大連王府高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第二學(xué)段考試

高二數(shù)學(xué)試題

考試時間：150分鐘

一、單項選題：本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.直線/仆+'*+7=°和直線4：I"I-2）X+3J，+2，H=0互相垂直，則實數(shù)的值為（）

A.m=3B./n-C.或用=3D.M=-1或in-3

2

【答案】B

【解析】

【分析】由兩直線互相垂直，直接列方程求解即可.

【詳解】因為直線乙：、+，，『+7=0和直線&：|刖2|x+3.y+2"?=0互相垂直，

所以加2+3m=0,解得"廠-,

2

故選：B

2.直線irr+「u=Q（aeR）與圓-4K+）；=0的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.相切D.無法確定

【答案】B

【解析】

【分析】求出直線過的定點，再代入圓的方程判斷點在圓內(nèi)，所以相交.

（詳解】由axIya=0=>y-o（x-11,

所以直線打+「-u=Q恒過定點（LO）,

圓-4A-I-_V2=0可化為（,r-21'+y:=4，

因為（I-2『+0’<4,

所以點（LO）在圓（.r-2）'+y2=4的內(nèi)部，

所以直線燈「j-u=4與圓丁-4'+./=0相交.

故選：B

3.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的

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衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）.已知接收天線

的口徑（直徑）為3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點到頂點的距離為（)

①②

A.1.35mB.2.05mC.2.7mD.5.4m

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點出06,1.81在拋物線上,

代入方程求得P值，進(jìn)而求得焦點到頂點的距離.

【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy,使接收天線的頂點（即拋物

線的頂點）與原點O重合，焦點廠在x軸上.

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為）尸=2>（p>0|,

由已知條件可得，點川061.8|在拋物線上，

所以1.2p=l#,解得p=2.7,

因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m,

故選：A.

4.19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)的獨立發(fā)展.提出了著名的

蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓

的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術(shù)平方根.若圓+（］，-加：=9上有且只有一個

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點在橢圓:十廠=1的蒙日圓上，則”的值為()

3'

A.±1B.±5C.±717D.二26

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意得橢圓二+J=1的蒙日圓方程為/+/=4,進(jìn)而得該圓與已知圓相切，再根據(jù)圓的

3'

位置關(guān)系求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓二+/=1的蒙日圓方程為x'+F=4,

因為圓+()，-8’=9上有且只有一個點在橢圓/+/=1的蒙日圓上，

所以該圓與已知圓相切，

又兩圓圓心間距離+M，

所以=5或4+/=i(無解，舍去)，解得b二士”7

故選：C.

2J

5.已知橢圓C:]?+方=1(。>6>0)的左頂點為A,上頂點為2,右焦點為R若/.48F=9(I;則橢圓

C的離心率為()

.VS-ly/5-l>/3+lV5+1

A.JJ.~L).■

2244

【答案】B

【解析】

【分析】表示出各點坐標(biāo)，由』=90?？傻冕苋肴f手=Q,得出八反c等式，變形后可求離心率.

【詳解】由題意4(7川"(L?,F(c,0),則瓦J=(-4-圾而=(cT),

V/.ABF=90°,

5J3F-■：ir?I1；'=0>BPa--c--ac=0,

可得（-）-+-1=0,

aa

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￡=士或或土正

（舍去）.

a22

故選：B.

6.在直角坐標(biāo)系工?！场鲋?，拋物線C：.r=4x的焦點為凡準(zhǔn)線為/,P為C上一點，尸。垂直/于點Q,M,

N分別為P。，PF的中點，直線與x軸交于點R,若ZNRF=W,則卜川=（）

A.2B.6C.2>/3D.3

【答案】A

【解析】

【分析】用拋物線的定義結(jié)合圖形求出.

根據(jù)題意，設(shè)直線/與X軸交于點”，連接MF，OF,拋物線的方程為J，2=4X,其焦點為（L。），準(zhǔn)線為

則|FH|=2.|PF|=|P0,

又由M,N分別為P。，PF的中點，

則MNQF,又|夕。|=|尸尸|,￡NRF=60°,且/"F=/"http://="0P=60。,

則△P0「是邊長為4的等邊三角形，則“1.

在R3FMR中，/7?|=2,|MF|=2",則|A第=4,

貝|］加&|=|〃/?|-|“叫=4-3尸尸|=2,

故選：A.

