空間向量及其應(yīng)用綜合檢測鞏固卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.在空間直角坐標系。-孫z中，已知A（2,—l,4）,鞏—2,—l,T）,則點A和點B關(guān)于（）

A.X軸對稱B.平面yOz對稱c.y軸對稱D.平面尤Oz對稱

【答案】C

【分析】根據(jù)兩點的坐標特征結(jié)合已知條件即可得答案.

【詳解】因為點A（2,-L,4）和的縱坐標相等，其余兩個坐標互為相反數(shù)，

所以點A和點8關(guān)于y軸對稱.

故選：C

2.四面體4BCD中，E為棱的中點，則+（）

A.ABB.ACC.AED.DE

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運算求解即可.

【詳解】如圖，

因為E為棱5C的中點，

所以AD+g（￡）B+DC）=AD+gx2DE=AD+DE=AE,

故選：C

3.若｛/,/#｝是一個單位正交基底，且向量a=8i+3笈，b=-i+5j-4k,則〃包的值為（）

A.-20B.4C.7D.23

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律求解即得.

【詳解】由卜J左｝是一個單位正交基底，W|i|=|j\=\k\=l,i-j=j-k=k-i=O9

所以a?人=（8i+3左）?（一i+5/—4左）=—8j-12k=-20?

故選：A

4.已知空間四邊形Q4BC,M,N分別是邊Q4,CB的中點，點G在線段MN上，且使MG=2GN,用

向量。4，OB，OC表示向量06是(

—.—.2-2122

A.OG=OA+-OB+-OCB.OG=-OA+-OB+-OC

33233

C.OG=-OA+-OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

633633

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的加法運算法則及數(shù)乘代換即可.

【詳解】如圖0G=OM+MG=OM+-MN=OM+-｛MO+OC+CN^

=-OM+-OC+-(OB-OC]=-OA+-OB+-OC,

333、>633

5.下列選項中，不正確的命題是（）

A.若兩條不同直線/,加的方向向量為匕，v2,則///根。匕//%

B.若｛。4,08,OC｝是空間向量的一組基底，且or>=goa+goB+；OC,則點。在平面ABC內(nèi)，且。為

NABC的重心

C.若｛。,6,可是空間向量的一組基底，則｛a+b,2cM+b+c｝也是空間向量的一組基底

D.若空間向量a,b,e共面，則存在不全為0的實數(shù)x,y,z使xa+y》+zc=0

【答案】C

【分析】對于A,根據(jù)直線方向向量的定義分析判斷，對于B,由三角形重心的定義判斷，對于C,由空

間向量的基底的定義分析判斷，對于D,由共面向量定理判斷.

【詳解】對于A,由于兩條不同直線/，機的方向向量為V],v2,當〃/機時，Vj//v2,當匕〃嗎時，/〃加，

所以A正確，

對于B,因為OD=goA+goB+goC,所以3OD_OA_0B_0C=0，

所以（OD_OA）+（OD_OB）+（OD_OC）=0,

所以4D+8Q+CZ）=0，所以AO=O8+OC，

2

設(shè)E■為BC的中點，所以AO=OB+OC=2OE，所以AO=§AE,

所以點O在平面ABC內(nèi)，且。為VABC的重心，所以B正確，

對于C,因為o+6+c=（a+6）+；x2c,所以a+b,2c,d+b+c共面，

所以｛a+石,2c,。+6+c｝不是空間向量的一組基底，所以C錯誤，

對于D,由空間向量共面定理可知空間向量“，b,c共面，

則存在不全為0的實數(shù)X,y,Z使無a+淡+zd=O,所以D正確，

故選：C.

12

6.正四面體ABC。中，AP=-AD,BQ=-BCf則異面直線尸。與50所成角的正弦值為（）

A.3B.逅C.@D.至

3355

【答案】D

【分析】根據(jù)向量法求得異面直線所成角的正弦值，在正方體中截取正四面體，根據(jù)坐標得到向量，即可

求解.

