】（2025·江西·模擬預(yù)測）在生物界中，部分昆蟲會通過向后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵.已知某類昆蟲在水平方向上速度為v（單位：米/秒）時的跳躍高度H（單位：米）滿足v2=4HA．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米【解題思路】求出H=v【解答過程】由v2=4H1?Hv故H=v當(dāng)且僅當(dāng)v2=2即故選：A.【變式9-1】（2025·廣西·一模）現(xiàn)使用一架兩臂不等長的天平稱中藥，操作方法如下：先將100g的砝碼放在天平左盤中，取出一些中藥放在天平右盤中，使得天平平衡；再將100g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些中藥放在天平左盤中，使得天平平衡.則兩次實(shí)際稱得的藥品總重量（

）A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能【解題思路】用平衡條件得出x的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可得答案.【解答過程】設(shè)天平左臂長為m，右臂長為n，m,n>0且m≠n，左盤放的藥品為x1克，右盤放的藥品為x則100m=nx2mx=x當(dāng)且僅當(dāng)m=n時，取到等號，而m≠n，所以x>200.故選：B.【變式9-2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元(m≠n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為a1,aA．a(chǎn)1=a2 B．a(chǎn)1<a【解題思路】由題意求出a1【解答過程】由題意得a1=200因?yàn)閙>0,n>0,m≠n，故m+n2>mn即a1故選：B.【變式9-3】（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）如圖所示的“大方圖”稱為趙爽弦圖，它是由中國數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書之中.他用數(shù)學(xué)符號語言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a，b斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）.則a+b2=4ab+b?a2，a+b2=2cA．9 B．18 C．27 D．36【解題思路】根據(jù)題意可得a+b=6,a>0,b>0，結(jié)合基本不等式即可得a2【解答過程】由題可知a+b=6,a>0,b>0，則a+b≥2ab，即6≥2ab，所以ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)又“趙爽弦圖”的面積為a2所以當(dāng)a=b=3時，“趙爽弦圖”的最小面積為18.故選：B.【題型10基本不等式與其他知識交匯】【例10】（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成（如圖）.已知一木制陀螺模型內(nèi)接于一表面積為16πcm2的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點(diǎn)

(1)若圓柱的高為2?cm(2)規(guī)定陀螺圓錐的頂點(diǎn)S到圓柱中離它遠(yuǎn)的底面DC距離為陀螺的高，要使陀螺的圓柱的側(cè)面積最大.此時陀螺的高是多少呢？【解題思路】（1）根據(jù)題意求得外接球半徑R=2cm，進(jìn)而可求得底面半徑r=3（2）令圓柱的高為?cm，有陀螺的高為2+?2【解答過程】（1）令陀螺外接球半徑為R，則4πR2=16π由題意，圓柱的矩形軸截面對角線長為2R=4cm，又圓柱的高為2?cm所以圓柱底面直徑2r=24?1=23綜上，圓錐的高為R?1=1cm，母線長為3+1=2cm所以陀螺的體積為2×3π+1陀螺表面積為2×23π+3（2）令圓柱的高為?cm，由（1）知陀螺外接球半徑R=2cm，所以圓柱底面直徑為2r=16??2cm，圓錐的高為R?所以陀螺的高為2??2+?=2+由圓柱體側(cè)面積S=2πr?=π當(dāng)且僅當(dāng)?=22cm所以陀螺的高是(2+2)cm【變式10-1】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎狝、B、C是ΔABC的內(nèi)角，a、b、c分別是其對邊長，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ΔABC面積的最大值.【解題思路】（1）由m⊥n得出a+bsinB?sinA+c（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出bc的最大值，再利用三角形的面積公式可得出答案.