專題：實(shí)際問題與二次函數(shù)(考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練)

A考點(diǎn)預(yù)覽

|考點(diǎn)一：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.拋球問題

|考點(diǎn)二：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.拱橋問題

;考點(diǎn)三：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?噴水問題

[考點(diǎn)四：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?幾何問題

|考點(diǎn)五：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?銷售問題

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核心考點(diǎn)梳理

一、數(shù)學(xué)模型思想：

L核心：將實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系抽象為二次函數(shù)關(guān)系，即建立二次函數(shù)模型。

2.步驟：審題->設(shè)元->列函數(shù)關(guān)系式->確定自變量取值范圍->利用二次函數(shù)知識(shí)解

決問題->檢驗(yàn)并作答。

二、解決實(shí)際問題的一般步驟：

1.審清題意：明確問題中的已知量、未知量，找出題目中的等量關(guān)系和不等關(guān)系。

2.設(shè)自變量：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛樽宰兞縳,并表示出其他相關(guān)變量。

3.列函數(shù)關(guān)系式：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出因變量a工00關(guān)于自變量x的二次函數(shù)關(guān)

系式y(tǒng)=ax2+bx+c(aHO)。

(1)關(guān)鍵：找出等量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言。

(2)注意：自變量x的取值范圍必須使實(shí)際問題有意義(如：長度、寬度、數(shù)量不能為負(fù)，

且符合實(shí)際情境限制)。

4.求解函數(shù)：利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題，主要是求最值、根據(jù)函數(shù)值求自變量、判

斷函數(shù)增減性等。

5.檢驗(yàn)與作答：檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合實(shí)際意義，然后寫出完整的答案。

三、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用(在實(shí)際問題中)：

1.二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：y=ax24-bx+c(aH0)

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)24-k(aH0),其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。

2.二次函數(shù)的最值：

（1）對(duì)于二次函數(shù)a>00（a^O）,其圖像是一條拋物線。

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值。

②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。

（2）最值點(diǎn)（頂點(diǎn)）坐標(biāo)：

①頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=—；。

2a

②頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為丫=乎或代入X=求出。

,4a2a

（3）在實(shí)際問題中求最值：

①若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=-"在自變量x的取值范圍內(nèi)，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。

②若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量X的取值范圍內(nèi)，則函數(shù)的最值在自變量取值范圍的端點(diǎn)處取

得（需結(jié)合函數(shù)的增減性判斷）。

3.二次函數(shù)的增減性：

（1）當(dāng)aVOO時(shí)，在對(duì)稱軸x=-：的左側(cè)，y隨K的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，y

隨X的增大而增大。

（2）當(dāng)a<0時(shí)，在對(duì)稱軸X=-?的左側(cè)，y隨X的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，

x=—3）隨X的增大而減小。

（3）在實(shí)際問題中，可用于判斷何時(shí)取得最大/小值，或比較不同自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小。

四、常見實(shí)際問題類型及解題要點(diǎn)：

1.最大利潤問題：

（1）基本關(guān)系：總利潤=單件利潤X俏售量；或總利潤=總收入■總成本。

（2）思路：設(shè)漲價(jià)或降價(jià)的金額為x（或設(shè)售價(jià)為X）,表示出單件利潤和銷售量（通常銷

售量是售價(jià)或漲/降價(jià)金額的一次函數(shù)），從而得到總利潤關(guān)于X的二次函數(shù)關(guān)系式，求其最

大值。

（3）注意：自變量x的取值范圍要符合實(shí)際（如售價(jià)不能低于成本，銷售量不能為負(fù)等）。

2.最大面積問題：

（1）常見模型：

①用固定長度的材料圍成矩形（或其他可轉(zhuǎn)化為矩形的圖形），求最大面積。

②在矩形內(nèi)截出一個(gè)小矩形（或其他圖形），使剩余面積或截出面積最大。

③利用二次函數(shù)解決與幾何圖形（如三角形、拋物線形拱門等）面積相關(guān)的最值問題。

（2）思路：設(shè)矩形的一邊長為x,根據(jù)周長或其他條件表示出另一邊長，從而得到面積關(guān)

于X的二次函數(shù)關(guān)系式，求其最大值。

(3)注意：自變量x的取值范圍要保證幾何圖形的存在性(如邊長為正數(shù)，且滿足圖形的

約束條件)。

3.拋物線形運(yùn)動(dòng)/建筑問題：

(1)常見模型：物體的拋射運(yùn)動(dòng)(忽略空氣阻力時(shí)，軌跡是拋物線)、拋物線形的拱橋、隧

道、投籃等。

(2)思路：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的解析式(一般式或頂點(diǎn)式)，根據(jù)己知點(diǎn)的

坐標(biāo)求出解析式，然后利用解析式解決諸如“求最高點(diǎn)高度''、”求落地點(diǎn)距離”、“判斷某物能

否通過”等問題。

(3)關(guān)鍵：坐標(biāo)系的建立要恰當(dāng)，通常以拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸為坐標(biāo)軸可以簡化計(jì)算。