【詳解】從正方體中可截取一個正四面體，設(shè)正方體的邊長為3a,根據(jù)正方體的性質(zhì)建立空間直角坐標系

所以AD=(3〃,0,-3。),BC=(一3〃,0,-3。),BD=(0,3a,-3a),

則Jo+(3ay+(-3a)2=3應(yīng)a,

12

因為A尸=§AD,3Q=]8C,

所以尸(a,3a,2a),Q(a,0,a),則P0=(0,-3a,-a),=Jo+(-3a[+=Ma,

PQ'BD3〃)+(-Q)

根據(jù)cos（尸。,2。）=

閘H3枝a?410a

貝！Isin(PQ,BD^=Jl-cos?PQ,BD=竿

所以異面直線PQ與BD所成角的正弦值為寺.

故選：D.

7.如圖，正方體A8CD-ABC2中，瓦尸分別是3C,AA上的中點，尸是4G上的動點.下列結(jié)論錯誤的是

A.平面AGE截正方體所得截面為等腰梯形

B.平面B/C1_L平面AGE

C.存在點尸，使得EP〃平面44,與B

D.存在點p,使得D耳，EP

【答案】D

【分析】利用線面平行判定定理證明即可判斷A正確，以。為坐標原點建立空間直角坐標系，由法向量的

關(guān)系可證明得出B正確，易知當點尸為AG的中點時，使得依〃平面A41AB,可得C正確，由空間向量

證明可得DB「EP=2HO,可得D錯誤，

【詳解】對于A,取A3的中點為連接如下圖所示:

由中位線性質(zhì)可得即//AC,顯然AC//AC，所以EX//A?,

即可得E,H，4，G四點共面，即四邊形EH4G即為平面AQE截正方體所得截面,

易知"4=EG，所以四邊形E"4G為等腰梯形，即A正確;

對于B,以。為坐標原點，D4,DCDD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示:

設(shè)正方體的棱長為2,可得方(2,2,2),網(wǎng)2,0,1),Q(0,2,2),A(2,0,2),E(l,2,0),

易知4/=(0,-2,-1),BC=(-2,0,0),

設(shè)平面男尸G的一個法向量為"2=(石,%,zj,

B,Fm=—2y,-z,=0

可得解得再=0,令M=l,可得4=-2；

BXCX-m=-2玉=0

所以沅=(O,l,—2)

易知GE=(1,0,-2),4C=(―2,2,0),

設(shè)平面ACE的一個法向量為“二仁,為/?),

C.E-n=X.-2Z,=0

可得，解得玉=2,可得％=2,-1;

AG?n=一2石+2%=0

所以”=(2,2,1),

顯然加.〃=(),即機_L〃，所以平面B/GJ■平面AGE,即B正確;

對于C,取A耳的中點為。，連接PQ,8Q,如下圖所示:

當尸為AG的中點時，可得PQ//4G，且=

又BE//B?且BE=；B?=gBC,可得PQ//BE,PQ=BE,

即四邊形尸QBE為平行四邊形，可得BQ//EP,

又BQu平面A4,片3,EPa平面AA4B,即砂〃平面4443；

所以存在點P為AG的中點時，使得EP〃平面的耳8,可得c正確;

對于D,由B選項中空間直角坐標系如下圖所示：

>

y

可得D(0,0,0)，4(2,2,2),E(L2,0),即=(2,2,2),

設(shè)==(—2422,0),26[0,1],貝！JEP=嗎+A尸=(1,-2,2)+(—2九22,0)=(1-22,-2+22,2)；

此時D4.￡P(guān)=2(l-24-2+2X+2)=2w0,即_LEP不成立；

所以不存在點P,使得D片，￡尸，即D錯誤.

故選：D

8.在正三棱錐尸-48C中，AB=y/2PA=s/2，且該三棱錐的各個頂點均在以。為球心的球面上，設(shè)點。到

平面出8的距離為“，到平面ABC的距離為〃，則竺=()

n

A.立B.6C.逑D.3

33

【答案】B

【分析】根據(jù)長度關(guān)系先證明出PA，P8,PC兩兩垂直，然后通過補形法求解出加的值，再通過向量法求解

出〃的值，則結(jié)果可知.

