4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂弧⒔虒W(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解，包括零點(diǎn)的定義、求法及其與方程解的關(guān)系。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課內(nèi)容與高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)中的“函數(shù)”和“方程”相關(guān)章節(jié)緊密相連，具體涉及函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及一元二次方程的解法等內(nèi)容。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。通過(guò)探究函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，提升分析問題和解決問題的能力。同時(shí)，通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐和合作學(xué)習(xí)，學(xué)生將增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的核心素養(yǎng)。三、重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.函數(shù)零點(diǎn)的定義及其與方程解的聯(lián)系。

2.利用函數(shù)圖像和性質(zhì)求函數(shù)零點(diǎn)的方法。

難點(diǎn)：

1.理解函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義，將零點(diǎn)與方程解的對(duì)應(yīng)關(guān)系抽象化。

2.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理和介值定理解決實(shí)際問題時(shí)，正確選擇函數(shù)和區(qū)間。

解決辦法：

1.通過(guò)實(shí)例講解和小組討論，幫助學(xué)生理解零點(diǎn)的幾何意義，強(qiáng)化概念的理解。

2.通過(guò)繪制函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析函數(shù)零點(diǎn)的特征，培養(yǎng)直觀想象能力。

3.結(jié)合具體問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用零點(diǎn)存在定理和介值定理，通過(guò)合理選擇函數(shù)和區(qū)間，解決實(shí)際問題。

4.設(shè)計(jì)分層練習(xí)，從基礎(chǔ)到提高，逐步突破難點(diǎn)，幫助學(xué)生逐步掌握求解零點(diǎn)的技巧。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過(guò)系統(tǒng)講解函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)，幫助學(xué)生建立清晰的知識(shí)體系。

2.討論法：組織學(xué)生就零點(diǎn)與方程解的關(guān)系進(jìn)行討論，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的能力。

3.實(shí)驗(yàn)法：利用計(jì)算機(jī)軟件模擬函數(shù)圖像，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察零點(diǎn)的變化，加深對(duì)概念的理解。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：利用PPT展示函數(shù)圖像和零點(diǎn)分布，直觀展示函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義。

2.教學(xué)軟件：使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生通過(guò)交互式操作探索零點(diǎn)的求解方法。

3.課堂練習(xí)：通過(guò)在線測(cè)試或移動(dòng)學(xué)習(xí)平臺(tái)，提供即時(shí)反饋，鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。五、教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：圍繞函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，如“如何判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)？”、“零點(diǎn)與方程解的關(guān)系是怎樣的？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解函數(shù)零點(diǎn)的定義和性質(zhì)。

思考預(yù)習(xí)問題：針對(duì)預(yù)習(xí)問題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問。

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)、微信群等，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

幫助學(xué)生提前了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過(guò)實(shí)際生活中的例子，如溫度與時(shí)間的關(guān)系，引出函數(shù)零點(diǎn)的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解函數(shù)零點(diǎn)的定義、存在定理以及如何利用圖像法求零點(diǎn)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生探討如何應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解決實(shí)際問題。

解答疑問：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，如“為什么說(shuō)零點(diǎn)是方程解的根？”進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

聽講并思考：認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問題。

參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論，體驗(yàn)函數(shù)零點(diǎn)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

提問與討論：針對(duì)不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過(guò)詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)。

實(shí)踐活動(dòng)法：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握應(yīng)用零點(diǎn)存在定理的技能。

合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

作用與目的：

幫助學(xué)生深入理解函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)，掌握求零點(diǎn)的方法。

通過(guò)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，如繪制函數(shù)圖像并找出零點(diǎn)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提供拓展資源：提供與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的拓展資源，如在線數(shù)學(xué)工具、相關(guān)數(shù)學(xué)競(jìng)賽信息等，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考，如研究不同類型函數(shù)的零點(diǎn)特性。

反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議，如如何更有效地應(yīng)用零點(diǎn)存在定理。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)和技能。

通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。六、教學(xué)資源拓展一、拓展資源

1.函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義

-函數(shù)圖像上零點(diǎn)的幾何特征，包括函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的直觀表示。

