重難點(diǎn)突破02概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題.............................................2

題型二：概率'統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合問題.............................................4

題型三：概率、統(tǒng)計與立體幾何的綜合問題.........................................6

題型四：概率'統(tǒng)計與解析幾何的綜合問題.........................................8

題型五：概率、統(tǒng)計與三角向量的綜合問題.........................................9

03過關(guān)測試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

概率、統(tǒng)計與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的交匯處題型，旨在彰顯“回歸本質(zhì)，助推教育改革；打破常規(guī)，檢驗(yàn)真

實(shí)能力”的出題思路，是每年高考中不可或缺的一部分。近年來，這類題目傾向于將概率、統(tǒng)計的知識與

數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容相融合，創(chuàng)造出新穎且具有挑戰(zhàn)性的問題形式。

題型一：概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題

【典例1-1】（2024?高三.河北邯鄲?開學(xué)考試）在高中數(shù)學(xué)教材蘇教版選擇性必修2上闡述了這樣一個問題:

假設(shè)某種細(xì)胞分裂（每次分裂都是一個細(xì)胞分裂成兩個）和死亡的概率相同，如果一個種群從這樣的一個

細(xì)胞開始變化，那么這個種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個問題時，我們可以設(shè)一個種群由一個細(xì)

胞開始，最終滅絕的概率為P,則從一個細(xì)胞開始，它有:的概率分裂成兩個細(xì)胞，在這兩個細(xì)胞中，每

個細(xì)胞滅絕的概率都是P,兩個細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是/，于是我們得到：P=；+gp2,計算

可得。=1；我們也可以設(shè)一個種群由一個細(xì)胞開始，最終繁衍下去的概率為P,那么從一個細(xì)胞開始，它

有二的概率分裂成兩個細(xì)胞，在這兩個細(xì)胞中，每個細(xì)胞繁衍下去的概率都是0,兩個細(xì)胞最終都走向火

絕的概率就是于是我們得到：-P）1,計算可得P=。.根據(jù)以上材料，思考下述問

題：一個人站在平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)P（〃,0乂〃eN*）處，他每步走動都會有p*的概率向左移動1個單位，

有l(wèi)-p*的概率向右移動一個單位，原點(diǎn)（0,0）處有一個陷阱，若掉入陷阱就會停止走動，以P“代表當(dāng)這個

人由尸（〃,0）開始，最終掉入陷阱的概率.

⑴若這個人開始時位于點(diǎn)尸（1,0）處，且。*=g.

（i）求他在5步內(nèi)（包括5步）掉入陷阱的概率；

（ii）求他最終掉入陷阱的概率月（0<口<1）；

(iii)已知若P0=1,求P“；

⑵已知P是關(guān)于p的連續(xù)函數(shù).

(i)分別寫出當(dāng)P*=0和p*=l時，乃的值(直接寫出即可，不必說明理由);

(ii)求B關(guān)于P*的表達(dá)式.

【典例1-2】(2024?高三?廣東?開學(xué)考試)將4個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4的一個正四面體在桌面上連續(xù)獨(dú)

立地拋〃次(〃為正整數(shù))，設(shè)X為與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，P為拋正四面體一次與桌面接觸的數(shù)

字為偶數(shù)的概率.

(1)當(dāng)〃=5時，若正四面體的質(zhì)地是均勻的，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；

(2)若正四面體有瑕疵，即pw；.

①設(shè)外是拋擲正四面體〃次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，求證：

(心29

②求拋擲正四面體"次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率.

【變式1-1](2024.貴州遵義.二模)商場對某種商品進(jìn)行促銷，顧客只要在商場中購買該商品，就可以在

商場中參加抽獎活動.規(guī)則如下：先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，然后從裝有4個紅球，2個白球,

2個黑球的盒中有放回地隨機(jī)取球若干次，每次取出一個球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過程中

若顧客持有分?jǐn)?shù)變?yōu)椤７?，抽獎結(jié)束；若顧客持有分?jǐn)?shù)達(dá)到15分，則獲得一等獎，抽獎結(jié)束.