【詳解】在正三棱錐產(chǎn)一ABC中，PA=PB=PC,又上4=1,AB=及,

所以乃平+m?，所以B4_LPB,

同理可得PA_LPC,PC±PB,即PA,PB,PC兩兩垂直，

把該三棱錐補成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，

正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得根=；,

如圖，建立空間直角坐標系，則40,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l),

所以?=(—1,1,0),AC=(-1,0,1),AO=[g，]，￡|，

設(shè)平面ABC的法向量為s=(x,y,z),

sAB=-x+y=0/、

則（，令％=1,則V=z=l,所以

s-AC=-x+z=O

則點。到平面ABC的距離”彳9=*,所以生=招，

IsIon

故選B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵點有兩個，一方面是能通過給定的長度關(guān)系確定出位置關(guān)系，同時

能利用補形法完成計算，另一方面是能利用向量方法求解出點到面的距離.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在空間中，下列說法正確的是（）

TT

A.若a,b=_,貝IJ2Q,-3人=—

44

B.若｛。,6,。｝是空間向量的一組基底，則｛。-6,a+b,c｝可以構(gòu)成空間向量的另一組基底

C.“向量鉆，CD,所共面”是“直線AB，CD,所共面”的充要條件

D,巧，g分別是直線4,4的方向向量，“用與%不平行”是“4與4異面”的必要條件

【答案】ABD

【分析】由平面向量的數(shù)量積計算求解即可判斷選項A；空間向量的基底不共面即可判斷選項B；由向量

共面與直線共面的關(guān)系即可判斷選項C；由直線異面與直線的方向向量的關(guān)系即可判斷選項D.

【詳解】對于A,因為0,6=：,所以.包=琲即：=［硼

2".（—3b|_6a.b37t

cos2a,-3b=Q—=所以2a,_3b=?,故A正確；

\2a\\-3b\6同問24

對于B,若｛”,b,c｝是空間向量的一組基底，則a,4c線性無關(guān)，故a-b,a+"c也線性無關(guān)，故可以構(gòu)成空

間向量的另一組基底，故B正確；

對于C,向量共面是指向量所在的直線可以平行于同一個平面，而直線共面是指直線都在同一平面上，則

前者無法推出后者，故c錯誤；

對于D,直線異面意味著方向向量不平行，但方向向量不平行不一定意味著直線異面，它們可能相交，故

D正確；

故選：ABD.

10.在平行六面體ABC。—A瓦GR中，ZAAB=ZA.AD=ZBAD=60,AB===1,下列結(jié)論正確的

是()

A.AC】=^6

B.BDt±\C

c.｛AC，AB,AR｝可以作為空間的一個基底

131

D.AC=——AB,+-AC——AD,

"21221

【答案】ABD

【分析】設(shè)AB="，AO=b，9=c，將U用UUl基底｛a,b,c｝表示并兩邊平方結(jié)合向量數(shù)量積即可求得I|AG|.1,

可判斷A；將BR,AC分別用基底｛。,6,c｝表示，并由向量數(shù)量積計算3。?AC根據(jù)結(jié)果可判斷B；用基底

1_31

｛a,b,c｝表示AC,4反叫，并判斷其是否共面即可判斷C；將AC與-不破分別用基底

｛a,b,c｝表示即可判斷D.

【詳解】設(shè)AB=a,AD=b,A4,=e,貝！I｛a,b,c｝為空間的一個基底，

因為AB=AD=AAl=l,ZAtAB=Z^AD=ZBAD=60°,

rrrrrr]

所以。2=6?=C?=1，a-b=bc^ca=~,

對于A,AC/=(a+b+c)2-a+l/+C1+2a-b+2b-c+2a-c=6>得|AC]|=",故A正確；

對*于^B,4。=AB+AD—=a+b—c,BD】=BC+CC、+GA=Z?+c—a,

BO1?4。=(b+c—Q)(a+Z?—c)=〃?/?+/?—b-c+c-a+c-b—c—a—ab+a-c

222

=&_c_fl+2a.c=l-l-l+2xl=0,可得故B正確；

ULU1ULIUUUUl11

對于C,AC=AB+AD=ci+bfA^B—AB—AA^=ci—c9AD^-AD+AAi=Z?+c,

則叫所以｛AC,AB,AR｝共面，不能作為空間的一個基底，故C不正確；

對于D,+|AC-1AD]=-1(AJB+BB1)+|(AB+BC)-1(AD+A41j

—[3]

