元一次方程（9知識點(diǎn)回顧+24題型練習(xí)）

題型一判斷各式是否是方程題型十三一元一次方程解的關(guān)系

題型二等式的性質(zhì)1題型十四絕對值方程

題型三等式的性質(zhì)2題型十五配套問題（一元一次方程的應(yīng)用）

題型四列方程題型十六工程問題（一元一次方程的應(yīng)用）

題型五判斷是否是方程的解題型十七銷售盈虧（一元一次方程的應(yīng)用）

題型六已知方程的解，求參數(shù)題型十八比賽積分（一元一次方程的應(yīng)用）

題型七判斷是否是一元一次方程題型十九方案選擇（一元一次方程的應(yīng)用）

題型八判斷是否是一元一次方程解題型二十?dāng)?shù)字問題（一元一次方程的應(yīng)用）

題型九解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項題型二十一幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）

題型十解一元一次方程（二）一一去括號題型二十二動點(diǎn)問題（一元一次方程的應(yīng)用）

題型十一解一元一次方程（三）一一去分母題型二十三和差倍分問題（一元一次方程的應(yīng)用）

題型十二已知一元一次方程的解，求參數(shù)題型二十四其他問題（一元一次方程的應(yīng)用）

◎知識清單

知識點(diǎn)1.方程的定義

（1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程.

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù).

（2）列方程的步驟：

①設(shè)出字母所表示的未知數(shù);

②找出問題中的相等關(guān)系;

③列出含有未知數(shù)的等式-------方程.

在未知數(shù)等于某特定值時，恰能使等號兩邊的值相等者稱為條件方程，例如x+3=8,在x=5時等號成立.

知識點(diǎn)2.方程的解

(1)方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：方程的解和解方程是兩個不同的概念，方程的解是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，具有名詞性.而解方程是

求方程解的過程，具有動詞性.

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這兩個方向的問題，一般都采用代入計算是方

法.

知識點(diǎn)3.等式的性質(zhì)

(1)等式的性質(zhì)

性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)(或式子)結(jié)果仍得等式；

性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

(2)利用等式的性質(zhì)解方程

利用等式的性質(zhì)對方程進(jìn)行變形，使方程的形式向x=a的形式轉(zhuǎn)化.

應(yīng)用時要注意把握兩關(guān)：

①怎樣變形；

②依據(jù)哪一條，變形時只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的.

知識點(diǎn)4.方程的解

(1)方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：方程的解和解方程是兩個不同的概念，方程的解是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，具有名詞性.而解方程是

求方程解的過程，具有動詞性.

(2)規(guī)律方法總結(jié):

無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這兩個方向的問題，一般都采用代入計算是方

法.

知識點(diǎn)5.一元一次方程的定義

(1)一元一次方程的定義

只含有一個未知數(shù)(元)，且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程.

通常形式是"+6=0(a,6為常數(shù)，且.一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式.一元指方程僅含

有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1,且未知數(shù)的系數(shù)不為0.我們將辦+6=0(其中x是未知數(shù)，a、6是已知數(shù)，

并且aWO)叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.這里。是未知數(shù)的系數(shù)，6是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1.

(2)一元一次方程定義的應(yīng)用(如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值)

這類題目要嚴(yán)格按照定義中的幾個關(guān)鍵詞去分析，考慮問題需準(zhǔn)確，全面.求方程中字母系數(shù)的值一般采用把方程的

解代入計算的方法.

知識點(diǎn)6.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

知識點(diǎn)7.解一元一次方程

(1)解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用,

各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

(2)解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘

括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號.

(3)在解類似于“ax+6x=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即(a+b)x=c.使方程逐漸轉(zhuǎn)

化為G=6的最簡形式體現(xiàn)化歸思想.將G=6系數(shù)化為1時，要準(zhǔn)確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是。還

是6,尤其。為分?jǐn)?shù)時；二要準(zhǔn)確判斷符號，。、b同號x為正，a、b異號x為負(fù).

知識點(diǎn)8.由實際問題抽象出一元一次方程

審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為X,然后用含X的式子表示相

關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程.

(1)“總量=各部分量的和”是列方程解應(yīng)用題中一個基本的關(guān)系式，在這一類問題中，表示出各部分的量和總量,

然后利用它們之間的等量關(guān)系列方程.

