九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓綜合壓軸題》解答題專題訓(xùn)

練(附答案)

I.如圖.在RtZVWC中，NACB=90°，。為48邊的中點，連接CQ.以C。為宜徑作0。，

分別與4C,AC相交于點M,N.過點N作。0的切線交/1B于點及

(1)求證：ZBE/V=90°.

(2)若AB=10,請?zhí)羁眨?/p>

①連接0E，0N,當(dāng)NE=時，四邊形。仍N是平行四邊形；

②連接DW,DN,當(dāng)AC=時，四邊形CMQN為正方形.

2.如圖，以八8為直徑的半圓中，點。為圓心，點C在圓上，過點C作C?！ㄈ?,且C。

=0B.連接AO,分別交OC,于點E,F,與。。交于點G,若NABC=45°.

(1)求證：?A/\BF^ADCF；

②。。是。。的切線.

(2)求我的值.

FG

3.如圖，△ABC內(nèi)接于00,為直徑，點/)為半徑04上一點，過點。作的垂線交

AC于點E,交BC的延長線于點尸，點尸在線段PE上，且尸尸=CF.

(1)求證：。尸是的切線；

(2)連接4尸與。0相交于點G,若/A8C=2/以C,求證：AB=BP；

(3)在(2)的條件下，若AC=4,BC=3,求CF的長.

p

4.如圖，AA4c內(nèi)接于。0,AB是(DO的直徑，OO的切線PC交BA的延長線于點P,

OF〃BC交AC于點E,交PC于點、F,連接AP.

(i)判斷直線人尸與00的位置關(guān)系并說明理由；

(2)若OO的半徑為6,AF=2M，求AC的長；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

5.如圖，在△A8C中，AB=AC,以A8為直徑的。0交BC于點。，過點。作EF_LAC于

點、E,交A8的延長線于點F,連接A。.

(1)求證：石廠是0。的切線.

(2)求證：△FBQSZ\FD4.

(3)若DF=4,BF=2,求OO的半徑長.

6.如圖1,已知48是。。的直徑，4C是。。的弦，過。點作。尺LAB交。。于點O,交

AC于點E,交8c的延長線于點F,點G是Er的中點，連接CG.

(I)判斷CG與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求證：2()B2=BC?BF；

(3)如圖2,當(dāng)/DCE=2NF,QG=2.5時，求。E的長.

7.已知：△ABC內(nèi)接于0。，連接4。并延長交AC于點。，且4OJ_BC于點。.

(1)如圖1,求證：NB=NC；

(2)如圖2,點石在菽上，連接A￡,CE,ZACE=^ZACB,求證：ZCAE=2ZACE；

3

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點A作4fLeE交CE的延長線于點R若A6=5,

AB=13,求4尸的長.

8.在中，ZACfi=90°,AC=6,N8=30°,點M是A8上的動點，以M為圓

心，MB為半徑作圓交AC于點D,

(I)若圓M與AC相力，如圖I,求圓的半徑；

(2)若AM=2MB,連接40,如圖2.

①求證：AO與圓M相切；

②求陰影部分的面積.

D是AB上的一點，OE_LA8于。,

DE交BC于F,KEF=EC.

(1)求證：EC是。。的切線:

(2)求證：AOACs小ECR

(3)若80=4,BC=8,圓的半徑。8=5,求EC的長.

10.如圖，已知以8C為斜邊的RlZXABC內(nèi)接于。0,NB4C的平分線交于點。，過點

D作及七〃BC交AB的延長線于點E,連接Z)B,DC.

(1)求證：ED為。。的切線；

(2)求證：BC?=2ED?FC；

(3)若lan/A8C=2,AD=^^,求BC的長.

11.已知△ABC內(nèi)接于O。，D是弧AC上一點，連接BD、AD,BQ交AC于點M,NBMC

=NBAD.

(1)如圖1,求證：8。平分NA8C；

(2)如圖2,過點。作。0的切線，交84的延長線于點八求證：DF〃AC：

(3)如圖3,在(2)的條件下，8C是。。的直徑，連接。C,AM=1,OC=泥，求

四邊形BPQC的面積.

