江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題H要求的.

I.函數(shù)=/一sinx在［0,汨上的平均變化率為（）

A.1B.2C.nD./

【答案】C

【解析】平均變化率為八兀）一/（°）=王=兀.

7T-071

故選：C

2.已知函數(shù)〃x）=ln（2x+l）上一點(diǎn)P（l,/（1））,則在點(diǎn)P處切線的斜率為（）

123

A.-B.-C.1D.一

332

【答案】B

2

【解析】由f（%）=ln（2x+l）,可得:（刈=五幣，

?2

故在點(diǎn)P處切線的斜率為/'（1）二—

乙I13

故選：B

3.已知A4是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且p（A）=g,P（回A）=；,則*48）=

()

【答案】D

_112

【解析】因?yàn)镻（聞A）=w，由對立事件概率計(jì)算公式可得：P（B|A）=l--=-,

JJJ

I21

則P（八8）=P（八）P網(wǎng)八）=x=,故選:D.

233

4.已知隨機(jī)變量X的概率分布如表所示，且E（X）=?,則，〃=（）

X123

2

Pnm

3

1

B.-C.-D.

643

【答案】B

12

【解析】由分布列的性質(zhì)可得，〃+"2+彳=1，所以〃+/〃=工

33

又因?yàn)镋(X)=U,所以E(X)=〃+2〃?+3X1=U,即〃+2機(jī)=3；

6366

21

〃+機(jī)二一m=—

36

聯(lián)立方程〈，解得

r51

n+2m=—n=—

62

所以機(jī)=一.

6

故選：B

5.甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲命中目標(biāo)的概率為0.6,乙命中目標(biāo)的概率

為0.5,已知目標(biāo)至少被命中1次，則甲命中目標(biāo)的概率為（）

A.0.5B.0.65C.0.75D.0.8

【答案】C

【解析】設(shè)事件A="甲命中目標(biāo)“，3="至少命中一次”，

則P(8)=1-(1-0.6)x(l-0.5)=0.8,P(AB)=P(A)=0.6,

P\AB）0.6…

則已知目標(biāo)至少被命中1次,則甲命中目標(biāo)的概率為展/、=T—=0.75故選：C

I（D]v.O

6.已知〃力是定義在（TG0）U（0，+8）上的奇函數(shù)，若對于任意的X￡（0,+8），都有

/(x)+V'(x)<。成立，且"1)=1,則不等式〃/)一,<0解集為()

AT

A.(^o,-l)u(0,l)B,(-1,())5(),)

C.(-oo,-l)u(l,+oo)D.(-l,0)U(l,+oo)

【答案】D

【解析】設(shè)函數(shù)g(x)=M>(x),則g'(x)=/(x)+礦(x),

因?yàn)?(力是(-。,o)5°，y)上的奇函數(shù)，

所以g(T)=T./(T)=#a)=g(X)，

所以g")是(e,0)5。,+8)上的偶函數(shù)，g⑴=〃1)=1,

因?yàn)楫?dāng)X￡(0,+8)時(shí)，/(x)+礦(x)<0,

所以g'(x)<0,即g(工)在(。,+8)上單調(diào)遞減，

因此g(X)在(y,0)上單調(diào)遞增，

所以g(l)=/(l)=l，^(-l)=-lx/(-l)=l,

當(dāng)x>o,原不等式可化為4(耳<1，即g(x)=va)<i=g(i),解得，>1,

當(dāng)x<0,原不等式可化#(x)>L即g(x)=4Cx)>l=g(_l),解得TvxvO,

綜上所述,XG(-1,0)U(1,+O)).

故選：D

7.某校有5名學(xué)生打算前往觀看電影《哪吒2》，《戰(zhàn)狼》，《流浪地球2》，每場電影至少有

1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看電影《哪吒2》的方案種數(shù)有()

A.30B.45C.60D.75

【答案】C

【解析】依題意，將5名學(xué)生分為1,2,2三組，即第一組1個(gè)人，第二組2個(gè)人，第三組

2個(gè)人，共有甲0=15種方法；

由于甲同學(xué)不去觀看電影《哪吒2》，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，

所以由2A；=4種方法；

按照分步乘法原理，共有4x15=60種方法.故選：C

8.以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理''反映函數(shù)與導(dǎo)

數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗bl中值定理是“中值定理''的

核心，其內(nèi)容如下：如果函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間［4句上連續(xù)，在開區(qū)間(〃㈤內(nèi)可導(dǎo)，

則(。,力)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)天)e(a,b),使得〃。)一/(。)=/'(.)僅一4)，其中x=%

稱為函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間句上的“中值點(diǎn)”.請問函數(shù)"x)=d-2%在區(qū)間

上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)?(x)=V-2x,

所以/'(x)=3d—2,/(-1)=1,〃1)=一1，

若…畔渾r

1一(一1)

（X-1

1

從正態(tài)分布N（4,b2）,其密度函數(shù)為巴e,RER，任意正態(tài)分布

一行

X-N.d），可通過變換Z=三幺轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z?N（0,l）,當(dāng)Z?N（0,1）