(2)“表示同一個量的不同式子相等”是列方程解應(yīng)用題中的一個基本相等關(guān)系，也是列方程的一種基本方法.通過

對同一個量從不同的角度用不同的式子表示，進(jìn)而列出方程.

知識點(diǎn)9.一元一次方程的應(yīng)用

(一)一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

(1)探索規(guī)律型問題；

(2)數(shù)字問題;

(3)銷售問題(利潤=售價-進(jìn)價，利潤率=1埋X100%)；(4)工程問題(①工作量=人均效率X人數(shù)X時間；②

進(jìn)價

如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量)；

(5)行程問題(路程=速度X時間)；

(6)等值變換問題；

(7)和，差，倍，分問題；

(8)分配問題；

(9)比賽積分問題；

(10)水流航行問題(順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度).

(二)利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或

間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為X,然后用含X的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹h

解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟

1.審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)G),根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)(問什么設(shè)什么)，也可設(shè)間接未知數(shù).

3.歹小根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

□題型練習(xí)________________________________________________________

題型一判斷各式是否是方程

1.下列各式中：①2x-l=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2f+x=l；@2x2-5x-l,是方程的是

（）.

A.①②④⑤B.①②⑤C.①④⑤D.6個都不是

2.（23-24七年級上?全國?課堂例題）已知式子：①3-4=-1；②2x-5y；③l+2x=0；④6x+4y=2；

⑤3/-2x+l=0.其中的等式是,其中含有未知數(shù)的等式是,所以其中的方程

是.（填序號）

題型二等式的性質(zhì)1

3.（24-25七年級上?江蘇南京?期末）下列說法中，錯誤的是（）

3

A.若°=則a+2=6+2B.若3a=2,則。=一

2

C.若a=b,貝!]-2a=-2bD.若2a=36,貝

4.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）已知-2a=3，a-3=4-6,利用等式的性質(zhì)，求：

b

⑴必和q+b的值；

(2)3a+2ab+3b的值.

題型三等式的性質(zhì)2

5.（24-25七年級上?江蘇連云港?期末）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

A.若巴=',則〃B.若則

cccc

C.若QC=bc,貝！Ja=bD.若一；x=6,貝|%二—2

6.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）利用等式的基本性質(zhì)解下列一元一次方程：

（1）—4%+5=11；

⑵2一%=3.

題型四列方程

7.（22-23七年級上?江蘇淮安?階段練習(xí)）“x的2倍與5的差等于0”，用方程表示為.

8.某班學(xué)生分組參加活動，原來每組8人，后來重新編組，每組6人，這樣比原來增加了兩組，這個班共有多少名學(xué)

生？若設(shè)共有x名學(xué)生，可列方程為.

題型五判斷是否是方程的解

9.（24-25七年級上?江蘇常州?期末）下列方程中，解為x=4的是（）

A.x-2=6B.2（x-l）=6C.x+6=-xD.；x-8=0

10.判斷下列方程后面所給出的數(shù)，哪些是方程的解.

⑴2x（x+l）=4（%+1）,（+1,±2）；

（2）3X2+4X+1=0,（±1,±|）.

題型六已知方程的解，求參數(shù)

11.（23-24七年級上?江蘇鹽城?期中）若％=2是方程6-2戶"的解，貝

12.（24-25七年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）整式加r+2〃的值隨工的取值不同而不同，下表是當(dāng)不取不同值時整式3:+2〃

對應(yīng)的值：則關(guān)于1的方程-2加%-4〃=4的解為

X-3-2-1012

mx+2n420-2-4-6

題型七判斷是否是一元一次方程

13.（24-25七年級上?江蘇泰州?期末）下列各式中，一元一次方程的是（）

A.x2+2x=3B.2x-6=3x

1?

C.x+y=5D.x+—=1

x

14.（24-25七年級上?江蘇南通?期末）已知關(guān)于X的方程化-2）x"i=0是一元一次方程，則左的值為

題型八判斷是否是一元一次方程解

15.（24-25七年級上?甘肅張掖?階段練習(xí)）下列方程中，解為x=l的是（）

A.x-l=-lB.3x-2=lC.-x=-3D.-4x=-

34

16.（22-23七年級上?江蘇揚(yáng)州?期中）小馬虎在解關(guān)于x的方程2a-5x=19時，誤將“-5x”看成了“+5x”，得方程的解

為x=3.求原方程的解.

