§2.12函數(shù)的零點與方程的解分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.函數(shù)y=(x2)(2x+1)的零點是()A.2 B.(2，0)C.2 D.2或12.若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則“f(a)·f(b)<0”是“函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.用二分法求方程2x+x8=0在[1，5]上的近似解時，經(jīng)過兩次二分法后，可確定近似解所在區(qū)間為()A.[1，2]或[2，3]都可以B.[2，3]C.[1，2]D.不能確定4.(2025·承德模擬)對于函數(shù)f(x)，g(x)，設(shè)x1∈{x|f(x)=0}，x2∈{x|g(x)=0}，若存在x1，x2，使得|x1x2|≤1，則稱f(x)和g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=log2xa與g(x)=x23x互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[0，2] B.(∞，2]C.[1，2] D.(∞，0]∪[1，2]5.(2025·漢中模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+e)=f(xe)，當x∈(0，e)時，f(x)=lnx，則f(x)在區(qū)間(e，2e)內(nèi)的所有零點之和為()A.3e1 B.2eC.2e1 D.06.(2024·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)=x+log2x4的零點為x1，g(x)=x+loga(x1)5(a>1)的零點為x2，若x2x1>1，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，2) B.(2，C.(1，2) D.(2，+∞)二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)=x2+2x8的零點是(4，0)，(2，0)B.方程ex=3+x在區(qū)間(3，0)，(0，10)上有解C.函數(shù)y=3x，y=log3x的圖象關(guān)于y=x對稱D.用二分法求方程3x+3x8=0在(1，2)內(nèi)的近似解的過程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的解落在區(qū)間(1，1.25)上8.(2025·大連模擬)已知x1，x2分別是函數(shù)f(x)=2x1x和g(x)=log2x1x的零點，則(A.x2x1B.log2x1+log2x2=0C.x2>2D.2x1·log2x三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知函數(shù)f(x)=ln(-x),x<0,x2-3x-4,x10.已知函數(shù)f(x)=2-|x|,x≤3,(x-3)2,x>3,函數(shù)g(x)=mf(3x)，其中m∈R，若函數(shù)y=g(四、解答題(共27分)11.(13分)已知二次函數(shù)f(x)=x2bx+c(c≠0)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2，+∞)，且有一個零點為c.(1)證明：f(x+2)是偶函數(shù)；(6分)(2)若函數(shù)g(x)=f(x)mx+1在(1，3)上有兩個零點，求m的取值范圍.(7分)12.(14分)(2024·天水模擬)已知函數(shù)f(x)=log2(2+x)log2(2x).(1)判斷f(x)的奇偶性；(5分)(2)若關(guān)于x的方程f(x)=log2(a+x)有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.(9分)13題5分，14題6分，共11分13.(2024·揭陽模擬)函數(shù)f(x)=lnx-2x+x1的所有零點之和為(A.2B.B.1 C.1 D.214.(多選)已知函數(shù)f(x)=|2xa|kx3，給出下列四個結(jié)論，其中正確的有()A.若a=1，則函數(shù)f(x)至少有一個零點B.存在實數(shù)a，k，使得函數(shù)f(x)無零點C.若a>0，則不存在實數(shù)k，使得函數(shù)f(x)有三個零點D.對任意實數(shù)a，總存在實數(shù)k，使得函數(shù)f(x)有兩個零點答案精析1.A2.A3.B[設(shè)f(x)=2x+x8，則f(1)=2+18=5<0，f(5)=25+58=29>0，第一次取x1=1+52=3有f(3)=23+38=3>0，故第二次取x2=1+32=2，有f(2)=22+28=2<0故此時可確定近似解所在區(qū)間為[2，3].]4.D[f(x)的零點為2a，g(x)的零點為0，3.