——++—+b)——[b+C)=Q+Z>-c=ACfD

11.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A2CD是邊長為2的正方形，尸平面ABC。，PD=26,點E

是棱尸3上一點，則下列說法正確的是（）

A.不存在點E,使AE〃平面PCD

B.存在點E,使平面ACE

C.若點E為尸8中點，則點C到平面ADE的距離為石

ion1mm

D.二面角P—隹―。夾角最大時，PE=-PB

4

【答案】BC

【分析】根據(jù)特殊位置即可根據(jù)線線平行求解A,建立空間直角坐標系，求解向量垂直的坐標關(guān)系即可求

解B,求解平面法向量，即可根據(jù)空間距離求解C,根據(jù)法向量的夾角即可求解D.

【詳解】對于A,當E位于3時，此時AE//CD,AEZ平面PCD,CDu平面PCD,

故AE〃平面PCD,A錯誤，

對于B,建立如圖所示的空間直角坐標系，

則尸（0,0,2若）,4（2,0,0）,￡>（0,0,0）,C（0,2,0）,2（2,2,0）,

則PB=（2,2,_2@,AC=（-2,2,0）,

由于尸B-AC=-4+4=0,^LPBIAC,

^PE=aPB,0<a<l,則E（2a,2a,2>/3-2辰）,

則AE=（2a—2,24,2百—2君4）,

要使PB,平面ACE,則網(wǎng)22=2（2°-2）+4”2石（2君-2島）=0,

44

解得“=故存在點E,當=時，PBLAE，結(jié)合尸BLAC，

AEr>AC=A,AE,AC<=AEC,故PB_L平面ACE,B正確，

對于C,點E為尸8中點，此時E（l,l,若），

設(shè)平面ADE的一個法向量為根=（蒼y,z）,

故￡>E=（l,l,g）,ZM=（2,0,0）,DC=（0,2,0）,

邛…f+后"令…,則哄（°,后t，

DA-m=2x=0

\DC-m\2nl

則點c到平面3的距離為^^=區(qū)=正，故c正確,

\m\2

對于D,設(shè)平面ADE的一個法向量為〃z=（x,%z）,

設(shè)平面ADE的一個法向量為m=（x,y,z）,

故DE=（2。,2a,2下>-26a）,DA=（2,0,0）,DC=（0,2,0）,

DE-m=lax+2ay+Cly/3—2A/3<Jjz=0

令z=〃,則小二（0,百。一,

DA-m=2x=0

設(shè)平面PAE的一個法向量為n=（%,%,z0）,

故而二（2,0,—2百），AE=（2a—2,2〃,2百一2回）,

AEn=(2〃-2)/+2〃/+(2括-26〃)Z0=0

令Zo=l,則元=(6,0,1),

PA-n=2x0-2\/3z0=0

m-n\aa

|cos(m,n^|=

H\n\2,3("+/2A/4/-6a+3

顯然時，此時|cos〈私可并不是最值，此時二面角P-AE-D夾角不是最大，故D錯誤,

故選：BC

X

By

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在三棱錐尸—ABC中，PB=PC=1,ZAPB=ZAPC=90°,ZBPC=60°,貝！|A3PC=

【答案】1/0.5

【分析】結(jié)合圖形，將向量A8分解轉(zhuǎn)化，利用題設(shè)條件和向量數(shù)量積的定義即可求得.

【詳解】

ZBPC=60°,

貝！|AB-PC=(AP+P8)-PC=PB-PC=lxlxcos60=1.

故答案為：!

13.已知同=1,6=（2,-2,1）,°與匕的夾角為60。，則3a+b與"b夾角的余弦值為

【答案】￥

【分析】根據(jù)空間向量模的坐標表示求出\b\=3,進而結(jié)合空間向量的數(shù)量積及運算律求解即可.