7.如圖，在正方體力BCD-44GA中，p為線段4c上一點，則直線I/與8尸所成的角的最大值、最

小值分別為（）

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nnnn

D-3,6

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)正方體的棱長為1,4D與BP所成的角為8,以。為坐標(biāo)原點，直線D4,DC,DD］分別為X

軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Z）孫z,利用向量法研究即可求解

【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，與3尸所成的角為8,

以。為坐標(biāo)原點，直線D4,DC,分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系加2

則4(1,0,0),5(11,0),C(0,1,0),4(1,0,1),4(0,01),

所以函5C=(-1,0,0|,75；=(-1,0,1),

設(shè)而=/需=|Z,-Z,A)(05A￡1),

所以所=脛+方=（2-1,-丸,入），

所以西,所=1,R6|=JT,|BPI=V3A--2Z+1,

\AD,-BP\

所以cosO：；1__-=r=

悶卜網(wǎng)?y/2,-2A+1

因為0WAWI,

2,

所以;工3萬-22+142,

所以*。88邛,

又O.y,

所以,

63

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.rv7T7T

故4D1與8尸所成角的最大值為:，最小值為二.

8已知橢圓C：fyr上存在關(guān)于直線,：」一那對稱的點，則實數(shù)，〃的取值范圍為（）

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)C上關(guān)于直線J=r+加對稱的兩點分別為MU，M,MS，J力，其中點為￡（?%，/）,利

用點差法，結(jié)合點E在C的內(nèi)部可得？m：?M：<I,求解即可

【詳解】設(shè)C上關(guān)于直線J=K+加對稱的兩點分別為」必以,），』，兇工,以），其中點為初飛，￡）,

貝！J莖+y；=l，5+4=1，兩式相減，

得?…心…LE+J/-0,

V,-V.,

由1/,得=

又\+8=譏，M+)?：=:外，

所以玉)-2%=0,即。=2r?,又No=Xo+〃J,

所以=-flf,即￡(2m,m\,

又點￡在C的內(nèi)部，

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所以-立<刑<立.

所以2m;-m:<1

33

故選：C.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對得4分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.已知橢圓C：二+1=1[a>/>>0|的左，右焦點分別是「，F(xiàn)>,其中W6|=2j直線/過左焦點

ab‘

6與橢圓交于A,B兩點，則下列說法中正確的有（）

A.若存在^ABFZ,則^4BF2的周長為4a

L2

B.若4B的斜率存在且不為零，中點為則的“A.==

a

-----,「逐1

C.若=3}，則橢圓的離心率的取值范圍是—S

D.若|/叫的最小值為3c,則橢圓的離心率6=1

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A：利用橢圓的定義分析判斷；對于B：利用點差法分析判斷；對于C：利用數(shù)量積結(jié)合橢圓

方程整理得）,結(jié)合橢圓的有界性求離心率；對于D：根據(jù)通徑的性質(zhì)可得”=3c,結(jié)

ca

合。Ar的關(guān)系求離心率.

【詳解】對于選項A：根據(jù)橢圓的定義八486的周長為|4￡|+|跖|+|/巴|+|55|=4a,故A正確;

對于選項B：設(shè)出\，1』，8（七,乃），貝卜w-^，七二，所以*=丁干，m”=一7^，

I22yX]-X2xl+X2

xy[

—}+}=],,,、

由I、，兩式相臧可得—+-———0,

r；v；,a'b'

a2b2

（M+-1'、）b:

整理得（xz心F）=—/'即勺/=一下,故B錯誤；

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對于選項C：因為,qF]=I-c-3,LI,4F：=|c-x1,|,

則.41AF.=X；+〕；-r=3c：，可得X；+F：=4c',

由士?+%=i,可得，

bb-Ia-)

則x；+/f1-工]=4/,整理得X；=a-"-"),

I門c

則有0即貝ijO44cL(a'-c')4d,

c

所以0451-/，c：，即414/45/，即4/4145J，解得正故C正確；

52

對于選項D：因為卜訓(xùn)的最小值為通徑長度也，即=3c,

aa

整理為2r=3acn2|a?-c'|=3ac,即”：+露。-2口：=0,

兩邊同時除以a得2"+3?-2=0,解得：e=3,或e=-2(舍),

1

所以橢圓的離心率e=5,故D錯誤.

故選：AC.

