同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A必一P194習(xí)題T5）已知sin那么cosa=(B)

5

A4B-4

C-5D.-

5

471--+oclf—~+?1[^―Gtl

【解析】因?yàn)閟insin、2J=sinI2J=—sin匕J=

所以cosa=~~

2.若a為第二象限角，且sina=L則tana=（D）

3

B.—2也

n—也

D.------

4

【解析】因?yàn)镼為第二象限角，sina=~,所以cos。=一碗二^n%=—々總，則tana

33

sina_也

cosa4

3.（人A必一P195習(xí)題T8）已知sin|j[+')=返,

且0Vx〈匹，則sin

32-3-

2^2

cos

-3-

【解析】因?yàn)椤?寸所以一寸又sm所以ty，

所以cos[3:71^smt+Lsm71

2

l-sinU”COS

3

COS7l--COS

3

1+sina—sina

4.（人A必一P186習(xí)題T16）已知a為第二象限角，化簡(jiǎn):

1-sina+sina

-2tana.

1+sin。/1—sina_

【解析】因?yàn)?。為第二象限角，所以sin。>0,cosa<0,

1—sina\1+sina

(1+sina)?(1-sina](1+sina)?/(I—sin?)2_1+sinot

(1—sina)(1+sina)(1+sina)(l—sina)cos2a\lcos2acosa

1-sina

2tana.

cosa

i74

5.（人A必一P255復(fù)習(xí)參考題T17改編）已知sincc-cos0Wcc〈兀,則sin2a=_辱,

7

cos2a=一—

--25-

1174

【解析】將sina—cosa=一兩邊平方得l—2sinacosa=一,所以2sin(zcosa=一,又

52525

……[I],所以(sina+cos。)2=1+2sinacosoc=1+￡=曹,從而sina+cos

?._4

sincosa=~1,sina——,

7、、.55

a=一.聯(lián)立7得‘3以sin2a=2sinotcos(z=,cos2。=

5sina+cosa=~,cosot=—,

55

coszot—sm'a=------.

25

聚焦知識(shí)

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

基本關(guān)系常用變形

sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l

平方-cosa),

_sin2a+cos2a=L_

關(guān)系cos2a=1—sin2a=(1+sina)(l—

sina)

tan(X=sina=tanacosa

商數(shù)

sin注,2歷i+1,左￡@

關(guān)系

~cosa——

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

2E+。71

角n+a~aTi-a----a兀-L

(0)22

正弦sina—sina-sinasinacosacosa_

余弦cosa-cosacosacosa_sina—sina

正切tanatana-tana—tann_

奇變偶不變，符號(hào)看象限

記憶

“奇”“偶”指的是“『j+a/ez)”中的左是奇數(shù)還是偶數(shù)；

規(guī)

律及“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱(chēng)的變化；

解釋“符號(hào)看象限”指的是在“左g+a/GZ)”中，將a看成銳角時(shí)，“左彳+

a/ez)”的終邊所在的象限

3.常見(jiàn)的互余和互補(bǔ)的幾組角

兀1_.7TITCII_.兀7TII__-兀A/T

互余的角----a與一"ra；--Ha與---a；--ba與---a寺

363644

四十。與統(tǒng)一"三+。與紅一。等

互補(bǔ)的角

3344

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目幀U同角關(guān)系式的基本應(yīng)用

視角1知一^求二

例1-1若/sina+sin￡=3，貝!Jtana=(B)

C.1D.加

【解析】因?yàn)椋?夕=,所以夕=彳一%所以也sina+sinp=gsina+sin(2°0=^28^

sina=9

廠,K/2sina+cosa=yj3,,,

osa=^.聯(lián)立?「‘解得J3因此tan、=sina=

sin2a+cos2a=1,cosa=—cosa

,3

視角2齊次式的計(jì)算

例1-2已知tana=-

3

八、sin?—2cosa

(1)求,的值；

3sin?+4cosa

1c

sina—2cosa-------2

|rjsina2cosa_cosa_tana2______3______7

3sina+4cosa3sinot+4cosa3tana+4f-q9-

3Xl3j+4

cosa

(2)求sir^Q—3sinacosQ+1的值.