(圖I)(2)(圖3)

12.如圖，A8是。O的直徑，弦CO_LA3,垂足為"，尸為弧A。上一點.

AG

圖1圖2圖3

（1）如圖1,連接AC、PC、PA,求證：ZAPC=^ACD；

（2）如圖2,連接尸B,PB交CD于E,過點P作0。的切線交CO的延長線于點F,

求證：FE=PFx

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AE,且/以E=NR過點A作AG_LPA垂足為

G,若PG=6,PE=4、虧求8”的長.

13.如圖，。。的半徑為1,點人是OO的直徑4。延長線上的一點，C為。。上的一點，

AD=CD,NA=30°.

（1）求證：直線4c是OO的切線；

（2）求△ABC的面積：

（3）點石在贏上運動（不與B、。重合），過點。作CE的垂線，與E8的延長線交于

點F.

①當(dāng)點E運動到與點C關(guān)于直徑8。對稱時，求Cb的長；

備用圖

14.如圖所示，4B是。0的直徑，點E為線段OB上一點（不與0,8重合），作CE_LOB,

交。。于點。，垂足為點E,作直徑CQ,過點C的切線交。8的延長線于點P,作A尸

_LPC于點R連接C3.

（1）求證：4c平分/必從

（2）求證：Bd=CE?CP.

(3)當(dāng)A8=4總時，求劣弧8c長度（結(jié)果保留TT）.

15.己知：如圖，A6是。O的直徑，點C為。。上一點，OFLBC于點尸，文于點E,

A七與5c交于點〃，連接CE,是OO的切線與。石的延長線相交于點。.

(I)求證：ZD=ZAEC；

(2)求證：Cf=EH，EA；

(3)若。0的半徑為5,cos/BCE-l，求2的長.

5

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，已知點A(0,8),點8是x軸正半軸上一點，連接

AB,過點A作AC_LA8,交x軸于點C,點。是點C關(guān)于點A的對稱點，連接8D以

A。為直徑作。。交8。于點E,連接并延長4E交x軸于點F,連接OF.

(1)求線段的長；

(2)若NABE=NFDE,求石尸的值.

17.如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,AE平分NBAC交BC于點E,點D在AC上,以

A。為直徑的。。經(jīng)過點從點尸在⑷。上，目七“平分NAE。，交AC'于點G,連接

(1)求證：/XDEFSGDF；

(2)求證：BC是。0的切線;

(3)若cos/C4E=?,DF=1OV2?求線段G廠的長.

2

18.如圖，。。是△44C的外接圓，AC是OO的直徑，過圓心O的直線L/W于0,交

。0于E,F,是。。的切線，B為切點,連接人P,AF.

(1)求證：直線必為。。的切線；

(2)求證：AC2=WD*0P：

(3)若BC=6,tanNF二￡，求AC的長.

乙

19.如圖，/W是半圓。的直徑，AB=10.C是弧/W上一點，連接AC,BC,NAC8的平

分線交AB于點P,過點P分別作PEJLAC,PFA.BC,垂足分別為E、F.

(1)求證：四邊形CEPF是正方形;

(2)當(dāng)siM=4時，求CP的長;

5

(3)設(shè)AP的長為x,圖中陰影部分的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出)，

的最大值.

P0B

20.問題提出

(1)如圖①，△ABC為等邊三角形，若4B=2,則AABC的面積為.

問題探究

(2)如圖②，在Rt^ABC中，NA8C=90°,AC=3,BO是△A8C的角平分線，過點

D作DELBD交BC邊于點E.若AO=1,求圖中陰影部分的面積.

問題解決

(3)如圖③，是某公園的一個圓形施工區(qū)示意圖，其中。。的半徑是4米，公園開發(fā)部

門計劃在該施工區(qū)內(nèi)設(shè)計一個四邊形綠化區(qū)域ABCD,連接AC.BD,現(xiàn)準(zhǔn)備在△ADC

區(qū)域種植花卉供游人欣賞.按設(shè)計要求，A、B、。、。四個點都在圓上，ZADB=ZBDC

=60。.設(shè)8。的長為x米，△4DC的面積為)，平方米.