時(shí)，對任意實(shí)數(shù)-記①（x）=P（Z<x）,則（）

A.當(dāng)x>0時(shí)，P（-x<Z<x）=1-2（I）（x）

B.0（x）+O（-x）=l

C隨機(jī)變量當(dāng)〃，。都減小時(shí)，概率?（|X-4〈b）增大

D.隨機(jī)變量X?當(dāng)〃增大，。減小時(shí)，概率P（|X—”<b）保持不變

【答案】BD

【解析】對于A：當(dāng)x>0時(shí)，

P（-x<Z<.x）=l-P（Z<-x）-P（Z>x）=l-2/>（Z>x）

=l-2[l-P（Z<x）]=2（D（x）-l,故A錯(cuò)誤;

對于B：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：

①（一"=P（Z<-x）=P（Z>x）=l-P（Z<x）=l-①（x）,即O（x）+O（-x）=l,

故B正確；

對于CD：根據(jù)正態(tài)分布的3b準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中。代表標(biāo)準(zhǔn)差，〃代表均值，即

為圖象的對稱軸，

根據(jù)3o■原則可知X數(shù)值分布在（"一b,〃+b）的概率是常數(shù)，

故由尸（|*一"<0'）=「（4一。<乂<。+〃）可知，D正確，C錯(cuò)誤.

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機(jī)變量X?p）,若E（X）=],D（X）=|,則〃=.

【答案】g

2

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X~8（〃,〃），

所以E（X）=〃〃=|,D（X）=np（l-p）=^f

聯(lián)立解得〃=彳.

故答案為：5

13.在如圖所示的圓環(huán)形花園種花，將圓環(huán)平均分成A,B,C,。四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有牡丹、

芍藥、月季、玫瑰、蝴蝶蘭五種花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一種花且相鄰區(qū)域的花不

同，則不同的種植方法有種.

【答案】84

【解析】現(xiàn)有牡丹、芍藥、月季、玫瑰、蝴蝶蘭五種花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一種花

且相鄰區(qū)域的花不同，

則四個(gè)區(qū)域最少兩種花，最多4種花.所以分三類：

若4和C相同，4和。相同時(shí)，有A；=12種方法；

若種三種花，分人和。杵同與不同兩種情況，此時(shí)有C：(C；A；+A；)=48種；

若種四種花，則有A：=24種，

則不同的種植方法有12+48+24=84種.

故答案為：84.

14.若+x-122aY+ln(2aY+l)恒成立，則實(shí)數(shù)".

【答案】1

2

【解析】因?yàn)閑'+x-l22"+111(2分+1)恒成立.,即e'+犬22辦+1+111(20￥+1)恒成立,

即er+x>eln(2"'")+In(2ax+1)恒成立,

設(shè)/(x)=e”+x,則/⑴之/(in(2at+1))恒成立.

乂r(x)=e、+l>0,則f(x)在R上單調(diào)遞增,

可得x21n(2av+l)恒成立，即e*之2d+1恒成立，

令g(x)=e'—x—l,則=所以當(dāng)x>0時(shí)g'(x)>0,當(dāng)了<0時(shí)

g'(x)<0,

所以g(x)在(0,+⑹上單調(diào)遞增，在(F,0)上單調(diào)遞減,所以g(x)2g⑼=0,

即恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號)，

所以2a=1,解得。=4.

2

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

/八"

15.已知x+-的展開式中共有11項(xiàng).

IX）

（1）求展開式中含/的項(xiàng)的系數(shù)；（結(jié)果用數(shù)字作答）

（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

解.：（1）由題意可知〃+1=解得〃=10,

/八1。

X+-展開式的通項(xiàng)為加二2'，（幻6?尸=2（；0/2,

IX）

令10-2/=4,

解得/=3,

故展開式中含/的項(xiàng)的系數(shù)為2（；0=960；

（2）由〃=10可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第六項(xiàng)，

（r\、5

5

即T6=C：（*-=2=8064.

16.結(jié)合排列組合，解決下列問題.（結(jié)果用數(shù)字作答）

（1）將4封不同的信放到3個(gè)不同的信箱中，有多少種放法？

（2）將4封不同的信放到3個(gè)不同的信箱中，每個(gè)信箱至少有一封信，有多少種放法？

（3）將4封標(biāo)有序號4,B,C,。的信放到四個(gè)標(biāo)有4B,C,。的信箱中，恰有一組

序號相同，則有多少種放法？

解：（1）將4封不同的信放到3個(gè)不同的信箱中，有3"=81種放法；

（2）將4封不同的信放到3個(gè)不同的信箱中，每個(gè)信箱至少有一封信，

r'C1

則將4封信分成1,1,2三組，有一寧=6組，再分給三個(gè)信箱，有6A；=36種放法：

A；

（3）將4封標(biāo)有序號A,B,C,。的信放到四個(gè)標(biāo)有4B,C,。的信箱中，

先確定?組序號相同有C：=4種情況，其余的全部不同均有2種情況，則共有4x2=8種

情況.