【解答】sin2ot—3sin(zcosa+1=sin2a—3sin?cosa+(sin2a+cos2?)=

2XlT3j-3Xl㈠3J+1-2+1+1

2sin2a_3sinoccosa+cos2a_2tan2a_3tana+1

sin2a+cos2atan2a+1I3J+1;+l

視角3和積轉(zhuǎn)換

例1-3已知sinx+cosx=Q(a￡［一/，也］,”W±1),求值:

(1)sinxcosx；

【解答】由sinx+cosx=a(a^[—\[2,也],-W±l),可得(sinx+cosx)2=〃2,即1+

q2--]

2sinxcosx=6z2,所以sinxcosx=一

(2)sin3x+cos3x；

【角星答】sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x—sinxcosx+cos2x)

.2

(3)tanx.

【解答】由于sinxcos》=匕*,故si=cosx=『,所以_tan^=用二1,即⑷

2sin2x+cos2x2tan2x+12

222222

—l)tanx—2tanx+(7—1=0.由于[一也,也],aW±l,故/=4—4(tz—l)=4tz(2—a)^0f

_2±44次(2-4)_I向欣2一吟_1±412一層

故tanx

2(a2~l)a2—1a2—1

＜總結(jié)提煉A

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧

技巧解讀適合題型

利用公式tan6=顯逑化成正

cos0

切弦表達(dá)式中含有sin0,cos0與

弦、余弦，或利用公式翅e=

互化cos0tan仇知一^求二(方程思想)

tan?；烧?/p>

1=side+cos20=cos20(l+

T的tan2^)=(sinfttcosff)2+2sin

表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化

變換

兀

8cose=tan-

4

和積利用關(guān)系式(sin處cos9)2=表達(dá)式中含有sin但cos0或

轉(zhuǎn)換l±2sin8,cos。進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化sin8cos0

變式1-3(1)已知sina,cos。是關(guān)于x的一元二次方程2工2+工-2加=0的兩根，則實(shí)

數(shù)加的值為=;若OVQV兀，則sin。一cos。

-8--2~

【解析】由已知得sina+cos。=—①，sin(xcosa=—m?9將①兩邊同時(shí)平方得sin2a

+cos2a+2sinacosa=~,貝!Jsinacosa=—,所以加=一.又OVaV兀，sina+cosa=—,sin

4882

2

acosa=—~,所以sina>0,cosa<09所以sina—cosa>0,sina—cosot=\/(sina—cosa)

⑵(2021?新高考I卷)若tan。=—2,則smK+sm2。)=(c)

sin9+cos0

A.—6B.--

55

CD.-

-t5

sine(l+sin2。)sin6(sin2。+cos28+2sin8cos3)

【解析】sin9(sin3+cos0)

sin9+cos0sin8+cos0

sin夕(sin6+cosff)tan2。+tan84一22

sin2。+cos261+tan231+45

目誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

例2(1)化簡(jiǎn)：

cos(兀+a)cos

cos(7i—a)sin(一兀一Q)sin

—cosa(—sina)cos

-----------sin2a(-cosa)

【解析】由誘導(dǎo)公式得，原式=一fit,]=-----：---------=tana.

I[十a(chǎn)|—sinacos2a

—cosasinasin

(2)已知cos(75°+?)=1,則cos(105°—a)+sin(15°—

【解析】因?yàn)?105。一0)+(75。+砌=180。,(15°-a)+(a+75°)=90°,所以cos(105。一

a)=cos[180-(750+a)]=-3(75。+。)=—；,sm[9。。一(a+75.)]=cos(75。

+a)=；.故cos(105°—a)+sin(15°—a)=—j=0.

〈總結(jié)提煉A

誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用：

(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.

(2)化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

71

a—

變式2(1)(2025?黃岡期初)若sin+3cos.2,=0,則tan2a=(D)

A.B.-

33

C--4D-4

2

2tana33

【解析】原方程可化為一cosa+3sina=0=tana=-,故tan2a=

31—tan2a14

1—

9

(2)已知sint_6:x+-\

則cos、3j=(C)

3

7B-4C3

卜+小紙用[Mi

【解析】cosl3J=sinL_2」=sm16J=~.