①求)，與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

②按照設(shè)計要求，為讓游人有更好的觀賞體驗，△AOC花卉區(qū)域的面枳越大越好，那么

請求出花卉區(qū)域△A/1C面積的最大俏.

圖①圖②圖③

參考答案

1.(1)證明：如圖，連接ON,DN,

???CO是OO的直徑，

:?/CND=/DNB=90”,

TN石是的切線，

，NONE=90°，

：.NBNE=NOND,

?：ON=OD,

J/ODN=ZOND,

J/ODN=ZBNE,

TO是斜邊Ab的中點，

:?CD=AD=BD,

:?NB=NBCD,

?：ZBCD+/ODN=90’,

：?NB+NBNE=90°,

:?/NEB=90°；

(2)解：①：四邊形。以W是平行四邊形,

5

：.BE=ON=—,

2

??,E為8。的中點，

，N為8c的中點，

為△8C。的中位線，

1R

：.NE//CD,且NE=』CQ=q.

22

故答案為：區(qū)；

2

②???四邊形CMQN為正方形，

.\ZMCD=ZMDC=45°,ZCMD=90°,

:?MC=MD=^-CD,

?：AD=DC,

是AC的中點，AC=2MC=MCD,

：.CD=-AB=5,

2

???AC=5&.

故答案為：572.

2.(1)證明：@VCD//AB,

*/ZAFB=/DFC,

JXABFsXDCF、

②?.?/48。=45°,

??.NAOC=2NA8C=90°,

?:CD//AB,

，NQCO=NAOC=90°,

???OC是半圓的半徑，

???CD是O。的切線；

(2)解：過點/作F//〃A8交OC于”，

設(shè)圓的半徑為2a,

?：CD=OB=OA,CD/7AB,

：,CE=OE=ChAE=DE,

由勾股定理得：AE=^Q^24（）E2=^W,

:.AD=2^>a,

,/△ABFSADCF,

.CF=CD=1

**FBAB亍

'：FH//AB,

.FH=CF=1

??麗CBW，

^FH//AB,

?1L=IK=2

**AEOAW，

,?衣=里，

3

???c。是。。的切線，

:?Dd=DG*DA,即（2a）2=DG?2&a,

3.(1)證明：連接OC,

p

；?ZPCF=/CPF,ZOCB=NOBC,

'：PD±AB,

???NPO8=90°,

：.ZCPF+ZOBC=90°,

:?/PCF+/OCB=90°,

???NFCO=90°,

???OC_Lb,

???cr是。。的切線.

,:CG=CG，

：.ZPAC=ZPBG,

'：ZPBA=2ZPAC,

：?NPBA=2/PBG,

???A3為。。的直徑,

AZAGB=ZPGB=9(]0,

/.NAPB=N%B,

:?AB=BP；

(3)解：:AB為。。的直徑，

AZACB=90a,

VAC=4,BC=3,

?,^^=7AC2+BC2=742+32=5，

；?AB=BP=5,

:.PC=2,

???NP/M=NPC4=90°,E4=必，ZAPB=ZPAB,

A(/US),

：,AD=PC=2,PD=AC=4,ZPAC=ZAPD,

：?AE=PE,

設(shè)DE=x,AE=PE=4-x,

在RtaAE。中，AD2+DE1=AE2,即22+『=(4-x)2,

解得尸旦，

2

R

：.EP=4-x=—,

2

VZPEC=900-NEPC,NFC￡=90°-/PCF,即NPEC=NFCE,

:.EF=CF=PF,

4.解：（1）直線AF與。。相切.