17.已知函數(shù)/（x）=（6f-l）ln￥+X+—（?GR）.

X

（1）若4=-2,求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若存在XW(l,+8),使得/(.E)(g成立，求〃的取值范圍.

2

解：(I)若。=一2,則/(%)=-31nx+x——(x>0),

則O3]+/=/3j+2=(xT)(x2),

Xx~x~x~

令/'(x)>。，可得0<R<1或R>2；令/'(X)<0,可得1<XV2,

所以該函數(shù)增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),減區(qū)間為(1,2),

當(dāng)x=1時(shí)取得極大值一1.當(dāng)x=2時(shí)取得極小值l-31n2；

(2)因?yàn)榇嬖趚w(L”)，有成立,

X

所以存在xe(l,+。。)，有/(x)-巴K0成立，即存在xe(l,+8),-l)lnx+xW0.

因?yàn)閘nx>0,

所以存在X￡(l,+8),—1)<-—,

設(shè)〃(力=二-,其中

-lnx+1

貝Ij"(x)=

因?yàn)閄￡(1,~F8),

所以(g)2>0,

當(dāng)一hu+120時(shí)，//(x)>o,

因此h[x)在(l,e]上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以〃3max=〃(e)=Y.

所以即aWl-e,

故。的取值范圍為(y,l-e].

18.11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，

先得11分且至少2分領(lǐng)先者勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)某局比分打成10：10后，每一球交換

發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場五局三勝且每局制乒

乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球.假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得

32

分的概率為一，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為一，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)

43

果也相互獨(dú)立.已知第一局目前比分為10：10,且接下來輪到甲發(fā)球.

（1）求再打兩個(gè)球甲新增的得分X的分布列和均值；

（2）求第一局比賽甲獲勝的概率Po；

（3）現(xiàn)用?估計(jì)每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽日獲勝的概率.

解；（1）依題意如，牙的所有可能取值為0,1,2；

p（X=0）=lx-=l,p（X=l）=lx-4-lxi=—,P（X=2）=』X，=L

'7436'7434312'7434

所以X的分布列為：

X012

7

P

6124

X的均值為E（X）=0x」+l

612412

（2）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件B,平局后每次再打兩個(gè)球后甲新增的得分為乙

則/（例Z=0）=0,P（B[Z=1）=P（B）,P（B|Z=2）=1；

I71

由⑴知，P（Z=0）=-,P（Z=l）=gP（Z=2）=-,

6124

由全概率公式得.

P（B）=P（Z=O）P（B|Z=O）+P（Z=1）P（B|Z=1）+P（Z=2）P（B|Z=2）

i71

二—xO+,P⑶+—,

612v74

解得尸（8）=3,即第一局比賽甲獲勝的概率“0=3；

55

33

（3）由（2）知〃o=w，所以估計(jì)甲每局獲勝的概率均為

根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，設(shè)甲獲勝時(shí)的比賽總局?jǐn)?shù)為Y,

因?yàn)槊烤值谋荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，所以丫的所有可能取值為3,4,5,

3

所以P(V=3)=(|、總，p（1）=c；x3?2162

X5-625

5;

詆5)=W|j648

3125

所以該場比賽甲獲勝的概率為。=夕(丫=3)+*丫=4)+網(wǎng)丫=5)=不行

19.若定義在R上的函數(shù)y=/(x)和y=g(x)分別存在導(dǎo)函數(shù)7'(戈)和g'(x),且對任

意實(shí)數(shù)x,都存在常數(shù)上,使r(x)“g'(x)成立，則稱函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y=g(.t)的

"2—控制函數(shù)”,稱欠為控制系數(shù).

(1)求證：函數(shù)〃x)=3x+l是函數(shù)g(x)=cosx的“3-控制函數(shù)3

(2)若函數(shù)/(6=-犬-奴一12/-20工是函數(shù)屋X)=已'的"—控制函數(shù)”，求控制系

數(shù)人的取值范圍；

(3)若函數(shù)p(x)=e'+神-'函數(shù)y=q(x)為偶函數(shù),函數(shù)y=p(x)是函數(shù)y=9(x)

的“1一控制函數(shù)，，，求證：=的充要條件是“存在常數(shù)。，使得〃⑴-4(x)=c恒成

解：(1)因?yàn)?(x)=3x+l,g(x)=co&r,所以/(r)=3,g'(x)=-sin.r,

則g(x)w[T/‘

故/'(x)-3g'(x)=3+3sinxNO,即/'(x)N3g'(x)恒成立，

故函數(shù)〃x)=3x+l是函數(shù)g(x)=cosx的“3-控制函數(shù)”.

(2)/(x)=-x4-4x34-12x2-20x,g(x)=e”,

則f(x)=-4x3-12x2-24x-20,q<x)=eA>0,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是函數(shù)g(x)的”—控制函數(shù)”，

所以，對任意的xwR,fr(x)>kgf(x),

/'(x)

則&?勺4，

g(x)

./\/'(x)-4x’-12r—24x—20

令小人所-------