3

目幀周三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明

tan(9”+?)+l

例3求證：-

1—2sin2(7i+0tan(7i+0-1

2sinsin。)—1-2sin9cos。一1

【解答】左邊

1—2sin2^1—2sin20

-2sin9cos6—(sin2e+cos2e)一(sinO+cos9)2sin6+cos0.,,tan0+1

-----------,右邊二--------

sin20+cos2^—2sin20(cos6+sin6)(cossin9)sin0-cos0tan0—1

sin8?]

出火—=sin0+cos6,所以左邊=右邊，即得證.

sin9]sincos0

cos0

＜總結(jié)提煉A

(1)熟練掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)

鍵；

(2)利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)

系，靈活使用公式進(jìn)行變形.

隨堂內(nèi)化

1.(2024?衡水、承德二模)已知tana=2,則一也加一=(A)

sina+cosa

AB.—

-15

c.--D

9|

sin3asinacos2a+cos(zsin2atanacos2a+sin2a2cos2a+sin2a

【解析】

sina+cosasina+cosatan?+13

2(cos2a—sin2a)+2sin<zcos(z2(l—tan2a)+2tan?2

3(sin2a+cos2a)3(tan2a+l)15

2.（2025?蘇州期中）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x￡R都有cos（x-0）=sinxcos6+cosxsin8成立,

則。的值可能是（A）

A-4

C--4D.0

【解析】cos(x—0=sinxcos0+cosxsin<9=sin(x+<9)=sin(x—0+23),故2。=：+2歷i,

kGZ,即。=四十也，kGZ,當(dāng)左=0時(shí)，0=~,經(jīng)檢驗(yàn)，只有A滿(mǎn)足題意.

44

3.（2024?衡陽(yáng)二聯(lián)）已知，則tana=(A)

A-4B.-

2

C.2D.4

82sinrxcosa

【解析】由,得sin2a=—,所以2sin(xcosa=一:

1717sin2a+cos2a

82tana8，(斗，1?

一=>-------=一=tana=4或tana=—.又4fJl,所以O(shè)Vtana<l,所以tana=~.

171+tan2a1744

sm[T+€+os」

4.（2024?岳陽(yáng)二模）已知?ez,CMT，則（C)

3

A.cosa+sina=l

3

B.cos(x+sina=—~

3

C.sin2a=—~

9

D.sin2a=-

9

【解析】設(shè)左￡Z,當(dāng)〃=4左時(shí)，sin+cossin(2foi+a)+cos(2k7i~a)

&+€+cos[?-"]=sin[2H+2+a]+cos

sina+cosa=l.當(dāng)〃=4左+1時(shí)，sin

3

設(shè)一@=癡+無(wú)

一a\1.tK+a)+cossin(2+a)

、2J=cosa+sin。=一.當(dāng)幾=4左+2時(shí)，sin

3

+cos（2E+兀-a）=—sina—cosa=^9此時(shí)cosa+sina=-；.當(dāng)〃=4女+3時(shí)，sin12J

al（2^+—+?1（2H+——al1.

+cos12J=sinI2J+cosI2J=-sina—cos。=一，止匕時(shí)cosa+sina

3

=一；.綜上，cosa+sina=±;，（sina+cosa）2=sin2oc+cos2a+2sinacosa=sin2a+cos2a+

18

sin2a=1+sin2a=~,所以sin2a=—.

99

「海警提示1

I

\______________________________________________________________________）

練案?趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們及時(shí)完成《配套精練》.

練案?1.補(bǔ)不足、提能力，老師可增加訓(xùn)練《抓分題?高考夯基固本天天練》（提高版）

對(duì)應(yīng)內(nèi)容，成書(shū)可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢(xún)購(gòu)買(mǎi).

2.為提高高考答卷速度及綜合應(yīng)考能力，老師可適時(shí)安排《一年好卷》或《抓分卷?高

考增分提速天天練》（提高版），成書(shū)可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢(xún)購(gòu)買(mǎi).