???/c為圓。切線,

C.CPA.OC,

，NOCP=90°,

?：OF//BC,

/.ZAOF=ZB,ZCOF=ZOCB,

?：OC=OB,

：?NOCB=NB,

，ZAOF=ZCOF,

???在AAO/和△CO廠中，

OA=OC

ZA0F=ZC0F>

OF=OF

/.AAOF^ACOF(SAS),

：,ZOAF=ZOCF=9Q°,

：.AFA.OA,

又?.?O/1為圓。的半徑，

???AF為圓。的切線；

(2)VZAOF=ZCOF,OA=OC,

???￡為AC中點，

g|JAE=CE=-AC,OELAC,

2

TNOA/=90°,04=6,AF=2^3,

酒里i巫，

OA63

/.ZA0F=3Q°,

：.AE=—OA=3,

2

???AC=2AE=6；

(3)*：AC=OA=6,OC=OA,

???△AOC是等邊三角形，

???N4OC=60°,OC=6,

???/OCP=90°,

:.CP=4^OC=SM，

11jxj2

???SAOCP=￡OU"=*X6X6A/3=18V3?S儂形/IOC=-------------=6n,

,陰影部分的面積為SAOCP-s用形AOC=18近-6m

5.(1)證明：連接。。，如圖所示：

為。。的直徑，

/.^ADB=90°.

：.AD±BC.

*：AB=AC,

，CD=BD=—BC.

2

?：OA=OBf

工。。是△ABC的中位線，

：,OD//AC.

a：EFlAC,

：.EFLOD.

???o。是半徑，

???￡/與OO相切.

(2)證明：TAB為直徑,

???/4。8=90°,

.??N8AD+NABQ=90°,

???ODLDE,

；?NFDB+NODB=90°,

?：OB=OD,

：?/OBD=/ODB,

:./BAD=NFDB,

VZF=ZF,

△尸OA；

(3)解：設(shè)O。的半徑為八則人8=2廠,

???△/BDs△/及4,

,AFDF

??"—9

DFBF

VDF=4,BF=2,

?.2?r+24,

42

Ar=3.

6.解：(1)CG與。。相切，理由如下:

如圖1,連接CO,

圖1

TAB是。。的直徑，

AZACB=ZACF=W,

???點G是所的中點,

:?GF=GE=GC,

,NAEO=/GEC=NGCE,

\'OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

TO產(chǎn)_LA8,

：.ZOAC+ZAEO=W,

：.ZOCA+ZGCE=W,即OC_LGC,

???OC是圓的半徑，

.?.CG與。。相切；

(2)證明：???NAOE=NR7E=90°,ZAEO=ZFEC,

：.ZOAE=ZF,

又?：/B=/B,

:AABCs4FBO,

.DC_AB

**B0"BF

即BO?AB=BC?BF，

?；AB=2B0,

：?2OB2=BC?BF；

(3)由(1)知GC=GE=GF,

:.乙F=NGCF,

工NEGC=2NF,

又,：4DCE=24F,

：./EGC=NDCE,

VZDCE=—ZAOD=45°,

2

：.ZEGC=45°,

又???NOCG=90°,

???△OCG為等腰直角三角形，

:.GC=OC,OG=42OC,

AOD+DG=42OC,BPOC+2.5=^/2OC,

解得OC=5我+5,

2

,:GF=GE=GC=OC,

???DE=GE-DG=OC-DG=品巨.

2

7.(1)證明:YAD上BC,4。過圓心O,

[BD=CD,且AQ_L8C,

：,AB=AC,

???NB=NC；

(2)證明：連接BE,

設(shè)4CE=a,則NACB=3a,

工NABC=NAC8=3a,

???ZABE=ZACE=a,

???NCBE=ZABC-ZABE=3a-a=2a,

/.ZCAE=ZCBE=2a=2ZACE,

(3)解：過點七作EG_LA。于點G,在CG上截取G”=AG,連接

???NAHE=NEAH=2a,

,NCEH=NAHE-NECH=2a-a=a=ZECH,

：.CH=EH=5,

???AC=AB=13,

：,AH=AC-CH=13-5=8,

；?AG=G〃=4,

/-CG=4+5=9,

在Rl^AEG中，^G=VAE2-AG2=^52-42=3?