題型九解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

17.（24-25七年級上?江蘇宿遷?期末）方程-2（x+l）=6的解是x=.

18.（24-25七年級上?江蘇泰州?期末）定義一種新運(yùn)算,規(guī)定聞6=/+6一"（。、6是有理數(shù)）.例如:

（-1）Q3=（-1）2+3-（-1）X3=7

⑴計算203；

⑵若（-4）Q（x+l）=-l,求x的值；

（3）比較（-4）C（l-x）與5c（I）的大小.

題型十解一元一次方程（二）一一去括號

19.（24-25七年級上?江蘇常州?期末）當(dāng)代數(shù)式x+2與l-2x互為相反數(shù)，則》=.

ab

20.（24-25七年級上?江蘇揚(yáng)州?期末）對于任意四個有理數(shù)服b、c、d.規(guī)定：,=ad—bc.如:

ca

12

=lx4-2x3=-2.

34

根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：

5-4

（1）求32的值；

-3—x+l

⑵若2=15,求工；

221

kx+1

⑶若0公?的值與'的取值無關(guān)，求左的值.

2JX—1

題型十一解一元一次方程（三）一一去分母

21.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）小明解方程二一=三一-1去分母時，方程右邊的-1忘記乘6,因而求出的解

為x=-2,那么原方程正確的解為（）

A.x=5B.x=-7C.x=—13D.x=1

22.（24-25七年級上?江蘇淮安?期中）解下列方程：

（l）5x-6=4（3-x）；

題型十二已知一元一次方程的解，求參數(shù)

23.已知關(guān)于x的方程=有整數(shù)解，則正整數(shù)加的值為（）

A.4B.4或0

C.4或2或6D.4或0或-2或-6

24.已知：關(guān)于x的方程:空三=2+三處(其中.、b、左為常數(shù)).

36

(1)如果該方程無解，則人的值一定為多少？

(2)如果該方程有解，且不論人為何值時，它的解總是1,試求a,6的值.

題型十三一元一次方程解的關(guān)系

25.(24-25七年級上?江蘇南通?期末)若關(guān)于x的一元一次方程。(工一/1+6=2工+。一焉的解為》=1,則關(guān)于〉

的一元一次方程ay+b^2y+c的解為7=.

26.(24-25七年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí))若關(guān)于x的一元一次方程依=6的解滿足x=b+a,則稱該方程為“友好方

程”，例如：方程2x=-4的解為x=-2,而-2=-4+2,則方程2x=-4為“友好方程”.

(運(yùn)用)

4

(1)①-2x=3,②-x=-l兩個方程中為“友好方程”的是_(填寫序號)

(2)若關(guān)于x的一元一次方程3x=b是“友好方程”，求6的值；

(3)若關(guān)于x的一元一次程-2x=7切7+”(〃70)是“友好方程”，且它的解為x=〃，貝1］加，=_,n=

題型十四絕對值方程

3

27.⑵-25七年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如果H=一“那么戶一

28.（23-24七年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）若國=3,懈=5,且xy<0,求x+y的值.

題型十五配套問題（一元一次方程的應(yīng)用）

29.（23-24七年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）某車間有21名工人，每人每天可以生產(chǎn)螺栓10個或螺母18個，設(shè)V名工

人生產(chǎn)螺栓，其他工人生產(chǎn)螺母，要求每天生產(chǎn)的螺栓和螺母按1:2剛好配套，則可列方程為.

30.（23-24七年級上?江蘇徐州?階段練習(xí)）用長方形硬紙板做長方體盒子，底面為正方形.長方形硬紙板以如圖兩種

方法裁剪.A方法：剪3個側(cè)面；B方法：剪2個側(cè)面和2個底面.現(xiàn)有35張硬紙板，裁剪時無張用A方法，其余用B

方法.