22

io.已知雙曲線L-L=i上、下焦點分別為6、尺，點P在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是()

916

A.該雙曲線的離心率為2

B.該雙曲線的漸近線方程為1=±]

4

C.若歷上映,則工PFJ：的面積為9

144

D.點P到兩漸近線的距離乘積為石

【答案】BD

【解析】

【分析】.

由雙曲線方程得人力“，然后計算離心率，確定漸近線方程，結(jié)合雙曲線定義和垂直求得|?青||/斗；|可得

△PFJ：的面積，設(shè)P(x.rl,直接求出點P到兩漸近線的距離之積后判斷各選項.

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【詳解】由雙曲線方程得a=3,6=4,c=J9+]6:5,焦點為FJL-5),F.I0.5I.

離心率為e=J,，A錯；

a3

3

漸近線方程是F=±[X,B正確；

若戶耳_LF”，不妨設(shè)|/閡=用.|/牢|=〃,/〃>n,

m-w=61

{,J+,/_]0二，ww-32,S&pg=不加〃=16,C錯;

設(shè)貝IJ'一二=1,16v2-9.r2=144,

916

,..__|3x+4v||3.r-4r||9.r-16v:|144

漸近線方程為3114y=。，點尸到兩漸近線的距離乘積為'/,JxI=J——--1=—

j3：+4?/+(-4)：2525

D正確.

故選：BD.

11.已知拋物線『=4.1，的焦點為b,A、B是拋物線上兩動點，下列說法正確的有()

A.拋物線準(zhǔn)線方程.II

B.若|4廣|+|"|=8,則線段08中點到x軸距離為

C.以線段AF為直徑的圓與無軸相切

D.以線段.48為直徑的圓與準(zhǔn)線相切

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義以及焦半徑公式一一求解.

【詳解】對于A選項，拋物線/=43，的準(zhǔn)線方程為F=-1,焦點,故A錯；

對于B選項,設(shè)點/(%，F(xiàn)J、8(「，必),

由拋物線的定義可得|//|+網(wǎng)=必+”+2=8,可得必+必=6,

所以，線段48的中點到、軸的距離為上產(chǎn)=3,故B對;

M+121

對于C選項，網(wǎng)=M+1,"的中點為2'2卜

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H的中點到x軸的距離為七一二不/日，

所以以線段Ab為直徑的圓與x軸相切，故C對；

對于D選項，因為點A、8沒有任何限制條件，可以是拋物線上任意兩點，

所以以線段X8為直徑的圓與準(zhǔn)線不一定相切，故D錯.

故選：BC.

12.以下四個命題表述正確的是（）

;

A.圓C:F-2or+/+/-1=0與圓。：/+v=4有且僅有兩條公共切線，則實數(shù)"的取值可以是3

B,圓./+./=4上有且僅有3個點到直線/：*-），+&=0的距離都等于1

C.具有公共焦點￡,尼的橢圓。與雙曲線G在第一象限的交點為P,若/月桃=',橢圓?與雙曲線

11、

G的離心率分別記作（1,八，則F+F=-,

4e2

D.已知圓C：/+『二|,點?為直線】＞；=1上一動點，過點P向圓。引兩條切線「4）8.乩8為切點,

"42

則直線AB經(jīng)過定點（；，：）

【答案】BC

【解析】

【分析】A選項，當(dāng)。=3時，求出兩圓圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，有3條公共切線，A錯誤;

B選項，求出圓心到直線的距離為1,圓/+./=4的半徑為2,故有且僅有3個點到直線

Z:x-v+VI=0,B正確；

2222

C選項，設(shè)橢圓C|：—r+yr=I，雙曲線G：~r+「=l，7^（-c,0）,F,（c,0）,

a"b'nrn-

由橢圓定義和雙曲線定義得到|P用+|P4=2。，|產(chǎn)甲-儼用=2m,求出摩|="+加2陷|=a?jn,

由勾股定理得到求出Y+r=2;

D選項，設(shè)/1，〃，山，則由題意得：P，.L8.0四點共圓，且0P為直徑，

求出圓心和半徑，得到該圓的方程，求出切點弦方程MX+”二?,結(jié)合1+g=l得到定點坐標(biāo).