【詳解】由（）得卜卜產(chǎn)百

6=2,-2,1,r+i2=3,

13

所以“包=卜帆?cos60°=lx3x—=—,

22

22|a|2-2a-Z?-|z?|2=3-2x|-9=-9,

貝！|+=3a-2a-b-b=3

卜4+0=^9a+6a-b+b=,9忖+6〃./?+"=Jb+6xg+9=3g,

卜—q=_2〃?Z?+Z72\a\-2a-b+\b\l-2x|+9=V7

(3〃+力(〃-匕)__9_V21

所以cos3a+b,a—b

卜〃十3^3xV77

'21

故答案為:

7

14.如圖，C是以AB為直徑的圓。上異于A,8的點，平面PAC，平面ABC,PA=PC=AC=1,BC=2,

E,尸分別是PC,PB的中點，記平面與平面ABC的交線為直線/.若直線/上存在點％。=1,2),使直

線分別與平面AER直線所所成的角互余，則"1加2的長為.

【答案】1

【分析】先根據(jù)圓的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)得到3CL平面PAC,結(jié)合題意可得BC//平面再結(jié)合線

面平行的性質(zhì)可得3C/〃，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量列方程求解即可.

【詳解】由題意，C是以為直徑的圓。上異于A,5的點，

所以ACLBC,

因為平面P4C_L平面ABC,平面PAC平面ABC=4C,且3Cu平面ABC,

所以BC,平面PAC,

又E,F分別是PC,P5的中點，

所以BC//EF,

又EFu平面AER3C(Z平面AEF,

所以BC//平面AEF,

又BCu平面ABC,且平面AEFc與平面ABC=/,

所以2C〃/.

如圖，以C為原點，以C4為了軸，以CB為，軸，以過C垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標

系，

則A(1,O,O),5(0,2,0),尸,，。，斗弓。書，尸肌力

所以AE=j_1,0，￥],用=(0,1,0),

設(shè)M(1,%0),平面AEF的一個法向量為m=(%,y,z),

.A口36c

m-AE=——x-\-----z=0

則44

m-EF=y=0

取X=l,則7"=（1,0,山），

又PM=ri5

所以辰（尸此所PMEFy

J[+/

PM-m]

\cos(PM,m

|PM|.|m|2^+7

由題意，卜OS（PM,E尸）卜卜os（尸

訴1丁解得y=±［，

即bl

+/

所以當|AM|=；時，直線”,分別與平面AEF、直線EF所成的角互余,

即M幽2=1.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于先得到平面PAC和3C/〃，以便于后面建立空間直角坐標系，進而

利用空間向量列方程求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知向量4=（1,3,-2）,萬=（1,0,2）,4=（私刀-4）.

⑴若a//c,求|的值；

⑵若b_LcJc|=9,求a.c值.

【答案】⑴7；

（2）19或13.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量共線列式求出c，再利用向量線性運算及模的坐標表示求解.

（2）由向量垂直及模的坐標表示求出c，進而求出向量的數(shù)量積.

【詳解】（1）向量。=。,3,-2）,<?=（/%〃,Y）,由“//°,得?=?=解得根=2,〃=6,

13—2

c=(2,6,-4),而J=(1,0,2),則J+」=(3,6,-2),

所以|b+c|=j32+62+(—2)2=7.

(2)由得lx機+0x〃+2x(—4)=0,即加一8=0,解得%=8,

由|c|=9,得，64+〃2+I6=9,解得〃=±1,

當機=8,〃=1時，〃?(？=m+3〃+8=19；

當機=8,〃=—1時，6z-c=m+3n+8=13,所以〃值是19或13.

16.(15分)

如圖所示，在三棱柱A5C-A瓦G中，CA=a,CB=b,CC、=c,CA=CB=CCi=2,ZACB=ZACCl=

TT

N3CC]=5,點N是棱A3的中點，點M在棱G片上，且。眼=2加四.

⑴用。也。表不向量A"；

⑵求kM；

(3)求證：AM1A.N.

2

【答案】⑴AM=-CL+—Z?+C

iuuur,2A/37

(2)|AM|=

(3)證明見解析

【分析】(D根據(jù)向量的線性運算結(jié)合空間向量基本定理求解即可;

(2)利用數(shù)量積的運算律求解模長即可；

(3)先利用向量線性運算得AN=-：a+：6-c,然后利用數(shù)量積的運算律及定義求得4〃TN=

,即可

證明.

2

【詳解】(1)AM=CM-CA=CCi+CiM-CA=-a+-b+c?