(1)求顧客3次取球后持有分?jǐn)?shù)Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)；

(2)設(shè)顧客在抽獎過程中持有分?jǐn)?shù)為〃分最終獲得一等獎的概率為乙僅=0,1,,15)；

①證明：花｝是等差數(shù)列；

②求顧客獲得一等獎的概率.

【變式1-2】甲口袋中裝有2個黑球和3個白球，乙口袋中裝有5個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個

球交換放入另一口袋，重復(fù)”次這樣的操作.記甲口袋中黑球個數(shù)為X“，恰有1個黑球的概率為外，恰

有2個黑球的概率為qn.

⑴求Pl，蟲與%；

⑵設(shè)%=2+2/，求證：數(shù)列｛%—1｝是等比數(shù)列；

(3)求X”的數(shù)學(xué)期望E(X?)(用"表示).

【變式1-3](2024?山東荷澤?模擬預(yù)測)苗澤牡丹栽培始于隋，興于唐，盛于明清，自古享有“曹州牡丹甲

天下”的美譽(yù).四月，荷澤大地上牡丹次第綻放，觀賞牡丹擁有9大色系、10大花型、1280余個品種，以最亮

眼的姿態(tài)恭迎八方游人.某旅行團(tuán)帶游客來荷澤觀賞牡丹，游客可自由選擇曹州牡丹園和中國牡丹園的一處

游覽，若每位游客選擇曹州牡丹園的概率是：，選擇中國牡丹園的概率是:，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.

(1)從游客中隨機(jī)選取3人，記3人中選擇曹州牡丹區(qū)的人數(shù)為X,求X的分布列、均值與方差；

(2)現(xiàn)對游客進(jìn)行問卷調(diào)查，若選擇曹州牡丹園記2分，選擇中國牡丹園記1分，記已調(diào)查過的累計得分為

”分的概率為尸“，求月.

題型二：概率、統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合問題

【典例2-1】(2024?江西新余?模擬預(yù)測)小郅同學(xué)的左、右口袋中分別裝有3個糖果，每次取糖他都有P

的概率從右口袋中取，每次取糖過程相互獨(dú)立.當(dāng)他發(fā)現(xiàn)某個口袋中沒有糖時停止取糖.

(1)求當(dāng)他右口袋為空時，左口袋中剩余2個糖的概率/(川，并求出P的值使“小最大.

2

(2)若p=§,求小郅最終發(fā)現(xiàn)其右口袋沒有糖的概率.

⑶對于V”eN*,求證成立不等式：

【典例2-2】為提高科技原創(chuàng)能力，搶占科技創(chuàng)新制高點(diǎn)，某企業(yè)銳意創(chuàng)新，開發(fā)了一款新產(chǎn)品，并進(jìn)行

大量試產(chǎn).

(1)現(xiàn)從試產(chǎn)的新產(chǎn)品中取出了5件產(chǎn)品，其中恰有2件次品，但不能確定哪2件是次品，需對5件產(chǎn)品依

次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次檢驗(yàn)后不放回，當(dāng)能確定哪2件是次品時即終止檢驗(yàn)，記終止時一共檢驗(yàn)了X次，求隨

機(jī)變量X的分布列與期望；

(2)設(shè)每件新產(chǎn)品為次品的概率都為P(O<P<D,且各件新產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立.記“從試產(chǎn)的新產(chǎn)品

中隨機(jī)抽取50件，其中恰有2件次品”的概率為〃p),問P取何值時，”0最大.

【變式2-1](2024?高三?海南省直轄縣級單位?開學(xué)考試)第十五屆全國運(yùn)動會將于2025年在廣東、香港、

澳門三地舉辦.為了普及全運(yùn)知識，某大學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識闖關(guān)比賽，比賽分為初賽與復(fù)賽，初賽勝

利后才能參加復(fù)賽，初賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個人，且每人只派一次；如果一個人闖關(guān)失敗,

再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人

組隊(duì)參加初賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為公分小，假定小A、8互不相等，且每人能否闖關(guān)成功

相互獨(dú)立.