在RtACEG中，CE=>/EG2-*€G2=V32+92=3d15，

SACEG=<EAF，

???AACE4乙*4乙*

*,?yX13X3=yX3V10X研，

乙乙

13Vl0

??AF=

10

8.解：(1)過點M作MVJ_AC于點N,

:.MN=MB,

VZACB=90°，AC=6,N8=30°，

，48=12,

設(shè)MN=MB=R.

：.AM=12-R,

VZACB=90°,MNLAC,

:?MN〃BC,

：,ZB=ZAMB=3Q0.

.MNM

??二，

AM2

.RV3

??—9

12-R2

解得R=24?-36.

(2)①連接DW,

圖2

由題意可知MB=MD,

???NB=NMOB=30°,

/.ZAMD=60°,

：,AM=2MD,

VZACB=9(r,ZB=30°,

：,AB=2AC,N84C=60°,

???△AMOS/XABC,

???N4QM=NAC8=90°,

???A。與圓M相切：

，8M=4,AM=8,

VZ4DA/=90°,

/MD=7AM2-DM2=4V3?

，s陰影部分=4?X4Xy6QX^?<42=8A/3_等?

NobUo

9.(1)證明：,：OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,

*：DE±AB,

：?N0BC+NDFB=9()：

\*EF=EC,

：,NECF=ZEFC=NDFB,

：?NOCB+/ECF=90°,

：.OCLCE,

???EC是OO的切線；

(2)證明：???A8是。。的直徑，

???NAC4=90°,

：.Z/1BC+Z4=90°,NABC+NBFD=9U°,

：.4BFD=4A,

???4A=4BFD=NECF=/EFC,

'：OA=OC,

/.ZOCA=ZA=ZBFD=ZECF=/EFC,

:.△OACSAECF：

（3）解：??SB是O。的直徑,

，NAC8=90°,

??'0B=5,

???4B=10,

AAC=7AB2-BC2=V102-82=6,

U

下而

??BF=5,

\CF=BC-BF=3,

??△04Cs"b,

?ECJF

?謔記

,orAO?CF5X35

AC62

???8C為。。的直徑,

???NR4c=90°.

??S。平分NB4C,

***BD=CD*

；?ODtBC,

■:DE//BC,

：.ODLED,

又???0。為半徑，

???七。為。。的切線；

（2）證明：由（1）可得△3CO為等腰直角三角形.

'：DE//BC,

：.ZE=ZABC=ZADC,NBDE=/DBC=NDCB=45°.

:.叢BEDs^FDC,

,BDCF

??"二，

DECD

2

即BD=DE*FC,

XBC=V2BD>

工Bd=2ED*FC；

(3)解：如圖2,過點。作QG_LAQ,交AC的延長線于點G.

???NCOG+NAOC=90,，ZDGC=ZDAG=45°.

又???N4O8+NAOC=90°,

:.NADB=/GDC,

,:DB=DC,NBAD=NDGC=45°，

：./XABD^^GCD(4AS),

：,AB=CG.

?；ND4G=45°，NADG=90°,

???△AOG為等腰直角三角形，

：.AB+AC=AG=^2AD=y/2X^^~=3,

2

VtanZABC=2,

???設(shè)A8=x,則AC'=2x.

/.3x=3,

**?x=1.

BPAB=1,AC=2.

BC=22=

：?VAB+ACV12+22=V5?