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【詳解】對A,圓C:x'-2at+jJ+/-1=0變形為(K--=1,故圓心為C(dO),半徑為

r產(chǎn)1，

圓=4圓心為。1。0|,半徑為勺=2,

當(dāng)a=3時,故圓心距|CD|=3=1+2=+r,,

此時兩圓外切，故兩圓有3條公共切線，A錯誤；

,,，…、廣I0-0+V2I

對B,圓X-+V=4的圓心(0,0)到直線/：x-y^V2=0的距離為J_『一」=1，

V1+1

而圓x'+j『=4的半徑為2,故有且僅有3個點到直線/：》-y+&=0的距離都等于1,B正確；

對C,設(shè)橢圓。：——+TV-=1(fl>/>>01,雙曲線———:-y=1(w,n>01>—c?0),F,(c,0),

a-b-wir

因為/月程=於所以|M|+|Pg|=2a,儼￡卜仍用=2加，

解得：="+=

由勾股定理：|PFj+|PFj=4/，即(a+m「+[a-m「=4c'，

化簡得：口：+M：=21,

則橢圓3的離心率，=-,雙曲線G的離心率弓=￡,

am

11a2m2、“

則v+r=F+rr=4,C正確；

e；e；(TL

對D,設(shè)外，”,〃)，則=由題意得：P"、八0四點共圓，且0P為直徑，

則此圓圓心為：7(卜半徑為:Jm-+，廠，

故圓的方程為，

(x—+0'—])=,與C:r+「—-I相減得：附工+”二I,

mni,11\

因為7：=1，所以附I+打二?過定點||,

42\42J

即直線.48經(jīng)過定點,D錯誤.

142；

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故選：BC

【點睛】過圓（x-a4+（yd'=/上一點小,比）的切線方程為:

（X。-0）（x-a）+（y-b]（.%-b\=r2,

過圓（*-小+（八6『=/外一點1%,打）的切點弦方程為：（Xo-a）（x-a）+（y-b）（K-b）=廣

三、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13.已知直線：3i+"+l=0,：（a+2）x+.y+a=0.當(dāng)，H1時，a=.

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)直線方程一般式中平行滿足的系數(shù)關(guān)系即可列方程組求解.

.〃,]lx3=q（a+2）

【詳解】當(dāng)…八時，則需滿足、，、，解得。=-3,

3〃wa+2

故答案為：3

14.與雙曲線二-匚=1有共同的漸近線，且經(jīng)過點（-3,2jT|的雙曲線方程是______.

916

4dy*

【答案】--^-=1

94

【解析】

【詳解】設(shè)1-：=入，將（-3,26）代入求得見=：.雙曲線方程是菅-,=1.

15.拋物線E：x'=4.y與圓M:r+"-1「=25交于A、B兩點，圓心」必（0,1）,點P為劣弧48上不同

于A、B的一個動點，平行于J,軸的直線戶A：交拋物線于點N,則APM\的周長的取值范圍是.

【答案】（1012）

【解析】

【分析】由題可得拋物線的焦點，過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為〃，根據(jù)拋物線的定義，可得vV=V//

,故4尸”\的周長為|P〃|+5,聯(lián)立圓與拋物線可得乩8點坐標(biāo)，可得PH的取值范圍，可得答案.

【詳解】解：???圓M+=25交，拋物線E:.d=4j，，

二.圓心"（0,1）也是拋物線的焦點，拋物線的準(zhǔn)線為丫=-1,

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過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為〃，根據(jù)拋物線的定義，可得=\H,

故APMN的周長廠-VP+MP=VH+VP-MP=PH+5,

[.r:=4v

由、'、可得4（-4.4）.8（4.4|,

[.t-+1y-l；-=25

又圓,“：/+（.1，-1）2=25與F軸正半軸交于ClQ.6l,

所以4<）力<6,

又因為|/77|=4+1,

所以PH的取值范圍為7）,

所以APM\的周長|PH|+5的取值范圍為（I0J2）.

故答案為：（10,12）.

16.已知工，￡是橢圓:+烏=l（a>b>Oj的左、右焦點，P為曲線上一點，/匕PF"60°,&PFJ：

a'b'

的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍.若該橢圓的離心率為，貝了=.

【答案】|

【解析】

【分析】由正弦定理以及等面積法得出外接圓和內(nèi)切圓半徑，結(jié)合橢圓的定義以及題設(shè)條件得出離心率.

【詳解】設(shè)△PFJ：的外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑分別為Ri,設(shè)|尸與=川，|/?』=〃

則加=依題意可知J2。+2c）r=S.=—mu,

9fArf\f24

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4(a+r

即=在APF/,中,由余弦定理可知M;-n?5fl=4c

得4(/-陽故4(a+c)/=4(/_司

得(m+〃「-4c2=3mn,付nin=-------------

3■=3"

x/i\a-c}cc2

因此一■——-=—7=,得e=_=；.