配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?泰安三模）若tana=2,則一2a,=（A）

cos2a-sin2a

A-B.-

3

4

9*

sin2a_2sinncosa_2tana_4__4

cos2a—sin2acos2a_2sin2a1—2tan2a1—87

2.(2021?全國(guó)甲卷)若ad(°'3tan2a=C0Sa,則tana=(A)

2—sina

■總力■匚Ym乂,ccosa匕匕］。sin2a2sinacosacosa田山

【解析】因?yàn)閠an2a=-----------,所以tan2a='--------=-----------丁=-------,因?yàn)?/p>

2—sinacos2a1—2sin%2—sina

，金卜'J,所以cosaZO,所以2sin.a=----L一,解得sina=l,所以cos

a=A/1—sin2(z

1—2sin2(x2—sina4

V15訴a*_sin(Z_A/15

---,所以tana--------------

4cosa15

3.（2024?運(yùn)城期中）已知a￡（0,兀），若sin2+”,貝ijsina=(B)

4

A.'

8

c市+1

.8

1012K+-

【解析】sinsin2j=sincos2a,若sin

計(jì)”,則cos2a=l-2sin2a=Zd71,所以sin2a又因?yàn)?/p>

44l

7i),貝!Jsina>0,所以sina=^--

?e(0,

4

可

JoVaVn[J1+sin2a+@—sin2。

4.已知tanQ=-12J,貝產(chǎn)C)

2sina+cosa

2

A.B

3--J

4

3

0<a<-

<12J,所以O(shè)VaV：,0<sinot<cosa,sina+cosa>0,sina—cosa<0,則Ll+sin2a

1+sin2a+\/1—sin2a

+A/1—sin2?=sina+cosQ+cosa—sina=2cosa.所以

sina+cosa

2cosa_2_4

sina+cosatana+13

二、多項(xiàng)選擇題

f也

5.(2024?常州期中)已知0’2J,且3cos2a+sina=l,則下列結(jié)論不正確的是

(BCD)

22

A.sin(Ti—a)=-B.cos(Ti—a)=--

C.sinI+[=—*D.cosM=—造

33

一"…一

【解析】因?yàn)?cos2a+sina=1,2J,所以3(1—2sin2(z)+sina=1,即6sin2a

-since—2=0,所以sina=2或sina=一%舍去)，所以cosa=^^2

,sin(兀-a)=sinQ=1,cos

32

—/sin(I+a)=cosa=河

2

(7i-a)=-cosasina

3333

"T=0,則下列結(jié)論正確的有（AC

6.已知sin(a-7i)+2sin)

A.tana=2

B.sina-cos。=近

5

3

C.sinacosa+cos2a=-

5

Dsinoc+cosa1

sincosa3

"+J=0,得一sina+2cos

【解析】由sin(a—7r)+2sina=0=>tana=2,故A正確.sin

,°sinoccosa+cos2(ztana+12+134——丁左sin。+cosatana+1

<zcos。十COS'Q=--------------；-------=-----------=------=一,故C止確.

cos2a+sin2?1+tan2a1+45sina—cosatana—1

2+1

—=3,故D錯(cuò)誤.因?yàn)閠ana=2>0,所以a為第一或第三象限角.若a為第一象限角，則

2-1

.2^5

sin2a+cos2a=1,sina------,

5

sina=2所以若為第三象限角，則

=_\!Jsina—cosa——a

cosacosa=—,5

j

sin(z>0,cosa>0

.2#

sin2a+cos2a=l,sina—9

5

sina一？

所以故錯(cuò)誤.

=_vJsina—cosa=-B

cosacosa=------,5

sinot<0,cos(z<0J

7.已知?！?0,7i),sine+cos9=g,則下列結(jié)論正確的是(BD)

73

A.sin夕——cos0=B.cos0=—

55

37

C.tan0=----D.sin4^—cos40=一

425

【解析】因?yàn)閟inO+cos9=g①，所以(sin6+cos9)2=1+2sin8cos則2sinOcos

。=一||.因?yàn)??！?0,7i),所以sin8>0,cos^<0,所以。wQ'9,所以(sin。一cos8)2=1

4Q742

—2sin0cos0=—,所以sin夕一cos夕=~@,故A錯(cuò)誤；聯(lián)立①②可得sin。=一，cos0=—,

25555

故B正確；tane=sin"=-4,故Q錯(cuò)誤；sin4^—cos4^=(sin26>—cos2<9)(sin2^+cos20=(sin^

cos03

7

—cos0（sin9+cosG）=五,故D正確.