11.(1)證明：VZBMC=ZBAD,

又丁/3MC=/BAC+/ABD,ZBAD=ZBAC+zlDAM,

NABD=NDAC,

又???孤DC=弧QC,

:?NDAC=NDBC,

/.NABD=/CBD,

???BO平分NA8C；

(2)證明：連接。4、OB、OD,OD交AC十點、N,

丁/。是OO的切線，。為切點，。。是。。的半徑，

：.OD±FD,

：,ZFDO=90°,

又?.?NAOQnZNABO,ZDOC=2ZDBC,NABD=NCBD,

：./AOD=NCOD,

又???AO=CO,

???ONJ_AC,

???NANO=90°,

JZANO=ZFDO,

：.AC//FDx

(3)解：連接。。，交AC于N,

B

AK\Fy7c

FD

（圖3）

???8C是。。的直徑，

：.ZBAC=ZBDC=W,

.*.ZMC=I8O°-ZBAC=90°,

又?；/ANO=/FDN=90：

???四邊形ANQ/是矩形，

:,AF=DN,ZF=90°,

又TOALLAC,

:.AN=CN,

???設(shè)MN=a,則AN=CN=MN+AM=a+\,

：.CM=MN+CN=2a+\,

在RtZXMOC中，cosZACD=—=,

MC2a+l

在RtZ\NQC中，cosZACD=——^,

CDA/G

.娓_a+l

??—r—~"9

2a+1V6

解得m=-土（舍去），。2=1,

2

:.MN=\,CN=a+l=2,

22

；?DN=AF=VCD-CN=&，

又?.?MN=AM=1,NAMB=NNMD,NBAM=NMND=90",

:.叢BAMWADNM（/US）,

:.BA=ND=4^,

：.BF=AB+AF=2^2,

.\AN=FD=a+\=2,

22

???^=7BF+FD=2^3，

/.5ABFD=yDF*BF=2>/2?x273X泥=3&，

乙乙乙

:?SNil!彩BFDC=S/\BFD+SABDC=2近+3^2=5^2.

12.(I)證明：連接4。，

圖1

??Y8是00的直徑，弦CO_L人8,

:充忝,

???/ACD=NDC,

VAC=AC，

,ZAPC=ZADC,

：.ZAPC=NAC。；

(2)證明：連接OP,

圖2

???。/是O。的切線，

???OPLPF,

即NEPF+NOPE=90°,

?：OP=OB,

：./OPB=/OBP,

*：CD±AB,

：?NHEB+NHBE=90°,

NPEF=NHEB,

???/PEF=/FPE,

:,FE=PF；

(3)解：過E作EM_LPF,垂足為

B

圖3

VAGIPF,

AZG4P+ZGM=90°,

VZAPE=90°,

???NG%+NEPM=90°,

*：ZAGP=ZEMP=9（r',

:.AGMsAMEP,

?EPEM

??=，

PAPG

VZM￡=ZF,

tanZPAE=tanZF,

則詈=1!!■,

,.EP_EM

?前百

,EMEM

??---=-----，

PGMF

：?MF=PG=6,

設(shè)PM=x,

,CPE2--PM1=EF1-FM1,

（4A/B）2-x2=（x+6）2-62,

解得：x\=-10,JQ=4,

即PM=4,

?*-?=VPE2-PM2=7（4V5）2-42=8>

..EP_EM

?市話’

即至叵聲

PA6

?,?必=3^^，

?：CD±AB,AB是直徑,

???NBHE=NAPB=90°，

:?/HEB=/BAP,

丁NMPE=/HEB,

???tanZ必B=^=tan/MPE嗡，

iAMi

即耳_衛(wèi)

3V54

:?PB=6屏,

:?BE=PB-PE=2爬,

???sinN〃E8=!|=sinNEPM嘿，

BH_8

H、n275—蛔'

，B”=4.

13.(1)證明：連接OC,如圖1,

*：AD=CD,ZA=30°，

/.ZACD=30°,

???NCQ3=60°，

?：OD=OC,

???NOCO=60°,

???N4CO=NACD+NOCO=90°,

?「OC是半徑，

，直線AC是。。的切線：

(2)解：???NOCQ=600,OC=OD,

???△OCO是等邊三角形，

：.CD=AD=OD=\,

作C”_L3。于點/則?！?2，如圖2,

2

CZ/=222=2近

???7CD-DHI-(y)2，

???A8=AO+8O=3,

ASMBC=yAB<H=yX3乂除=芋-

乙乙乙A

(3)①當(dāng)點E運動到與點。關(guān)于直徑AB對稱時，CE上AB十點、K,如圖3,

圖3

???3。為。。的直徑，CK=返，

2

:?CE=2CK=M，

■:CFLCE,

/.ZECF=90°,

???NCOB=NC￡B=6(T,

/.CF-CE-tan60°-^3X%-3,

②???點E在詢上運動過程中，/CDB=NCEB=60：

在RlZXEC尸中，tan60°=—,

CE

ACF=V3C￡,

，當(dāng)C￡最大時，CF取得最大值，

??.當(dāng)為直徑，即CE=2時，最大，最大值為2

14.(I)證明：連接AC,BC,

6--------/

：.ZOCA=ZOAC,

丁PF是。。的切線，CELAB,

：?NOCP=NF=90°,

：.AF//OC,

：,ZFAC=ZOCA,

：.^FAC=ZOAC,

???C4平分N以8.