32V3a3

2

故答案為：~

四、解答題：本題共6小題，共44分.請在答題卡指定區(qū)域作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟

17.已知圓C的圓心坐標(biāo)IL】),直線/：,1-：.=I被圓。截得弦長為6.

(1)求圓。的方程;

(2)從圓C外一點PTJ向圓引切線，求切線方程.

【答案】(1)仃-1/+|=1

(2)x=2或3-6=0

【解析】

【分析】(1)計算出圓心C到直線的距離，利用勾股定理求出圓C的半徑，由此可得出圓C的方程；

(2)對切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在第一種情況下，寫出切線方程，直接驗證即可；在第二種情

況下，設(shè)出切線方程為J3=A|.r-2|,利用圓心到切線的距離等于圓的半徑，由此可得出所求切線的方

程.

【小問1詳解】

解：圓心C到直線的距離為d=

圓C的半徑為,?=、{也]+[—

所以,=1,

V22

因此，圓c的方程為+|=

【小問2詳解】

解：當(dāng)切線的斜率不存在時，則切線的方程為'=2,且直線x=2與圓C相切，合乎題意;

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當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為J3=A(X-2),即'-r+3-M=。，

|2-A|3

由題意可得！/,：=?，解得及=;，止匕時，切線的方程為3?；：■-6=Q.

VA'+l4

綜上所述，所求切線的方程為x=2或-6=Q.

18.如圖，正方形.48。。和.48門.所在平面互相垂直，且邊長都是1,M,N,G分別為線段』C,

/y，X8上的動點，且CM=8N,4F3平面MNG,記8G0＜。＜1}.

(1)證明：MG，平面；

(2)當(dāng)?shù)拈L最小時，求二面角』A/A8的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)-1.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直；

(2)求出的長最小時點的位置，然后分別以84,Zfc,8c所在的直線為、軸，「軸，軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系8-1廠，用空間向量法求二面角.

【詳解】(1)因為".，平面MNG,

且/IFc平面48￡廠，平面H8EFn平面MNG=.VG,

所以VG,

所以CM=8、=，所以乩"=JI(1a'l,

AM4G1-a

所以無7===一＞所以"GBC,

CMBGa

所以MG1AB,

又因為平面.48CD，平面48￡廠,

且MGu平面.48CD,平面.18C。C平面H8EF=AB,

所以MG1平面18E尸.

(2)由(1)知，A/G1NG,

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MN=y/a2+(l-a)2=也a'-2a+T>—,當(dāng)且僅當(dāng)。=；時等號成立,

分別以8,4,BE,8C所在的直線為、軸，r軸，軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系8-「「；，

則.411,0,0),810,0,0],，嗚

設(shè)平面的一個法向量為/=('”")，

介麗=-三+五=0

22—

則|_，一，取;I=I,得〃7=(1,1,1),

祈福="一a=0

22

設(shè)平面8MN的一個法向量為7二(%,外,馬)，

因為麗=(3,0,3),麗=(0,

n-BM=

則，取Z2=1,得〃=(-],1,1),

札而咤嶗=0

8的余弦值為一；.

所以|cos</",〃>=則二面角」

【點睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)定理，考查用空間向量法求

二面角，解題關(guān)鍵是是建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由向量的夾角得二面角，注意觀察二面

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角是銳二面角還是鈍二面角.

19.已知點火2,1）在雙曲線C：二---=1（。>1）上.

aa-1

（1）求雙曲線的方程；

（2）是否存在過點尸|的直線/與雙曲線相交于兩點，且滿足P是線段48的中點？若存在,

求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

2

【答案】⑴，『=|

（2）不存在，理由見解析

【解析】

【分析】（1）代入點火2.1）的坐標(biāo)，解方程可得a的值，即可得雙曲線方程；

I；,,1

（2）假設(shè)存在，設(shè)過P的直線方程為：.y=A（x-l）-7，彳，8兩點的坐標(biāo)為yt),(%,

”），代入雙曲線方程，再相減，運用平方差公式和中點坐標(biāo)公式，及斜率公式，即可得到所求直線的斜率,

進(jìn)而得到直線方程，代入雙曲線方程，檢驗判別式即可判斷.

【小問1詳解】

22

解：已知點由2,1）在雙曲線C：二--一=|（a>l）上

a*

41

所以r--=1,整理得：-4a:+4=0,解得：a2=2,則°=JT

a21

2

所以雙曲線方程為：￡-F=I.

