高二數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考

證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合”二如＞吟八若則實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

A.（一8,0]B.（-oo,0）C.[1,+co）D.（L+8）

【答案】A

【詳解】力=力，所以加工0,

故選:A

2.已知。力都是實(shí)數(shù)，那么是“右＞6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】當(dāng)時(shí)，歷無(wú)意義，

當(dāng)〃時(shí)，由不等式性質(zhì)可得

所以“a＞b”是“的必要不充分條件.

故選：B.

3.對(duì)某地區(qū)高二學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，成績(jī)X服從正態(tài)分布N（81,9）,則從該地區(qū)隨機(jī)選擇

一名高二考生，其成績(jī)不低于90分的概率為（)

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量€服從正態(tài)分布N(〃,b),則P(〃—b<4<〃+b)=0.6827,

一2cr<J<〃+2a)0.9545/(〃-3cr<J<〃+3cr)0.9973.

A.0.15865B.0.0027C.0.02275D.0.00135

【答案】D

【詳解】由已知P(X290)=P(y>//+3o-)=-(l-0.9973)=0.00135,

2

故選：D.

4.若“玉￡1<4=2'-1"為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.B.(-<?,-1]C.(-1,-KO)D.[-1,+00)

【答案】C

【詳解】xwR時(shí)，2x-le(-l,+oo),

所以?！?一1,+8),

故選:C.

z-\1000

5.已知lg2ao.301,lg5=0.699,則的估算值為()

A.IO210B.1()232C.1()250D.1()398

【答案】1)

【詳解】設(shè)a=(1?y(K>°,則1ga=1000lg|=lOOO(lg5-lg2)=1000x(0.699-0.301)=398,

所以0=1()398，

故選:D

6.15匕+15被8除的余數(shù)為()

A.2B.4C.6D.7

【答案】C

【詳解】15"+15=(16—l)”+15=16i'—C；516i4+C；516”一???+C；；16—C；；+15,

顯然16~-(：：51614+€：；516“-一+06中每一項(xiàng)都是8的倍數(shù)，因此代數(shù)和能被8整除,而—(：；；+15=14

除以8后余數(shù)為6,

所以15”+15被8除的余數(shù)為6,

故選：C.

7.已知函數(shù)/（x）=ln（忖+1）,若對(duì)任意的X”/ER，滿(mǎn)足/（王）</（工2）</（$+/），則下列結(jié)論

恒成立的為（）

A.X）?x2>0B.X]+x2<0C.x1-x2>0D.xl-x2<0

【答案】A

【詳解】因?yàn)?（x）=ln（W+l）定義域?yàn)镽，且/（一工）=1。（口|+1）=m3+1）=/（工），

所以/（x）=ln（|x|+l）是偶函數(shù)，

因?yàn)?（xJ</（/）v/（須+Z），

所以/（|項(xiàng)|）</（|巧|）</（|須?勺|）,且"?0,十r）J（x）=ln（%+l）單調(diào)遞增,

所以㈤<卜|<卜+司，所以為?%>0，A選項(xiàng)正確；

當(dāng)另=1,勺=2,玉+/=3時(shí)，1n2<1n3<1n4滿(mǎn)足題意，+x2>0,x]-x2<0,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

當(dāng)X=-1,々=-2,玉+%=-3時(shí)，ln2<1n3<1n4滿(mǎn)足題意，王一七,。，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選:A.

8.由數(shù)字0,1,2組成的五位數(shù)中，滿(mǎn)足“0恰好出現(xiàn)兩次”或“1恰好出現(xiàn)兩次”的所有五位數(shù)的個(gè)數(shù)

為（）

A.86B.104C.128D.130

【答案】A

【詳解】（1）“0恰好出現(xiàn)兩次”：

萬(wàn)位不能為0,因此兩個(gè)0的位置只能從剩下的4個(gè)位置中選擇，有Cj=6種方法，

剩下的3個(gè)位置由1或2填充，每個(gè)位置有2種選擇，共r=8種方法，

則”0恰好出現(xiàn)兩次”的種數(shù)有6x8=48種；

（2）“1恰好出現(xiàn)兩次”：

“萬(wàn)位為1”時(shí)：從剩下的4個(gè)位置中選擇1個(gè)位置放1,有C：=4種，

—15—

【詳解】對(duì)A,x=—=3,因此y=3x3-2=7,A正確;

6

對(duì)B,由回歸直線(xiàn)方程知x=l時(shí)，^=3-2=1,因此殘差為0.9-1=-0.1,B錯(cuò)；

對(duì)C,將樣本數(shù)據(jù)（不必），（x2,y;）,L,（//J調(diào)整為（再7+3）,小必+3）,L,（乙/6+3）,根

AZU-可5-刃

據(jù)計(jì)算公式，回歸直線(xiàn)方程中系數(shù)右二上一------------不改變，但了增加了3,原來(lái)是工-31-2,

-可2

/=1

所以新的系數(shù)為展=亍+3—3x1=1，回歸方程為j=3x+l，C正確;

對(duì)D,原回歸直線(xiàn)中樣本點(diǎn)（1,0.9）的預(yù)估點(diǎn)是（1,1）,現(xiàn)變?yōu)椋?,-4）,遠(yuǎn)離了回歸直線(xiàn)，因此線(xiàn)性相關(guān)性減

弱，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變小，原來(lái)是3,因此相關(guān)系數(shù)變小，D正確。

故選:ACD.