4.其他類型：

(1)物體運(yùn)動(dòng)的路徑問題：如小球彈跳高度與次數(shù)的關(guān)系(可能涉及分段函數(shù)，但部分階

段可近似為二次函數(shù))。

(2)用料最省問題：在滿足一定條件下，使材料用量最少(可轉(zhuǎn)化為面積或體積的最值問

題)。

(3)圖表信息題：根據(jù)表格或圖像提供的數(shù)據(jù)，判斷是否符合二次函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)

解析式，進(jìn)而解決問題。

，考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.拋球問題

1.一實(shí)心球經(jīng)過的路線為如圖所示的拋物線，其表達(dá)式為y=-*(x-4)2+3,則實(shí)心球的

2.如圖，某同學(xué)在投擲實(shí)心球，他所投擲的實(shí)心球的高h(yuǎn)(m)與投擲距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)

系滿足h=-5x2+：x+：,則該同學(xué)擲實(shí)心球的成績是()

（I）根據(jù)上表，請確定拋物線的表達(dá)式；

（2）請計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)0的水平距離為5m時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度.

6.2022卡塔爾世界杯足球比賽正在進(jìn)行阿根廷和荷蘭的決賽，阿根廷球員梅西在距球門底

部中心點(diǎn)O的正前方10m處起腳射門，足球沿拋物線:向球門中心線；當(dāng)足球飛離地面高度為

3m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)足球飛行的水平距離為6m.己知球門的橫梁高OA為2.44m.

AJ;（m）

（1）建立如圖所示直角坐標(biāo)系，求拋物線解析式；

（2）梅西的射門，足球能否射進(jìn)球門（不考慮其他影響因素）？

（3）守門員乙站在距離球門2m處，他跳起時(shí)手的最大摸高為2.52m,他能阻止球員甲的此

次射門嗎？

考點(diǎn)二：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.拱橋問題

1.如圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在1時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）

離水面3m,水面寬6m.如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的解析式是（）

A.y=—^x2B.y=1x2C.y=—3x2D.y=3x2

2.如圖1是蓮花山景區(qū)一座摘物線形拱橋，按圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，得到拋物線解

析式為y=-5x2,正常水位時(shí)水面寬AB為36m,當(dāng)水位上升5m時(shí)水面寬?？跒椋ǎ?/p>

36

3.如圖所示，拋物線形拱橋的頂點(diǎn)距水面2m時(shí)，測得拱橋內(nèi)水面寬為12m.當(dāng)水面升高1m

后，拱橋內(nèi)水面的寬度為m.

4.如圖1,“東方之門''通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程

度地傳承了蘇州的歷史文化.如圖2,“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部AB的寬度為80

5.如圖1,一大橋主橋拱呈拋物線狀，主橋拱兩側(cè)各由10根鋼索固定.兩側(cè)主橋拱示意圖

如圖2所示，已知AB=CD=2m,其中最短的鋼索BE=2m,每兩根鋼索的間距均為2nl.

圖1圖2

（1）請?jiān)趫D2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的函數(shù)解析式.

（2）求最長鋼索的長度.

6.如圖，明湖公園的石拱橋的截面由拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長BC為8m,寬AB

為2m,拱橋最高點(diǎn)E到水面BC的距離為6m.以水面所在的直線BC為x軸，線段BC的中點(diǎn)為

原點(diǎn)，BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求拋物線的解析式；

（2）公園里有一種游船高4.5m,寬2.4m,它能通過該拱橋嗎？

（3）如果該拱橋下設(shè)雙行道，為了安全起見，在雙行道正中間設(shè)有寬0.4m的警示浮標(biāo),

則這種游船還能通過拱橋嗎？

考點(diǎn)三：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?噴水問題

1.如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=3m,水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向上至最

高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面4m,P距拋物線對(duì)稱軸1m,則為使水不落到池外，水池半徑

最小為（）

A.1B.1.5C.2D.3

2.洗手盤臺(tái)面上有一瓶洗手液.當(dāng)同學(xué)用一定的力按住頂部A下壓如圖位置時(shí)，洗手液從噴

口B流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點(diǎn).洗手液瓶子的截面圖下面部分

是矩形CGHD.同學(xué)測得：洗手液瓶子的底面直徑GH=12cm,噴嘴位置點(diǎn)B距臺(tái)面的距離為

16cm,.且B、D、H三點(diǎn)共線.在距離臺(tái)面15.5cm處接洗于液時(shí)，于心Q到直線DH的水平距離

為3cm,不去接則洗手液落在臺(tái)面的位置距DH的水平面是cm.()

AB

GH

A.6V3B.6A/2C.12GD.120

3.如圖，要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端A點(diǎn)安一個(gè)噴

水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為2m處達(dá)到最高，高度為5m,水柱落地

處離池中心距離為6m,則水管的長度OA是m.