(1)若計劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān)，月=：,必=寸03=/，求該小組初賽勝利的概率；

(2)已知1>P|>P2>P3,若乙只能安排在第二個派出，要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙

誰先派出；

(3)初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)定：單人參賽，每個人回答三道題，全部答對獲得一

等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；全部答錯不獲獎，已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽，他在

復(fù)賽中前兩道題答對的概率均為。，第三道題答對的概率為人若他獲得一等獎的概率為:，設(shè)他獲得二

O

等獎的概率為。，求P的最小值.

【變式2-2】第十四屆全國冬季運(yùn)動會(簡稱冬運(yùn)會)于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)舉

辦，這是歷屆全國冬運(yùn)會中規(guī)模最大、項(xiàng)目最多、標(biāo)準(zhǔn)最高的一屆，也是內(nèi)蒙古自治區(qū)首次承辦全國綜合

性運(yùn)動會.為迎接這一體育盛會，內(nèi)蒙古某大學(xué)組織大學(xué)生舉辦了一次主題為“喜迎冬運(yùn)會，當(dāng)好東道主”的

冬運(yùn)會知識競賽，該大學(xué)的一學(xué)院為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加

決賽，決賽通過后將代表該學(xué)院參加該大學(xué)的冬運(yùn)會知識競賽.

(1)初賽采用選一題答一題的方式，每位參賽大學(xué)生最多有7次答題機(jī)會，累計答對4道題或答錯4道題即

終止比賽，答對4道題則進(jìn)入決賽，答錯4道題則被淘汰.已知大學(xué)生甲答對每道題的概率均為且回答

各題的結(jié)果相互獨(dú)立；

（i）求甲至多回答了5道題就進(jìn)入決賽的概率；

（ii）設(shè)甲在初賽中答題的道數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）決賽共答3道題，若答對題目數(shù)量不少于2道，則勝出，代表學(xué)院參加學(xué)校比賽；否則被淘汰已知大學(xué)

生乙進(jìn)入了決賽，他在決賽中前2道題答對的概率相等，均為x（O<x<l）,3道題全答對的概率為:，且

O

回答各題的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)他能參加學(xué)校比賽的概率為了（X）,求/（X）的最小值.

【變式2-3】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為p（x；8）（當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時，p（x；e）為X=x的概率）,

其中"為未知參數(shù)，極大似然法是求未知參數(shù)。的一種方法.在〃次隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量X的觀測值分別

為毛，％，…，4,定義”。「。（入洌?色;。）M%”；。）為似然函數(shù).若e=3時，取得最大值，貝!]

稱e為參數(shù)e的極大似然估計值.

（D若隨機(jī)變量x的分布列為

X123

P20(1-0)(1-0)2

其中0<6<1.在3次隨機(jī)試驗(yàn)中，x的觀測值分別為1,2,1,求。的極大似然估計值無

（2）某魚池中有魚皿加265）尾，從中撈取50尾，做好記號后放回魚塘.現(xiàn)從中隨機(jī)撈取20尾，觀測到做記

號的有5尾，求加的極大似然估計值應(yīng).

（3）隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,（7>0.右/，起當(dāng)是X的一組觀測值,

1n

證明：參數(shù)二的極大似然估計值為注=*（%」）.

題型三：概率、統(tǒng)計與立體幾何的綜合問題

【典例3-1】在直三棱柱ABC-AqG中底面是正三角形，底面邊長為3,側(cè)棱長未知，分別是BC,

CG的中點(diǎn)，P是直三棱柱表面上的一點(diǎn)，且尸到底面的距離為6.當(dāng)3P〃平面時，當(dāng)尸在平面

2

444B中時，尸到8月的距離為二

B

⑴求直三棱柱的側(cè)棱長；

⑵當(dāng)尸到2月的距離為1時，求二面角尸-A。-E的余弦值；

(3)尸每次移動都移動1個單位，從A4上出發(fā)順時針移動的概率為：2，逆時針移動的概率為：1，一旦走完

一圈便不再移動，PG與平面A4G的夾角為a，求第"次移動后C260。的概率.