、ax+h

10.已知函數(shù)/（叼=7--衣的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的為（）

（x+c）

11。+c

C.—>—caD.—>----

ahbb+c

【答案】BC

ax+h

【詳解】由圖象反映的函數(shù)定義域得c=l,/（x）=

(x+l)2

/(0)=/)>0,B正確:

f(x)=0=>x=,所以—<—1,所以b>a>0,A錯(cuò)，從而一，C正確,

aaba

aa+c_aQ+1a-b,八aa+c'

又6b+cbZ?+l<0,因此:<----->D錯(cuò),

b(b+l)bb+c

故選：BC.

11.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，狄利克雷函數(shù)就以其名字命名，該函數(shù)解析式為

,、1,XGQ

。3=＜八其中Q為有理數(shù)集，則下列結(jié)論正確的為()

O,xeQ

A.狄利克雷函數(shù)是偶函數(shù)

B.狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，無(wú)最小正周期

C.不等式。(x)2f的解集為{一11}

D.函數(shù)/(叼=/-2。(工)--3有四個(gè)不同的零點(diǎn)

【答案】ABD

【詳解】對(duì)A,x是有理數(shù)時(shí)，一工是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)時(shí)，-X也是無(wú)理數(shù)，因此總有。(-工)=。(幻，

A正確；

對(duì)B,對(duì)任意的有理數(shù)7,x是有理數(shù)時(shí)，x+T是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)時(shí)，x+7也是無(wú)理數(shù)，因此

D(xIT)=D(x),所以非零有理數(shù)都足其周期，但沒(méi)有最小正周期，B正確；

對(duì)C,當(dāng)xwQ時(shí)，不等式。(x)"d為IN/,此時(shí)因此［T1］上的所有有理數(shù)都是不等式

的解，同樣當(dāng)入飛。時(shí)，不等式。(工)2/為02/,無(wú)實(shí)解，c錯(cuò)；

對(duì)D,當(dāng)x$Q時(shí)，/(x)=x2-2Z)(x)-x-3=x2-2x-3=0,%=3或x=-l,

當(dāng)工足Q時(shí)，/(x)=x2-2Z)(x|x-3=x2-3=0,%=±百,

所以/*)有4個(gè)零點(diǎn)，D正確。

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿(mǎn)分15分.

12.若正數(shù)出人滿(mǎn)足'+!=2，則4。+〃的最小值為_(kāi)______.

ab2

【答案】18

22

【詳解】因?yàn)椤＃?)＞0,-+-=1,

ab

所以4〃+6=(4〃+〃)(2+2］=10+絲+姆之1()+2^^=18,

\ab)ab\ab

當(dāng)2=犯，且2+2=晨得。=3,6=6時(shí)等號(hào)成立，

abab

所以4a+b的最小值為18.

故答案為：18.

13.隨機(jī)變量1的分布列如下，則。（3X+2）=

X012

P0.3a0.3

【答案】5.4

【詳解】依題意：0.3+。+0.3=1=＞々=0.4.

所以E（X）=0x0.3+1x0.4+2x0.3=l,

所以O(shè)（X）=（0-x0.3+（1-1）2x04+（2-1）2x03=0.6.

所以￡＞（3X+2）=9Q（X）=9xO6=5.4

故答案為：5.4

14.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)。出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移

動(dòng)6次，最終質(zhì)點(diǎn)位置與原點(diǎn)的距離不大于2的概率為.

-6-5-4-3-2-16i23456x

25

【答案】—

32

【詳解】設(shè)X表示向右移動(dòng)的次數(shù),設(shè)事件V表示質(zhì)點(diǎn)位置與原點(diǎn)的距離,則Y=|6-X-X|=|6-2X|

（6-￥表示向左移動(dòng)的次數(shù)），

若y=|6-2X|W2,則X=2,3,4,

所以P（Y2）=P（X=2）+尸（入=3）+?（'=4）=口出2出+C：（J?+C：（凱丁!-

25

故答案為：—.