(2)AM2=^-a+^b+c\=4+^X4+4-|X2X2X^-^-2X4X

貝”阿二^^;

uuiruumuuraiuiruuruiruuir

(3)%N=CN-=-(CA+CB)-(CA+CCJ

iuuriuurumr11

=--CA+-CB-CC<二—ciH—b—c

221229

211

所以AM=(-a+—b+(?)?(——?+—&-c)

121111,2122

=-a——a-b——a-c——a-b+—b+—b-c+a-c——b-c-c

2322323

1.2172-25一11

=—a+—b—c——a-b+—a'C——7bc

23626

=2+-x2x2-2x2--x2x2x(--)+-x2x2x(-l)-0=0,所以BPAMrA1N.

36222

17.（15分）

如圖，在長方體A3CD-ABC|A中，AB=AAi=V2AD=2,M是AB的中點，N是棱A4上一點.

（1）若N是昭的中點，求證：。瓦，平面MNC；

⑵若BO//平面MNC,求4V的長.

【答案】（1）證明見解析

⑵2

3

【分析】（1）如圖建系，求出相關(guān)點的坐標，由?比=0,￡）與.對=0推得。耳，加＜^,DBJMN,

即可由線線垂直推出。耳，平面MNC；

（2）設(shè)4V的長為人求出平面MNC的法向量為”=（1,直,亞），由8口〃平面MNC可得

h

8。］）=一0-2&+^^=0即可求得及.

【詳解】（D建立如圖所示的空間直角坐標系。町z,

由題設(shè)可得：B(V2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),耳(0,2,2),

￡),(0,0,2),M(V2,l,0),2V(V2,O,1),

/.DB{=(^,2,2),MC=(-"1,0),MN=(0,-l,l),

由的叱=后(-偽+2xl+2x0=0,

DB1-ACV=A/2X0+2X(-1)+2X1=0,

可得_LMC,DBlVMN,

又；MCMN=M,MC,MNu平面MNC,：.DB.±平面MNC；

(2)設(shè)4V的長為九則0</zV2,點N(血,0,/z),進而得MN=(0,-1/),

設(shè)平面MNC的法向量為"=(x,y,z),因MC=(-A/2,1,0),

n-MC=—\[2x+y=0_

則，取x=1得w=(1,5/2,

n?MN=-y+hz=0

</BD{=(-0,-2,2),且BD\H平面MNC,

：.BDt±n,即BD1.?=-V2-2A/2+—=0,解得/?=3，即AN的長為

h33

18.(17分)

如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，/ADB=90。，AB=2AD=2,PDA.ABCD.

(1)證明：PA1BD；

(2)若PD=AD,求平面APB與平面PBC所成角的余弦值.

(3)在(2)的條件下，求點A到直線尸C的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵平

⑶血

【分析】(1)先證3。二平面PA。，由此能證明%_L3D;

(2)以。為坐標原點，建立空間直角坐標系利用向量法平面APB與平面PBC所成角的余弦值;

(3)直接利用空間中點到線的距離公式求解.

【詳解】(1)證明：因為NA￡?=90。，故

又尸D_L平面ABC。，5￡>u平面ABCD,可得瓦>_LPD,

又AD即=E>,A￡>,BDu平面上M>,所以班平面上M),

又R4u平面P/LD,故上4_L3D.

(2)如圖，以。為坐標原點，”,。3,。尸所在直線分別為不丫衣軸建立空間直角坐標系￡>--2,

則A。,。,0),8(0,"。)，C(T,"0),尸(0,0』),，

AB=（-1,拒,0）,PB=（0,A-1）,BC=（-1,0,0）,

設(shè)平面APB的法向量為n=(x,y,z)

n-AB=-x+6y=0

則<）取y=i,得n=（布,1,布）,

n-PB=6y—z=0

m-PB=6b—c=0

設(shè)平面PBC的法向量為機=(o,6,c),貝人

m-BC=—a=0

19.（17分）

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為菱形，且NABC=60。，PAL平面ABC。，PA=AB^2,點瓦尸

為尸CPA的中點.

(1)求證：平面BDEJL平面ABCD；

⑵二面角后一如一尸的大??；

(3)線段尸C上是否存在點M,使得直線A"與平面3n尸所