【典例3-2】某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，將最近一段時間內(nèi)每日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計,

如圖所示.

八頻率/組距

0.006--------T-

0.003

0.002

0.001

。50100150200250300每日汽車銷售量/輛

(1)求。的值，并求該公司這段時間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；

(2)以頻率估計概率，若在這段時間內(nèi)隨機(jī)選擇4天，設(shè)每日汽車銷售量在［200,250)內(nèi)的天數(shù)為X,在恰

有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動，規(guī)則如下：在三棱錐A-3CD中,

ABCD、ACD均是邊長為2的正三角形，AB=6現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個標(biāo)簽中隨機(jī)選擇兩個分別

AEm

貼在A、3兩個頂點(diǎn)，記頂點(diǎn)A、5上的數(shù)字分別為加和〃，若石為側(cè)棱上一個動點(diǎn)，滿足在面=一

EBn

當(dāng)“二面角E-CD-A大于即為中獎，求中獎的概率.

4

【變式3-1］如圖，已知四面體ABC。中，平面88,BCA.CD.

⑴求證：ACLCD-

（2）《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉II”，若此“鱉腌”中，AB=BC=CD=1,有

一根彩帶經(jīng)過面ABC與面ACD,且彩帶的兩個端點(diǎn)分別固定在點(diǎn)8和點(diǎn)。處，求彩帶的最小長度；

（3）若在此四面體中任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為《；任取兩個面，記它們互相垂直的概率為鳥;

任取一個面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為4.試比較概率片、鳥、A的大小.

題型四：概率、統(tǒng)計與解析幾何的綜合問題

【典例4-1］（2024?全國.模擬預(yù)測）在區(qū)間4）內(nèi)隨機(jī)抽取一個實(shí)數(shù)上,則事件“直線/:>=履+1與雙曲線

2

匕=1的兩個交點(diǎn)分別在雙曲線左、右兩支上”發(fā)生的概率為（）

4

A.1B.—C.—D.—

424

【典例4-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知直線％-2y+2=0與%y軸分別交于點(diǎn)以線段（0

為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑作圓，若在線段上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自圓外的概率為（）

【變式4-1】設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為區(qū)域{（%丹人/+yv〃2,〃?>77>o}內(nèi)的點(diǎn)，則直線。尸

的傾斜角不大于I■的概率為（）

A.—B.-C.-D.—

4324

【變式4-2］（2024?寧夏石嘴山.三模）在［-2,3］上隨機(jī)取一個數(shù)%,則“直線y=履+3與圓/+（y+2尸=9無

公共點(diǎn)”的概率為（）

A.工B.AC.2D.3

151555

【變式4-3］（2024?甘肅定西?模擬預(yù)測）有詩云：“芍藥承春寵，何曾羨牡丹”，芍藥不僅觀賞性強(qiáng)，且具

有藥用價值，某地以芍藥為主打造了一個如圖所示的花海大世界，其中大圓半徑為3,大圓內(nèi)部的同心小

圓半徑為1,兩圓之間的圖案是對稱的.若在其中空白部分種植紅芍.倘若你置身此花海大世界之中，則恰好

處在紅芍種植區(qū)中的概率是（）

【變式4-4］（2024.陜西寶雞.二模）設(shè)相，?e{-2,-1,0,1,2,3},曲線C：mx2+ny2=l,則下列說法正確的

為（）

A.曲線C表示雙曲線的概率為2B.曲線C表示橢圓的概率為二

C.曲線C表示圓的概率為二D.曲線C表示兩條直線的概率為g

題型五：概率、統(tǒng)計與三角向量的綜合問題

【典例5-1】（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）若正六邊形公八鳥舄心累的邊長為1,則

［《.巴巴<5-?=2,3,4,5,6）的概率為（

【典例5?2】正2022邊形444。22內(nèi)接于單位圓。任取其兩個不同頂點(diǎn)4,4,則|OA+OA廬1的概

率是()

13461348—13501352

A.------B.------C.------D.------

2021202120212021

【變式5-1]如圖，設(shè)耳,鳥,?,《為單位圓上逆時針均勻分布的六個點(diǎn)，現(xiàn)任選其中三個不同點(diǎn)構(gòu)成一個

三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.