32

四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.為了研究高中生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題與數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)系，我T7某校數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)在本校高二

年級(jí)學(xué)生中采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了300名學(xué)生，調(diào)杳他們平時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)和整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，統(tǒng)

計(jì)得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀情況合計(jì)

數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀人數(shù)

每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)120

不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)90150

合計(jì)300

（1）完善上面的2x2列聯(lián)表，依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理

數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)”；

（2）采用分層隨機(jī)抽樣的方法從數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生，再?gòu)倪@6名學(xué)生中選3名

做進(jìn)一步訪(fǎng)談，設(shè)這3人中不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)為X求I的分布列及數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bc^

附；Z2

a0.100010.001

P[x2Na)2.7066.63510.828

【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99$的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)”；

（2）分布列見(jiàn)解析，期望為1.

【小問(wèn)1詳解】

由已知列聯(lián)表如下:

數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀情況

整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況合計(jì)

數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀人數(shù)

每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)12030150

不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)6090150

合計(jì)180120300

9300x(120x90-60x30『

/■==50>6.635，

150x150x180x120

依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有99%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)”

【小問(wèn)2詳解】

隨機(jī)抽取的6名學(xué)生中，每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的有4人，不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的有2人，

所以X的可能值依次為0,1,2,

c31C2C'3cc21

P（X=0）=^=丁尸（X=l）=-Jf=W，P（X=2）=~cf=5,

X的分布列為:

X012

131

P

555

EX=\x-+2x-=\.

55

16.已知函數(shù)/（工）=瓜1-〃工2.

（1）當(dāng)4=1時(shí)，求/（》）的最大值;

（2）若Vx?0,+co）,/（x）＜0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）此正―工

22

⑵（"

【小問(wèn)1詳解】

/（X）=Inx-x2,定義域是（0,+8）,

1|-2v

"x）=

XX

當(dāng)0Vx＜也時(shí)，.（工）＞0,“X）遞增，x＞正時(shí)，r（x）＜0,/（x）遞減,

22

所以x=#時(shí)，/（x）取得極大值也是最大值/（2^）=ln^-l；

【小問(wèn)2詳解】

Vx€（0,+oo）,/（x）=lnx-?A2<0,則

AT

InY

設(shè)g（x）=-F（X>O），

X

，/、1-21nx

則g（x）=---q-，

x

0cxec時(shí)，g'（x）>。，g（x）遞增，x>八時(shí)，g'（x）<。，g（x）遞減，

所以g（X）max=gg=^^二；，

（Ve）-2e

所以心上，即。的取值范圍是（上,+8）.

2e2e

17.已知某產(chǎn)品的一個(gè)零件在甲工廠(chǎng)生產(chǎn)，由于設(shè)備老化，甲工廠(chǎng)生產(chǎn)的零件次品率為0.1.

（1）為了解甲工廠(chǎng)生產(chǎn)情況，從生產(chǎn)的所有零件中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中正品與次品的個(gè)數(shù)分別

為工匕記隨機(jī)變量q=x-y,求J的分布列及￡偌）；

（2）為降低產(chǎn)品次品率.，甲工廠(chǎng)進(jìn)行了技術(shù)改進(jìn)，從改進(jìn)后第1個(gè)月開(kāi)始連續(xù)收集5個(gè)月的觀測(cè)數(shù)據(jù)，用

士表示改進(jìn)后的第/個(gè)月，用乂（單位：%）表示改進(jìn)后第了個(gè)月的次品率，其中歹『。1.3,利

用最小一乘法得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)方程為，=-0.4工十6.3,求相關(guān)系數(shù)「（精確到0.01）,并判斷該經(jīng)驗(yàn)回歸

直線(xiàn)方程是否有價(jià)值.

附：①而h3.2.

②r=------千----------?，若IH20.75,則認(rèn)為該經(jīng)驗(yàn)回歸宜線(xiàn)方程有價(jià)值.

JZU-7）2JEU-XI2

V/=1V/=1

汽（七-?。?-歹）

③------------.

￡（為-亍）2

J=1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，期望為2.4；

⑵，?=-0.962,該經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)方程有價(jià)值.

【小問(wèn)1詳解】

由已知x+y=3,所以g=x-y=3-2y,y?8（3,o.i）,

彳的取值分別為3,1,-1,一3,

P(§=3)=P(Y=0)=0.93=0.729

P(J=l)=P(y=1)=C；x01x092=0243

P(^=-l)=P(y=2)=C；X0.12X0.9=0.027

尸(J=-3)=P(y=3)=C^x0.13=0.001,

所以〈的分布列為

431-1-3

P0.7290.2430.0270.001

優(yōu)=3x0.729+1x0.243+(-1)x0.027+(-3)x0.001=2.4

【小問(wèn)2詳解】

……-1+2+3+4+5、

由己知x=------------------=3,

5

6(再一可2=(1—3)2+(2—3)2—(3—3)2+(4-3)2+(5-3)2=10

J=1

A-可（必一刃之（芍-?。?-歹）

8=J-------------------一0.4,則￡（七一可（匕一9）=-4,

￡(巧-才101=1

J-I

2(毛-三)(必-P)

所以-===

\￡(x「x)Jt(y.-y)

”>0.75,則認(rèn)為該經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)方程有價(jià)值.