【小問2詳解】

解：由題可知若直線存在則直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為：J=A（x-l）-g

且設(shè)交點三,北）

則｛,,兩式相間得：-xJ（X]+xj=2（乂-%）（必+必）

彳一%=1

(|A

由于P|L-不為,48中點，則$+.馬=2,乂+%=-1

\*?/

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則k，=—■—_—I',=-I，

占一一

,八11

即有直線的方程：y=-（x-l）-彳，即），=-*+彳

1

J=-x+一

<,2=>2x2-4x+5=O

X,

---V2=1

2-

檢驗判別式為A=（-4）--4X2X5=-24<0,方程無實根.

故不存在過點的直線與該雙曲線相交A,2兩點，且滿足尸是線段48的中點.

20.給出下列條件：①焦點在》軸上；②焦點在『軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為的點A到其焦點廠的距離等

于2；④拋物線的準(zhǔn)線方程是.V=-2.

（1）對于頂點在原點。的拋物線。：從以上四個條件中選出兩個適當(dāng)?shù)臈l件，使得拋物線C的方程是

y2=4.v,并說明理由；

（2）過點（4,0|的任意一條直線與C:/=4x交于A,8不同兩點，試探究是否總有萬I_0B?請說明

理由.

【答案】（1）選擇條件①③;詳見解析（2）總癡Z_0B,證明見解析

【解析】

【分析】

（1）通過焦點位置可判斷條件①適合，條件②不適合，通過準(zhǔn)線方程，可判斷條件④不適合，利用焦半徑

公式可判斷條件③適合；

（2）假設(shè)總有07_08，設(shè)直線的方程為T=八.+4,聯(lián)立F'="利用韋達(dá)定理計算力?萬R可

x=夕+4

得結(jié)果.

【詳解】解：（1）因為拋物線C:.1=4x的焦點廠（1,0|在x軸上，所以條件①適合，條件②不適合.

又因為拋物線=4K的準(zhǔn)線方程為：尸-I,

所以條件④不適合題意，

當(dāng)選擇條件③時，|"|=X/+1=1+1=2,

此時適合題意，

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故選擇條件①③時，可得拋物線C的方程是.F=4.V；

（2）假設(shè)總有07_0B，

由題意得直線的斜率不為，

設(shè)直線的方程為'=八.+4,

=4x

由/.得/-4/1，_|6=0

A=n-+4

設(shè)BkM

所以A>0恒成立，M+n=4/,=-16,

則為為=（仍+4）（%+4）=/凹4+4“凹+為）+16=-16r:+16r+16=16,

所以0.4?。8=X..V,+凹”=1616=0,

所以。1_0B，

綜上所述，無論如何變化，總有07_08■

【點睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

21.已知橢圓G6>0）的離心率為冬且過點（2,揚.

（1）求橢圓G的方程；

（2）過點斜率為工（D的直線/交橢圓G于A,B兩點,在〉軸上是否存在點N使得

ZJA.V=Z5,VA/（點N與點M不重合），若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

?2?2

【答案】（1）——+—=1；Q）M0,4|,證明詳見解析.

84

【解析】

【分析】（1）由條件列式，利用待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）首先直線方程/：.v=h工0）與橢圓

方程聯(lián)立，得根與系數(shù)的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為KA+品、=0,代入坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求定點.

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Cy/2

------

a2

42、，，

【詳解】⑴由條件可知＜r+1=lt，解得：聯(lián)=8,卜=「=4,

＜rb-

a2=b2+c2

所以橢圓G的方程是匚+—=1；

84

（2）設(shè)直線Fy=lx+L（*wO）,/（XQJ,用工,”），，v（o，n）,

y=h+1

聯(lián)立得11+21)/+4&x-6=0,

4kx

X.+x,=------r，X/,=-----

1+2-*1+2A-

?：￡ANM=ZBNM,：.kM+kBS=0,

-Jo,y：-y_x?%-Xy+x,y-XJ(,

即nn------+-------0----------2--a------2------

xtX,X|X：

/(+1)+$(3+1)一.%(X|+x；)0

即+(1-j0)(X)+x2)=0,

-12k4乂1-y/

=0，得.％=4,

1+2公-1+2公

即存在定點N（0.41.

【點睛】思路點睛：定點問題解決步驟：

（1）設(shè)直線代入二