-零點(diǎn)與函數(shù)值變化的關(guān)系，通過(guò)函數(shù)圖像的變化來(lái)理解零點(diǎn)的概念。

2.零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用

-零點(diǎn)存在定理的證明過(guò)程，幫助學(xué)生理解定理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

-定理在不同函數(shù)類型（如多項(xiàng)式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等）中的應(yīng)用實(shí)例。

3.函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算方法

-圖像法：如何通過(guò)函數(shù)圖像判斷零點(diǎn)的大致位置，以及如何利用計(jì)算機(jī)軟件精確求解。

-代數(shù)法：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算直接求解方程的根，如使用求根公式、因式分解等。

-數(shù)值法：介紹二分法、牛頓法等數(shù)值方法在求零點(diǎn)中的應(yīng)用。

4.零點(diǎn)與方程解的關(guān)系

-不同類型方程的解法，如一元二次方程、一元三次方程的解法。

-方程解的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，探討解的分布與函數(shù)圖像的形狀。

5.零點(diǎn)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

-如何在物理、經(jīng)濟(jì)、生物等實(shí)際問題中應(yīng)用零點(diǎn)概念建立數(shù)學(xué)模型。

-案例分析：通過(guò)具體案例展示如何利用零點(diǎn)解決實(shí)際問題。

二、拓展建議

1.深入研究函數(shù)零點(diǎn)的幾何特征

-學(xué)生可以通過(guò)繪制不同類型函數(shù)的圖像，觀察和分析零點(diǎn)的幾何位置和分布。

-探討函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性如何影響零點(diǎn)的存在性和唯一性。

2.探索零點(diǎn)存在定理的證明

-引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法或反證法證明零點(diǎn)存在定理。

-分析證明過(guò)程中的邏輯推理和數(shù)學(xué)思想。

3.實(shí)踐不同計(jì)算方法求解零點(diǎn)

-利用計(jì)算機(jī)軟件（如MATLAB、Python等）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，體驗(yàn)不同方法的特點(diǎn)和適用范圍。

-設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，比較不同方法的效率和精度。

4.研究方程解的分布與函數(shù)圖像的關(guān)系

-通過(guò)改變函數(shù)參數(shù)，觀察方程解的變化，探討解的分布規(guī)律。

-分析函數(shù)圖像的局部特征如何影響解的分布。

5.應(yīng)用零點(diǎn)概念解決實(shí)際問題

-收集生活中的實(shí)際問題，如商品定價(jià)、資源分配等，嘗試用零點(diǎn)概念建立數(shù)學(xué)模型。

-分析模型的有效性，探討如何改進(jìn)模型以提高準(zhǔn)確性和實(shí)用性。

6.組織數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究性學(xué)習(xí)

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、數(shù)學(xué)奧林匹克等，提升解決問題的能力。

-開展研究性學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作，探究函數(shù)零點(diǎn)在更廣泛領(lǐng)域中的應(yīng)用。七、教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

學(xué)生在課堂上的參與度和積極性是評(píng)價(jià)教學(xué)效果的重要指標(biāo)。在本節(jié)課中，將通過(guò)以下方式評(píng)價(jià)學(xué)生的課堂表現(xiàn)：

-觀察學(xué)生的出勤情況，確保學(xué)生能按時(shí)參加課堂活動(dòng)。

-記錄學(xué)生在課堂討論中的發(fā)言情況，評(píng)價(jià)其是否能夠積極表達(dá)自己的觀點(diǎn)，并能夠傾聽他人的意見。

-觀察學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)是否能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，如是否能正確應(yīng)用零點(diǎn)存在定理和圖像法。

-評(píng)估學(xué)生的提問質(zhì)量，是否能夠提出有深度的問題，展示對(duì)知識(shí)的深入理解。

2.小組討論成果展示：

小組討論是培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)和問題解決能力的重要環(huán)節(jié)。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下：