因為f(x)與g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”，所以|2a0|≤1或|2a3|≤1，則0<2a≤1或2≤2a≤4，解得a≤0或1≤a≤2.]5.A[因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，因為f(x+e)=f(xe)，所以f(x)的周期T=2e且f(e)=f(e)=f(e)?f(e)=0，因為當x∈(0，e)時，f(x)=lnx，所以f(1)=0，所以f(1)=f(1)=0，所以f(1+2e)=f(1)=0，故f(x)在區(qū)間(e，2e)內(nèi)的零點為1，0，1，e，1+2e，其零點之和為3e1.]6.D[因為f(2)=2+14=1<0，f(3)=3+log234=log231>0，由函數(shù)零點存在定理，所以x1∈(2，3)，由題意可知，x1+log2x14=x2+loga(x21)5=0，即x1+log2x14=x21+loga(x21)4，即x1+log2x1=x21+loga(x21)，因為x2x1>1，所以x1<x21，則log2x1>loga(x21)，又a>1，2<x1<x21，所以a>2.]7.BC[對于A，令f(x)=x2+2x8=0，解得x1=4，x2=2，即函數(shù)f(x)=x2+2x8的零點是4和2，故A錯誤；對于B，令f(x)=exx3，則f(3)=e3>0，f(0)=2<0，f(10)=e1013>21013=102413=1011>0，所以由函數(shù)零點存在定理可知f(x)=exx3在區(qū)間(3，0)，(0，10)內(nèi)有零點，即方程ex=3+x在區(qū)間(3，0)，(0，10)內(nèi)有解，故B正確；對于C，函數(shù)y=3x，y=log3x互為反函數(shù)，所以函數(shù)y=3x，y=log3x的圖象關(guān)于y=x對稱，故C正確；對于D，用二分法求方程3x+3x8=0在(1，2)內(nèi)的近似解的過程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的解落在區(qū)間(1.25，1.5)上，故D錯誤.]8.ABD[由題設(shè)知，f(x)的零點為函數(shù)y=2x與函數(shù)y=1x圖象交點的橫坐標；g(x)的零點為函數(shù)y=log2x與函數(shù)y=1x圖象交點的橫坐標，由y=2x與y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，y=1x的圖象關(guān)于直線y所以x1，x2關(guān)于直線y=x對稱，y=2x，y=log2x，y=1x所以點(x1，2x1)與點(x2，log2x2)關(guān)于直線y即x故2x1x2=0，2x1·loglog2x1+log2x2=log2(x1x2)=0，A，B，D對；若x2>2，即x2=2x1>2?x1>1，此時x1x2>2，與x1x2=1矛盾，C錯9.1和410.(0，2)解析令g(x)=mf(3x)=0，得f(3x)=m，若3x≤3，即x≥0，f(3x)=2|3x|；若3x>3，即x<0，f(3x)=(3x3)2=x2.所以y=f(3x)=2-=2-(3-=x畫出其圖象如圖所示，當x=3時，y=2.由圖可知，要使函數(shù)y=g(x)恰有3個零點，即y=m與y=f(3x)的圖象有3個交點，則m的取值范圍是(0，2).11.(1)證明由二次函數(shù)f(x)=x2bx+c(c≠0)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2，+∞)，可得b2=2，解得b=4又因為f(x)有一個零點為c，則f(c)=c24c+c=0，解得c=3或c=0(舍去)，所以f(x)=x24x+3=(x2)21，因為f(x+2)=x21=f(x+2)，所以f(x+2)是偶函數(shù).(2)解由(1)可知g(x)=x24x+3mx+1=x2(4+m)x+4，因為g(x)在(1，3)上有兩個零點，則滿足1<解得0<m<1所以實數(shù)m的取值范圍為0，12.解(1)f(x)為奇函數(shù)，理由如下：由題意得2+x>0，2-x>0，解得2<x<2，即函數(shù)f(x)的定義域為又f(x)=log2(2x)log2(2+x)=f(x)，故f(x)為奇函數(shù).(2)由f(x)=log2(a+x)，得log2(2+x)log2(2x)=log2(a+x)，所以2+x2-x=a所以a=2+x2-xx=42-x+(2x)故方程f(x)=log2(a+x)有兩個不同的實數(shù)根可轉(zhuǎn)化為方程a=42-x+(2x)3在區(qū)間(2，2)上有兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)y=a與y=42-x+(2x)3在區(qū)間(2，設(shè)t=2x，x∈(2，2)，則y=4t+t3，t∈(0，4)作出函數(shù)y=4t+t3，t∈(0，4)的圖象，如圖所示當1<a<2時，函數(shù)y=a與y=4t+t3，t∈(0，4)的圖象有兩個交點，即關(guān)于x的方程f(x)=log2(a+x)故實數(shù)a的取值范圍是(1，2).13.D[由f(x)=0得，lnx-2x=1令g(x)=lnx因為g(x)+g(2x)=lnx-2x+ln-x2-x=ln1=0，所以函數(shù)g(x)=lnx-2x又因為y=1x的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，如圖所示，兩個函數(shù)圖象有兩個公共點，橫坐標依次為x1，x2，這兩個交點關(guān)于點(1，0)對稱，所以x1+x2=2.]14.ABD[A中，當a=1時，函數(shù)f(x)=|2x1|kx3，令f(x)=0，可得|2x1|=kx+3，在同一坐標系中作出y=|2x1|，y=kx+3的圖象，如圖所示，由圖象及直線y=kx+3過定點(0，3)，可得函數(shù)f(x)至少有一個零點，所以A正確；B中