【解答過程】（1）∵m=a+b,c，n∴a+b由正弦定理得b+ab?a+cc?b∴cos∵0<A<π，∴A=π（2）在ΔABC中，A=π3，由余弦定理知a2由基本不等式得4+bc=b2+c2∴SΔABC=12【變式10-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）F1?,(1)若Р是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求PF(2)設(shè)A2,0,B0,1是它的兩個頂點(diǎn)，直線y=kx(k≥0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F【解題思路】（1）由題意可知F1、F2的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y)，表示出PF1，（2）設(shè)E(x1,kx1)，F(xiàn)(x2,kx2)，聯(lián)立直線與橢圓方程消去y整理可得(1+4k2)x2=4，解方程可求【解答過程】（1）解：由題意可知a=2，b=1，∵c=∴F1(?3,0)∴PF1∴=由橢圓的性質(zhì)可知，?2≤x≤2，∴0≤x∴?2≤3x2?84（2）解：設(shè)E(x1,kx1)，F(xiàn)(x∴x1=?2∵A(2,0)，B(0,1)，∴直線AB的方程為：x+2y?2=0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知，點(diǎn)E，F(xiàn)到直線AB的距離分別為?1?2∴?1∴|AB|=2∴四邊形AEBF的面積為S==21+44k+1k所以S的最大值為22【變式10-3】（24-25高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）在△ABC中，a=ccos(1)若a+b=8，△ABC的面積為33，求c(2)若c=4，①求a+b+csin②求△ABC面積的最大值；③求△ABC周長的取值范圍.【解題思路】（1）應(yīng)用余弦邊角關(guān)系可得a2+b2?c2（2）①應(yīng)用正弦定理有asinA=【解答過程】（1）由題設(shè)及余弦邊角關(guān)系有a=c×a所以a2+b2?在三角形中有sinC=32，又1結(jié)合a+b=8，則c=8（2）①由（1）有sinC=32，則a②由c2=a所以S△ABC=12ab③由c2=(a+b)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時取等號，所以△ABC周長a+b+c∈(8,12].一、單選題1．（2025·安徽·三模）“xy≥1”是“x24A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)基本不等式和充分條件和必要條件證明過程,求結(jié)果.【解答過程】xy≥1時，結(jié)合基本不等式，x當(dāng)x=0，y=2時，滿足x24+所以“xy≥1”是“x故選:A.2．（2025·新疆省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知x∈(0,+∞)，則y=2x+4A．3 B．4 C．32 【解題思路】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【解答過程】由x∈(0,+∞)，得y=2x+4當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=42x+1，即所以y=2x+4故選：A.3．（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）已知a+b=1ab>0，則1a+A．1 B．2 C．4 D．9【解題思路】利用“1”的代換結(jié)合基本不等式求解即可.【解答過程】因?yàn)閍+b=1所以1a+1當(dāng)且僅當(dāng)ba=a故選：C.4．（2025·重慶·三模）已知x2+y2=2A．6 B．-6 C．8 D．-8【解題思路】本題主要考查代數(shù)最值的求解方法，涉及代數(shù)式的變形、均值不等式應(yīng)用.【解答過程】由x2+y2=2x22?x2?9將x2+9y2結(jié)合1x由均值不等式a+b≥2aba,b>0，令則：x2y2+9y2目標(biāo)式最大值：2?x故選：B.5．（2025·廣東揭陽·三模）“物競天擇，適者生存”是大自然環(huán)境下選擇的結(jié)果，森林中某些昆蟲會通過向后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵.經(jīng)某生物小組研究表明某類昆蟲在水平速度為v（單位：分米/秒）時的跳躍高度H（單位：米）近似滿足v2=4HA．0.2米 B．0.25米 C．0.45米 D．0.7米【解題思路】利用基本不等式可求昆蟲的最大跳躍高度.【解答過程】由v2=4H1?Hv當(dāng)且僅當(dāng)v2故選：B.6．（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）已知x>0，y>0，且xy+2y2?36=0，則xA．12 B．66 C．36 D．【解題思路】由條件xy+2y2?36=0得x=36y【解答過程】由xy+2y2?36=0，得y因?yàn)閤>0，y>0，所以x=當(dāng)且僅當(dāng)y=6，x=4所以xy2的最大值為故選：D.7．（2025·廣東汕頭·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，a+1b=1，則1A．1 B．2 C．4 D．8【解題思路】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【解答過程】因?yàn)閍>0，b>0，a+1所以1a當(dāng)且僅當(dāng)1ab=ab，即a=1故選：C.8．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）記max{a,b}表示實(shí)數(shù)a，b中的較大的數(shù)，已知x，y，z均為正數(shù)，則max{x,1y}+A．22 B．3 C．42【解題思路】本題分兩種情況討論，當(dāng)z≥5x和【解答過程】設(shè)t=max當(dāng)z≥5x時，因?yàn)閤,y,z均為正數(shù)，所以t≥x+3當(dāng)且僅當(dāng)x=522，2當(dāng)z<5x時，當(dāng)且僅當(dāng)x=522，2綜上可知，t的最小值為42故選：C.二、多選題9．（2025·湖北恩施·模擬預(yù)測）若正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．2ab的最大值為14 B．a(chǎn)2C．2a+b的最大值為2 D．2【解題思路】利用基本不等式進(jìn)行求解.【解答過程】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，對A選項：2ab≤2a+b24=對B選項：b=1?2a，a2+b對C選項：由1=2a+b≥2a+b22對D選項：2a+1故選：ACD.10．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y=1，則（