-小組討論的組織情況，包括討論的流程、分工合作是否明確。

-小組成員的參與度，是否每個(gè)人都積極參與討論，提出建設(shè)性的意見。

-小組討論的成果，如是否能夠提出有效的解決方案，展示對(duì)問題的深入分析。

-小組展示時(shí)的表現(xiàn)，包括表達(dá)清晰度、邏輯性和團(tuán)隊(duì)協(xié)作。

3.隨堂測(cè)試：

隨堂測(cè)試是評(píng)估學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)掌握程度的有效手段。評(píng)價(jià)內(nèi)容包括：

-學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)定義和性質(zhì)的掌握程度。

-學(xué)生能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的函數(shù)零點(diǎn)問題。

-學(xué)生在測(cè)試中表現(xiàn)出的解題策略和思維方式。

-通過(guò)測(cè)試結(jié)果分析學(xué)生的錯(cuò)誤類型，為后續(xù)教學(xué)提供改進(jìn)方向。

4.課后作業(yè)反饋：

課后作業(yè)是鞏固課堂知識(shí)、提高學(xué)生自學(xué)能力的重要環(huán)節(jié)。評(píng)價(jià)如下：

-作業(yè)的完成情況，包括作業(yè)的完整性、準(zhǔn)確性和創(chuàng)新性。

-學(xué)生對(duì)作業(yè)中遇到的問題的解決方法，評(píng)估其解決問題的能力。

-通過(guò)作業(yè)反饋，了解學(xué)生對(duì)課堂知識(shí)的理解和掌握程度。

-針對(duì)學(xué)生在作業(yè)中普遍存在的問題，進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)或集體講解。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

教師評(píng)價(jià)與反饋是教學(xué)過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)，評(píng)價(jià)內(nèi)容包括：

-針對(duì)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，給予積極的評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，同時(shí)指出改進(jìn)的方向。

-對(duì)小組討論和隨堂測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析，指出學(xué)生的強(qiáng)項(xiàng)和弱點(diǎn)。

-課后作業(yè)的批改要細(xì)致，不僅要指出錯(cuò)誤，還要給出正確的解答和解釋，幫助學(xué)生理解。

-定期與學(xué)生和家長(zhǎng)溝通，反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展和存在的問題，共同制定改進(jìn)計(jì)劃。

-根據(jù)學(xué)生的反饋和教學(xué)效果，不斷調(diào)整教學(xué)策略和方法，以提高教學(xué)質(zhì)量。八、重點(diǎn)題型整理1.題型一：函數(shù)零點(diǎn)的存在性判斷

題目：已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，判斷函數(shù)在區(qū)間(1,5)內(nèi)是否存在零點(diǎn)。

解答：由零點(diǎn)存在定理，若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。計(jì)算f(1)=1^2-4*1+3=0，f(5)=5^2-4*5+3=8，因?yàn)閒(1)·f(5)=0·8<0，所以函數(shù)在區(qū)間(1,5)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。

2.題型二：函數(shù)零點(diǎn)的唯一性判斷

題目：已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，判斷函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否存在唯一零點(diǎn)。

解答：首先，求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。然后，分析f'(x)的符號(hào)變化，發(fā)現(xiàn)f'(x)在x=-1處由負(fù)變正，在x=1處由正變負(fù)，說(shuō)明函數(shù)在x=-1和x=1處分別有一個(gè)極小值和一個(gè)極大值。由于f(-1)=-1^3-3*(-1)+1=3>0，f(1)=1^3-3*1+1=-1<0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在(-∞,-1)和(1,+∞)內(nèi)各存在一個(gè)零點(diǎn)。因此，函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)存在唯一零點(diǎn)。

3.題型三：函數(shù)零點(diǎn)的求解

題目：已知函數(shù)f(x)=x^2-2x-8，求函數(shù)的零點(diǎn)。

解答：通過(guò)因式分解法，將函數(shù)f(x)分解為f(x)=(x-4)(x+2)。令f(x)=0，得到x-4=0或x+2=0，解得x=4或x=-2。因此，函數(shù)的零點(diǎn)為x=4和x=-2。

4.題型四：函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系

題目：已知方程x^2-4x+3=0，求方程的解。

解答：將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，根據(jù)零點(diǎn)的定義，方程的解即為函數(shù)的零點(diǎn)。通過(guò)因式分解法，得到f(x)=(