/

（1）用含x

（2）若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子？

題型十六工程問題（一元一次方程的應(yīng)用）

31.（24-25七年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）我校要整理一批圖書，如果由一個人單獨(dú)做需花20小時完成.現(xiàn)先由一部

分人整理了1小時，隨后又增加7人和他們一起又做了0.8小時，恰好完成整理工作.假設(shè)每個人的工作效率相同，那

么先安排整理的人員有多少人.

32.（24-25七年級上?江蘇徐州?期末）為方便城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村之間的聯(lián)系，政府決定修建一條公路，若由甲工程隊單獨(dú)修

建需3個月完成，每月耗資10萬元；若由乙工程隊單獨(dú)修建需6個月完成，每月耗資4萬元.

（1）甲、乙兩工程隊合作修建需幾個月完成？共耗資多少萬元?

（2）若要求最多4個月完成修建任務(wù)，請你設(shè)計一種方案，既能夠保證按時完成任務(wù)，又能最大限度節(jié)省資金（時間按

照整月計算）

題型十七銷售盈虧（一元一次方程的應(yīng)用）

33.（23-24七年級上?江蘇南通?期末）某體育用品商店開展促銷活動，有兩種優(yōu)惠方案.

方案一：不購買會員卡（會員卡限本人使用）時，乒乓球享受9折優(yōu)惠，乒乓球拍購買5副以下時，均按標(biāo)價付款；

購買5副（含5副）以上時，所有球拍均8折優(yōu)惠.

方案二：辦理會員卡時，全部商品享受7折優(yōu)惠.

小紅和小明的談話內(nèi)容如下：

小紅：聽說這家商店辦一張會員卡是40元.

小明：是的，上次我辦了一張會員卡，買了4副乒乓球拍，節(jié)省了20元.

（1）求該商店銷售的乒乓球拍每副的標(biāo)價；

（2）小兵需購買6副乒乓球拍、。盒乒乓球，他發(fā)現(xiàn)如果乒乓球每盒10元，按照上面兩種方案付費(fèi)相同，請求出。的值.

題型十八比賽積分（一元一次方程的應(yīng)用）

34.（22-23七年級上?江蘇常州?期末）列方程解決問題：小華和媽媽一起玩成語競猜游戲，商定如下規(guī)則：小華猜中1

個成語得2分，媽媽猜中1個成語得1分，結(jié)果兩人一共猜中了30個成語，得分恰好相等.請問小華猜中了幾個成

語？

題型十九方案選擇（一元一次方程的應(yīng)用）

35.（24-25七年級上?江蘇泰州?期末）為持續(xù)深入推進(jìn)“雙減”工作，拓展豐富課后服務(wù)資源，滿足學(xué)生興趣特長發(fā)展

需求，某校決定購買一批籃球和排球供學(xué)生興趣課使用.每個排球比籃球便宜30元，4只籃球與6只排球的費(fèi)用一樣.

⑴求出籃球和排球的單價；

（2）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲商場優(yōu)惠方案是：每購買10只籃球送一個排球；乙商場優(yōu)惠方案是：若購買籃球超過50只，

則購買排球打八折.若該校購買100只籃球和。只排球（其中且為整數(shù)），則當(dāng)購買的排球數(shù)。為何值時，在

兩家商場購買所需的費(fèi)用一樣.

題型二十?dāng)?shù)字問題（一元一次方程的應(yīng)用）

36.（24-25七年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）將奇數(shù)1至2025按照順序排成下表:

1357911

131517192123

252729313335

記&“表示第m行第n個數(shù)，如Q表示第2行第3個數(shù)是17

（1）^43=；

⑵若以,=2025,推理加=；〃=；

（3）將表格中的4個陰影格子看成一個整體并平移，所覆蓋的4個數(shù)之和能否等于100,若能，求出4個數(shù)中的最大數(shù);

若不能，請說明理由.

（4）用"八〃的式子表示月,“=

題型二十一幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）

37.（24-25七年級上?江蘇淮安?期中）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)/表示的數(shù)為6,8是數(shù)軸上在/左側(cè)的一點(diǎn)，且B

兩點(diǎn)間的距離為10.動點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為:?>0）秒.

O<——PA

~0,6

（1）數(shù)軸上點(diǎn)8表示的數(shù)是一，點(diǎn)尸表示的數(shù)是一（用含/的代數(shù)式表示）；