三、填空題

f磯1A/5

8.（2023?全國(guó)乙卷文）若。0Jtan9=~,貝!Jsin（9—cos0=----=

2一5一

【解析】因?yàn)?。金［?J,所以sin。＞0,cos。＞0.又因?yàn)閠an。=包口=1,所以cos。

cos。2

=2sin0,且cos2^+sin2^=4sin2^+sin20=5sin20=1,解得sin8=：或sin9=（舍去），

所以sin<9—cos9=sin8—2sin9=-sin0=---.

Q3VY]-1

9.已知sina=，cos?=-終口，且。為第二象限角，則

m+2m+2

sin（c+2024TT）+COS（C+2025兀）

cosI2J

【解析】因?yàn)閟ina=2-,cosa=--,且a為第二象限角，所以

m+2m~\~2

—「〉0，

m+2m+12

解得加或冽＞冽

m+lV—23.因?yàn)閟in2a+cos2a+2

m+2

5m2---1C\vyi—I—1Q1

也一整理可得2加2—7冽+3=0,即（2冽一1）（加—3）=0,解得冽=々舍去）或加

加2+4機(jī)+42

Q缶2-2m—33m+14訴]”.sina3..

=3,所以sina=--------=-,cosa=-----------=---,所以tana=-------=-----,因m此

m+25m+25cosa4

sin（a+2024兀）+cos（a+2025兀），r

-----------二----------------sina—cosa,1…47

cos卜+學(xué)）=—sina-1一〔+3=『

10.（2024?武漢5月訓(xùn)練）若1+-—=3,則sin4oc+cos4a=.

1—tana-8-

?&刀L1+tana二/曰cosa+sinar'/曰1+2cosasina,,,

【解析】由-------=73得-------:一=73,兩邊同時(shí)平方得---------:一=3,故cos

1—tanacosa—sina1—2cosasina

1件7

asina=一,貝！Jsin4a+cos4a=（sin2?+cos2a）2—2sin2（xcos2a=1—2XvJ=-

48

四、解答題

iq

11.已知一7rVaV兀，tana---------=----.

2tana2

（1）求tant的值;

1Q1

［解答］令tanax,則x—=—,整理得212+3%一2=0,解得x=-或x=-2.因?yàn)?/p>

x22

-<a<7i,所以tana<0,故tana=-2.

⑵求

sinQ+COSa,,,

【解答】----------------=tana+1=—2+1=—1.

cosa

1-cos2asina+cosa

12.(1)已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—4,3),先化簡(jiǎn)，再求值:

sin。—cosatan2a~1

aAsina+cOSa

【解答】由題意知sina=—,cosa=—.原式==

55sina—cosasina——sin(z—cosa

cos2a

sma十cosa_sin2acos2a(sina+cosa)sin2acos2asin2a-cos2a

sida—cos2asin?-cosasin2a—cos2asina—cosasinot—cosasinot-cosa

cos2a

sina+cosa=^=-l

555

-2sin40°cos40°4壬

(2)計(jì)算*的值.

cos

\(sin400—cosdOyjsiMOo—cos40°|cos40°—sin40°

【解答】原式=1.

cos40°—A/COS250°COS40°—COS50°cos40°—sin40°

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，角a的終邊。/與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為

/卜’―J(加＜0),射線(xiàn)04繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)?；《群蠼粏挝粓A于點(diǎn)B,點(diǎn)、B的縱坐

標(biāo)y關(guān)于6的函數(shù)為了="。).

(第13題)

(1)求函數(shù)了=/記)的解析式，并求/［—T

的值;

【解答】因?yàn)辄c(diǎn)/在單位圓上，所以由三角函數(shù)的定義可得sina=-1又因?yàn)闄C(jī)＜0,

2

所以a=區(qū)，所以｛0)=sin3,卜TsmbkWJ

6