⑴求s=走的概率；

2

(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S).

【變式5-2](2024.湖南岳陽.一模)有編號為A、3的兩個盒子，A盒子中有6個球，其中有2個球上寫有

數(shù)字0,3個球上寫有數(shù)字1,1個球上寫有數(shù)字2,3盒子中也有6個球，其中有2個球上寫有數(shù)字0,2

個球上寫有數(shù)字1,2個球上寫有數(shù)字2.現(xiàn)從A盒子取2個球，從8盒子取1個球，設(shè)取出的3個球數(shù)字之

積為隨機(jī)變量￡

(1)求隨機(jī)變量J的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵記“函數(shù)〃x)=sin(2x+!-+l向右平移g個單位長度得到一個對稱中心為J1)的函數(shù)g(x)”為事件C,

<O763

求事件C發(fā)生的概率.

【變式5-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=\Z5sin0xcos(9x-sin10x+：卜,其中

。eN*且f(玲在[0,河上有且僅有2個零點(diǎn)，2個極值點(diǎn).

⑴求的最小正周期；

l^rr1

（2）設(shè)集合A={x|x=。/eN*,且左V18,7（尤）已知△ABC,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其

362

中a=2,c=4,現(xiàn)從集合A的所有元素中任取一值作為角A的值，求使得△ABC存在的概率.

【變式5-4］小麗今天晚自習(xí)準(zhǔn)備復(fù)習(xí)歷史、地理或政治中的一科，她用數(shù)學(xué)游戲的結(jié)果來決定選哪一科,

游戲規(guī)則是：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為起點(diǎn)，再分別以6（T,0）,AQ1）,2（U）,

4（1,0）這5個點(diǎn)為終點(diǎn)，得到5個向量，任取其中兩個向量，計算這兩個向量的數(shù)量積V,若>>。，就復(fù)

習(xí)歷史，若y=o,就復(fù)習(xí)地理，若y<0,就復(fù)習(xí)政治.

⑴寫出y的所有可能取值；

（2）求小麗復(fù)習(xí)歷史的概率和復(fù)習(xí)地理的概率.

1.（2024?山東淄博?三模）正2022邊形444期內(nèi)接于單位圓0,任取其兩個不同頂點(diǎn)4、可，則

|。4+。4卜1的概率是（）

676口675674n673

------B.------------D.------

2021--------------------20212021-------------------------2021

2.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，已知點(diǎn)A（L0）,在圓/+產(chǎn)=1上任取一點(diǎn)P，則OAQPwg的概率為（

2

AB7D.

-I-t6

3.圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖''），它是由四個全等直角三角形

與中間的一個小正方形拼成一個大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計了一個三角形，它是由三個全等的鈍角三

角形與中間一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，如圖2所示，已知AD=5,若在這個圖形中隨機(jī)取

4

一點(diǎn)，此點(diǎn)取自小正三角形（陰影部分）的概率為三，則m=（）

4.（2024?四川巴中?模擬預(yù)測）勾股定理，在我國又稱為“商高定理”，最早的證明是由東漢末期數(shù)學(xué)家趙爽

在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，他利用了勾股圓方圖，此圖被稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是由四個全等

的直角三角形和中間的一個小正方形組成的大正方形圖案（如圖所示），若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該

9

點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為二，貝『‘趙爽弦圖”里的直角三角形中最小角的正弦值為（）

5.（多選題）（2024?山東日照?一模）從標(biāo)有1,2,3,8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一

張,依次得到數(shù)字a,b,記點(diǎn)A（a,b）,B（1-1）,0（0,0）,則（）

71

A.-403是銳角的概率為話B.ZA30是直角的概率為記

743

C.VA03是銳角三角形的概率為二D.VAOB的面積不大于5的概率為

64764T

6.（2024?廣西貴港?模擬預(yù)測）某射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知其每次命中目標(biāo)的概率均為;.