4.如圖，人工噴泉有一個(gè)豎直的噴水槍AB,噴水口A距地面2m,噴出水流的運(yùn)動(dòng)路線是拋

物線，如果水流的最高點(diǎn)P到噴水槍AB所在直線的距離為2m,且到地面的距離為3m,則水

流的落地點(diǎn)C到水槍底部B的距離為m.

5.如圖1,一輛灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口H離地面豎直高度為h=1.2米，建立如圖2

所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，

把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水平寬度DE=2米，豎直高度EF=0.8米，若下邊緣拋

物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的,上邊緣拋物線最高點(diǎn)A高噴水口的水平距離為2米，

高出噴水口0.4米.灌溉車到綠化帶的距離OD為d米.

（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式：

（2）求下邊緣拋物線與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）若d=3.2米，則灌溉車行駛時(shí)噴出的水（填“能''或"不能''）澆灌到整個(gè)綠

化帶.

6.如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎高度OH為1.2m.可以把灌溉車噴出水的上、

下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,

其水平寬度DE=2.5m,豎直高度EF=0.7m,H點(diǎn)是下邊緣拋物線的最高點(diǎn)，下邊緣噴水的

最大射程0B=2m,上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m,高出噴水口0.4m,灌

溉車到綠化帶的距離OD為d（單位：m）.

（1）直接寫出上、下邊緣拋物線的函數(shù)解析式；（不寫自變量的取值范圍）

（2）此時(shí)，距噴水口水平距離為6.5米的地方正好有一個(gè)行人經(jīng)過，試判斷該行人是否會(huì)

被灑水車淋到水？并寫出你的判斷過程；

（3）要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，直接寫出d（米）的取值范圍.

考點(diǎn)四：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.幾何問題

1.某農(nóng)場要建矩形的飼養(yǎng)空，如圖所示，一面靠著現(xiàn)有足夠長的墻，其他三面用材料建設(shè)圍

墻，在中間再建一道墻隔開，并在兩處各留1m寬的門，已知計(jì)劃中的材料可建墻體總長為22m

（不包括門），則能建成的飼養(yǎng)室最大總占地面積為（)

C.45m2D.41m2

2.用48米木料制作成一個(gè)如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔EF,GH也用木料）.其中

AB〃EF〃GH〃CD,要使窗框ABCD的面積最大，則AB的長為（）

A.6米B.8米C.12米D.米

3.如圖所示，用一段長為16m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個(gè)圍欄

的最大面積為nA

4.如圖所示，要建一個(gè)矩形的養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻（墻足夠長），如果用60m長的籬

笆圍成中間有一道篦笆的養(yǎng)雞場，設(shè)養(yǎng)雞場平行于墻的一邊長為xm,當(dāng)*=m時(shí)，

養(yǎng)雞場的面積最大.

〃,/〃〃〃（〃〃〃〃彳〃/

<-------x------->

5.把邊長為44cm的正方形硬紙板（如圖1）,在四個(gè)頂點(diǎn)處分別剪掉一個(gè)小正方形，折成一

個(gè)長方體形的無蓋盒子（如圖2）,折紙厚度忽略不計(jì).

圖1圖2

（1）要使折成的盒子的底面積為576cm2,剪掉的正方形邊長應(yīng)是多少厘米？

（2）折成的長方體盒子側(cè)面積（四個(gè)側(cè)面的面積之和）有沒有最大值？如果沒有，說明

理由：如果有，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)剪掉的正方形邊長.

6.如圖，學(xué)校在教學(xué)樓后面搭建了兩個(gè)簡易的矩形自行車車棚，一邊利用教學(xué)樓的后墻（可

利用墻長為60m）,其他的邊用總長70m的不銹鋼柵欄圍成，左右兩側(cè)各開一個(gè)1m的出口后，

不銹鋼柵欄狀如“山”字形.（備注信息：在自行車棚后面距教學(xué)樓后墻8米處，規(guī)劃有機(jī)動(dòng)車

停車位）

（1）設(shè)自行車車棚面積為Sm2,車棚寬度AB為xm,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出

自變量x的取值范圍；

（2）若車棚面積為285m2,試求出自行車車棚的長和寬；

（3）若學(xué)校擬利用現(xiàn)有柵欄對(duì)自行車車棚進(jìn)行擴(kuò)建，請問該車棚面積最大可達(dá)到多少？

請通過計(jì)算說明.

考點(diǎn)五：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?銷售問題

1.童裝專賣店銷售一種童裝，若這種童裝每天獲利y（元）與銷售單價(jià)x（元）滿足關(guān)系丫=

-X2+50X-500,若要想獲得最大利潤，則銷售單價(jià)x為（）

A.25元B.20元C.30元D.40元

2.某超市對(duì)進(jìn)貨價(jià)為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)每天銷售量y（千克）

與銷售價(jià)x（元/千克）存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.則最大利潤是（）

C.190D.200

3.東方商廈將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元一個(gè)售出時(shí)，每天能賣出20個(gè),

?若這種商品的零售