(2)證明：???CD是直徑,

???NC4Q=90°,

AZC?P=90°,

?：CE工OB,

???NCE8=NCBP=90°,

???尸C切。0于點C,

:"PCB=/CAB,

〈AB是直徑，

???NAC8=90>,

.??N48C+NC48=90°,NBCE+NABC=9()°,

?：ZCAB=/BCE,

:?/PCB=NBCE,

:?△BCEs^PCB,

?BCCE

??二一'，

CPBC

：.BC1=CE*CPx

⑶解噌V

設(shè)C/=3”，CP=4a,

：8C2=C￡?CP=3。?4口=12。2,

：.BC=2^3a,

在RtZXBCE中，sinNCB”段=裝

CB2^a2

???NC8E=60°,

/.ZBCE=30°,

??.△CO8是等邊三角形,

VAB=4V3?

：.O13=13C=2yJ~3,

???劣弧BC的長=60＞兀義2點=兇葭

1803

15.(I)證明：明8。是。。的切線,

AZOBD=90°,NABC+//)BC=90°,

???8C_L。。,

???ND+NOBC=90°,

JZABC=ZD,

,/ZAEC=ZAI3C,

：.ND=ZAEC；

(2)證明：連接AC,如圖所示:

■:OFLBC,

??BE-CE?

：?/CAE=/ECB,

?：/CEA=/HEC,

:.△CEHS4AEC,

.CEEA

EHCE

:?Cf=EH?EA；

(3)解：連接BE,過。作。G_L8E于G,如圖所示:

???48是。。的直徑，

；?NAEB=90",

：。。的半徑為5,

：.AB=\O,

VcosZBCE=—,

5

：.cosZBAE=—=—,

5AB

；?AE=8,

???心JAB2-AE2=VIO2-82=6,

VBE=CE，

:?BE=CE=6,

,:C?=EH*EA,

:?EH=?,

2

在中，BH=VBE2+EH2=—?

2

VOG±BE,06=OE,

???4G=3,

A^=VOB2-BG2=V52-32=4*

乙乙

94

5

159427

2510

16.解：(1)???點A(0,8),

???AO=8,

YA。是OQ的直徑，

???/AEB=/AEQ=90°,

/.ZAEB=ZAOB=90a,

???M垂直平分CO,

：.BC=BD,

：.ZABO=ZABE

在△48E和△AB。中，

rZAEB=ZA0B

,ZABE=ZAB0?

AB=AB

?)△ABE竺△A3O(AAS),

：,AE=A()=Si

(2)?:NABE=NFDE,

:?AB〃DF,

???△CABs/XC。尸，

.ABCA1

DFCD2

又,：/ABE=4FDE,/AEB=/FED

:,/\DEFS4BEA,

?.?AE二A—B-'1,

EFDF2

???E尸=2AE=16；

(3)設(shè)6O=x,貝ijA6=,r+4,

在RtZ\A8。中，由得：82+?=(x+4)2,

解得：x=6,

：.OB=BE=6,AB=1。，

???/EAB+NABE=90°,NAC8+/A8c=90",

：.ZEAB=ZACB,

?.?N8M=NA",

,BFBE3

??二一一二一;

AFAO4

設(shè)EF=m,則AF=8+w,BF=—(8+〃?),

4

,/在RlABEF中,BE2+EF2=BF2,

.*.62+m2=[—(8+m)]2,

解得：即

77

BE67

??tanNAFC=而二]軌R.