（1）若該運(yùn)動員共射擊6次，求其在恰好命中3次的條件下，第3次沒有命中的概率；

（2）該運(yùn)動員射擊訓(xùn)練不超過"（；1>100）次，當(dāng)他命中兩次時停止射擊（射擊"次后，若命中的次數(shù)不足

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兩次也不再繼續(xù)），設(shè)隨機(jī)變量X為該運(yùn)動員的射擊次數(shù)，試寫出隨機(jī)變量X的分布列，并證明

2

7.(2024.山東濟(jì)南.二模)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán),

2

先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為

乙發(fā)球時甲得分的概率為各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.在某局比賽雙方打成10:10平后，甲先發(fā)球.

(1)求再打2球該局比賽結(jié)束的概率；

(2)兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若將規(guī)則改為“打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先連得兩分者獲勝”，求該局比賽甲獲勝的概率.

8.(2024?廣東廣州?三模)甲進(jìn)行摸球跳格游戲，圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格，棋子開始在第

1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球(5個球除顏色外其他都相同).每次甲在盒

中隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前

跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格時，游戲結(jié)束.記棋子跳到第〃格的概率為心(〃=1,2,3,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

⑵求仍｝的通項(xiàng)公式.

9.(2024?上海?三模)如圖，已知正方體ABCD-A片G2頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)。，點(diǎn)。每次會隨機(jī)地沿一條棱

向相鄰的某個頂點(diǎn)移動，且向每個頂點(diǎn)移動的概率相同，從一個頂點(diǎn)沿一條棱移動到相鄰頂點(diǎn)稱為移動一

次，若質(zhì)點(diǎn)。的初始位置位于點(diǎn)A處，記點(diǎn)。移動〃次后仍在底面ABCD上的概率為月.

⑴求巴；

(2)證明：數(shù)列［匕是等比數(shù)列；若巴＞喘，求〃的最大值.

I/J

10.(2024?山東濟(jì)南?二模)隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場的價格波動等動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要

應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動一個單位，且向四個方向

移動的概率均為例如在1秒末，粒子會等可能地出現(xiàn)在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四點(diǎn)處.

(1)設(shè)粒子在第2秒末移動到點(diǎn)(x,y),記x+y的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(x)；

(2)記第〃秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為Pn.

⑴已知￡?)2=以求？3，?4以及九；

k=0

(ii)令記為數(shù)列也｝的前W項(xiàng)和，若對任意實(shí)數(shù)">0,存在〃eN*,使得S">M,則稱粒

子是常返的.已知j漏漏］證明：該粒子是常返的.

11.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)某校為了豐富課余活動，同時訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，在高中三個年級

舉辦中國象棋盲棋比賽，經(jīng)過各年級初賽，高一、高二、高三分別有3人，4人，5人進(jìn)入決賽，決賽采取

單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員與其他隊(duì)員都要進(jìn)行1場比賽(每場比賽都采取5局3勝制，初賽、決賽的賽制

相同，記分方式相同)，最后根據(jù)積分選出冠軍，積分規(guī)則如下：比賽中以3：0或3：1取勝的隊(duì)員積3分,

失敗的隊(duì)員積。分；而在比賽中以3：2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員積1分.

(1)從進(jìn)入決賽的12人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行表演賽，這2人恰好來自不同年級的概率是多少？

(2)初賽時，高三甲、乙兩同學(xué)對局，設(shè)每局比賽甲取勝的概率均為。記甲以3:1取勝的概率為

/(。)，當(dāng)〃。)最大時，甲處于最佳競技狀態(tài).在決賽階段甲、乙對局，而且甲的競技狀態(tài)最好，求甲所

得積分X的分布列及期望.

12.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)某課題實(shí)驗(yàn)小組共有來自A