）A．xy≤18 C．1x+1【解題思路】對于A，由基本不等式建立不等式，可得其正誤；對于B，由等量關(guān)系可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得其正誤；對于C，利用基本不等式隱藏“1”的妙用，可得其正誤；對于D，由等量關(guān)系可得函數(shù)解析式，利用基本不等式，可得其正誤.【解答過程】對于A，x+2y=1≥22xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=12對于B，由x+2y=1，則y=?12x+12所以x2對于C，1x+1對于D，由B易知x+11?2y=x+1x故選：ACD.11．（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）已知a,b為正實(shí)數(shù)，ab+a+2b=14，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)+b<21 B．a(chǎn)?6b+1C．a(chǎn)+4b的最小值為12 D．1a+2+【解題思路】根據(jù)題意，化簡得到(a+2)(b+1)=16，令x=a+2,y=b+1，得到a+b=x+16x?3，結(jié)合函數(shù)fx=x+16x單調(diào)性，可判定A正確；由b+1=16a+2【解答過程】由ab+a+2b=14，可得(a+2)(b+1)=16，對于A中，令x=a+2,y=b+1，則a=x?2,b=y?1且xy=16，可得2<x<16，則a+b=x+y?3=x+16因?yàn)楹瘮?shù)fx=x+16x在可得fx<f16對于B中，由(a+2)(b+1)=16，可得b+1=16則a?6b+1當(dāng)且僅當(dāng)a=2時，a?6b+1取得最小值?1對于C中，由a+4b=(x?2)+4(y?1)=x+4y?6≥2x?4y當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時，即x=8,y=2時，即a=6,b=1時，等號成立，所以C不正確；對于D中，由(a+2)(b+1)=16，可得1a+2當(dāng)且僅當(dāng)1a+2=1所以1a+2+1故選：ABD.三、填空題12．（2025·上?！じ呖颊骖}）設(shè)a,b>0,a+1b=1，則b+【解題思路】靈活利用“1”將b+1【解答過程】易知b+1當(dāng)且僅當(dāng)ab=1，即a=1故答案為：4.13．（2025·山西呂梁·一模）正數(shù)x,y滿足x+y=xy，則x+9y的最小值是16.【解題思路】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【解答過程】由正數(shù)x,y滿足x+y=xy，得1x則x+9y=(1當(dāng)且僅當(dāng)xy=9y所以x+9y的最小值是16.故答案為：16.14．（2025·四川眉山·模擬預(yù)測）已知a,b∈R+，4a+b=1，則a+bab【解題思路】先求出1a+1b的最小值，再將【解答過程】因?yàn)閍,b∈R+，故1a當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab，結(jié)合所以a+bab=1a+故答案為：9.四、解答題15．（24-25高一下·廣西·開學(xué)考試）（1）已知x,y是正實(shí)數(shù)，且x+y=4，求1x（2）函數(shù)y=x【解題思路】（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式分析求解；（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式分析求解.【解答過程】（1）因?yàn)閤,y是正實(shí)數(shù)，且x+y=4，則1x當(dāng)且僅當(dāng)yx=4x所以1x+4（2）因?yàn)閤>1，則x?1>0，則y=x當(dāng)且僅當(dāng)x?1=3x?1，即所以函數(shù)y=x2+216．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若正數(shù)x,y滿足：x+y+8=xy，(1)求xy的取值范圍；(2)求x+y的取值范圍．【解題思路】（1）利用基本不等式進(jìn)行放縮，得到xy?8≥2xy（2）利用基本不等式進(jìn)行放縮，得到x+y+8≤x+y【解答過程】（1）由條件等式與基本不等式，得x+y=xy?8x+y≥2xy?xy?8≥2即(xy?4)(xy+2)≥0，解得xy≥4，所以所以xy的取值范圍為[16,+∞（2）由條件等式與基本不等式，得x+y+8=xyxy≤令t=x+y，得t2解得t≥8或t≤?4（舍去），即x+y≥8，所以x+y的取值范圍為[8,+∞17．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3m，底面積為12m2，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室．由于此保管員室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米