18.已知函數(shù)/'（x）=--2x+Hnx.

（1）當(dāng)4=1時(shí)，求函數(shù)/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線(xiàn)方程;

（2）若函數(shù)/（x）在區(qū)間（0』）上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

（3）若函數(shù)/（X）存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)七/2，且玉＜%2，若/（項(xiàng)）＜必/2,求實(shí)數(shù)〃，取值范圍.

【答案】（1）x-y—2=0；

（2）—,+℃J；

（3）[-3-21n2,+x）.

【小問(wèn)1詳解】

函數(shù)/3）的定義域?yàn)椋?,48），

〃,，、0_a2x2-2x+a

/U）=2x-2+-=-----------，

xx

當(dāng)。=i時(shí)，/（i）=-i,ni）=i.

所以，函數(shù)/（X）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線(xiàn)方程為y+l=x-l,即x—y—2=0.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/*）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，

所以/=2T一2'+"20在區(qū)間（0,D恒成立，

x

所以aN-2x2+2x在區(qū)間(0,1)恒成立.令g(x)=-2x2+2x,xe(0,l),

g(x)=-2x2+2x=—+g,x￡(0,1).

所以g(x)的最大值為g(g)=g,

-1、

所以。的取值范圍為77,+8.

12]

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)?'a）存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn),

所以r（x）=2信-2"+"=0有兩個(gè)不相等的正根須,且X＜吃，

x

所以，4-8。＞0,玉+%2=I,%,9=1＞。?

因?yàn)?＜王＜42，所以當(dāng)函數(shù)/（上）在（0，芭），（工2，+8）上單調(diào)遞增，在（工|,工2）上單調(diào)遞減;

所以當(dāng)工二芭時(shí)，函數(shù)/（X）取極大值，

當(dāng)」=當(dāng)時(shí)，函數(shù)/（%）取極小值，

因?yàn)?＜玉＜七,七十工2=1，所以由對(duì)稱(chēng)性可得0＜X］＜；.

.\f（X\）

因?yàn)?'（再）＜〃7內(nèi)不，，所以團(tuán)＞.

國(guó)工2

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（1、

因?yàn)閤w0,-.

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所以2x—lv0,x—2＜0,

所以（p（x）＞0在［oij上垣成立，函數(shù)o（x）在（0,；）上單調(diào)遞機(jī)

（1、

所以例文）＜。-=-3-21n2,

I

所以〃z2-3-21n2.

所以實(shí)數(shù)〃?取值范圍為［一3-2In2,+8）.

19.某公司要招聘一名秘書(shū)，共有〃（〃22）名候選人，他們的能力大小各不相同.面試過(guò)程中，〃名候選

人依次前來(lái)面試，面試它只能根據(jù)當(dāng)前和之前的候選人的能力排名做出決策，并且必須在面試完當(dāng)前候選

人后立即決定是否錄用.一旦拒絕，該候選人將無(wú)法再被錄用.為了最大概率選中最優(yōu)秀的候選人，面試

官實(shí)行了以下策略：

①拒絕前攵(0<%<〃)個(gè)候選人，將其作為參考樣本.

②從第女+1個(gè)候選人開(kāi)始，如果某個(gè)候選人的能力超過(guò)了之前所有人，就立即選中他.如果后面沒(méi)有比前

面更優(yōu)秀的候選人，則錄用最后一個(gè)候選人.

設(shè)面試官選中最優(yōu)秀的候選人的概率為P.

(1)若〃=4,k=2,求產(chǎn)；

(2)?X-=ln7-

j=kJk

(i)若〃=100,求當(dāng)夕取得最大值時(shí)，女的取值；(八2.718)

2k

(ii)證明；P<ck---1.

n

【答案】(1)—；

12

(2)(i)37；(ii)證明見(jiàn)解析.

【小問(wèn)1詳解】

4名候選人的面試順序從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有A：=24種情況，

要選中最優(yōu)秀的侯選人，有以下兩類(lèi)情形：

①最優(yōu)秀的候選人是第3個(gè)，其他使選人位置隨意，有A：=6種情況；

②最優(yōu)秀的候選人是最后1個(gè)，第二優(yōu)秀的候選人是第1個(gè)或第2個(gè)，其他候選人位置隨意，有C；A；=4

種情況.

故所求概率。=3=上.

2412

【小問(wèn)2詳解】

(i)記事件A表示選中最優(yōu)秀的候選人，事