—

???E/平分/4ED,

/./AEF=NFED,

,/ZAEF=ZADF,

；?ZFED=NADF,

?:NGFD=ZDFE,

：,AGFDS4DFE;

(2)證明：如圖2,

F

圖2

:Afi1平分/RAC,

；?/BAE=NEAO,

*：OA=OE,

：,ZEAO=ZOEA,

：?NBAE=NOEA,

:.AB//OE,

：?NOEC=NB,

VZB=90°,

/.ZOEC=90°,

?.,0E為半徑,

???8C是。。的切線：

(3)解：如圖3,連接OF、A凡

???4。為直徑，

AZAFD=ZAED=W,

???石戶平分/人口)，

AZAEF=ZFED=45°,

JNAFO=NAE尸=45°,

???△AFD為等腰直角三角形，

VDF=10V2，OA=OD

.,MD=V2DF=V2X1(>V2=2O,OFLAD,OA=OD=OF=\0,

VcosZCAE=-^-,

2

華=10愿,

.?.AE=AQ?cosZCAE=20X

*/ZAEF=ZADF,Z4GE=/FGD,

/.MAGEsAFGD,

?FGDF10V2、歷

,,而記FT前

:.AG=^-GF,

2

'：AG=AO+OG=lO+OG,

，10+OG=^-GF,

2

：,OG=^-GF-10,

2

在Rt△尸OG中，

GF2=OF2+OG2,

???G產(chǎn)=1（）2+（迎GF-10）2,

2

解得：G尸=10（6吃）或10（遍/）（不符合題意，舍去），

，線段Gr的長為1。函用）.

18.（1）證明：連接。8,

???P8是。。的切線，

???NP8O=90°,

?：OA=OB,8A_LPO于。，

：.AD=BD,NPOA=4POB,

又?：PO=PO,

C.^PAO^^PBO（SAS）,

???/%。=/尸8。=90°,

???。4為圓的半徑，

.??直線以為OO的切線:

(2)證明：???/%0=/2。4=90°,

???NO4O+/AOO=9(T,N。%+NAOP=90°,

：.ZOAD=ZOPA,

?.?OD=OA，

OAOP

；,Ol=OD?OP,

又?；AC=2OA,

：,AC2=4OD*OP；

(3)解：?.?OA=OC,AD=BD,BC=6,

.?.OD=—BC=3,

2

設(shè)AD=x,

VtanZF=—,

2

：?FD=2x,OA=OF=2x-3,

在Rtz^AO。中，由勾設(shè)定理，得，

(2A--3)2=A-2+32,

解之得，XI=4,m=0(不合題意，舍去)，

：.AD=A,OA=2x-3=5,

??FC是。。的直徑，

：.AC=2OA=\0.

?AC的長為10.

19.(1)證明：???NAC8=90°,PE±AC,PFYBC,

???四邊形PECr是矩形，

二'CP平夕｝NAC4,PE上AC,PF±BC,

:.PE=PF,

???四邊形CEPF是正方形；

(2)解：VsinA=—,4B=10,

5

?BC4

??=-9

AB5

.*.BC=8,

.\4C=>7AB2-BC2=XV102-82=6>

設(shè)PE=CE="b則AE=6-"b

(3)解：:四邊形CEPF是正方形，

:.PE=PF,NAPE+NBPF=9()°,NPEA=NPFB=9()0,

f

，將△APE繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△/!'PF,PA=PAt如圖所示:

則A'、尸、3三點共線，ZAPE=ZArPF,

PF+NBPF=90°,即PB=90°,

S^PAE+S^PBF=S^PAB=—PA'?PB=-X(10-x),

22

2

3與x之間的函數(shù)關(guān)系式為)，=-yX+5A-,

??_12“_1L、225

-3?---x+5^--—z(x-5)f，

???x=5時，y有最大值為噂.

20.解：(1)如圖①，AD1BC,

???△4EC為等邊三角形，48=2,

AZB=60°,BC=AB=2,

VAD1BC,

/.ZADB=90°,

在RlAABD中，—=sin?=sin600,

AB

.AD_V3

??-------,

22

:.AD=屈,

:./XABC的面積=2AB?AO=2X2