多邊形與圓（5大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）

知識點1.正多邊形及有關(guān)概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.

要點歸納：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：⑴各邊相等；⑵各角相等；缺一不可.如菱形的

各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形（正方形是正多邊形）.

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，

這個圓就是這個正多邊形的外接圓.

2.正多邊形的有關(guān)概念

⑴一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

⑵正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

（3）正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

⑷正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

3.正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

2.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊

數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似

比的平方.

5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點歸納：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓

的外切正多邊形.

知識點2.正多邊形的有關(guān)計算

⑴正n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是（""I'。

360

⑵正n邊形每個中心角的度數(shù)是——

360°

（3）正n邊形每個外角的度數(shù)是——.

n

要點歸納：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

知識點3.正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角（即等分頂點在圓心的周角）可以等

分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在。。中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊

所對的?。醋?A0B的平分線交@于E）就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

十二邊形的作法

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在。。中，任畫一條直徑AB,分別以A、B

為圓心，以00的半徑為半徑畫弧與00相交于C、D和E、F,則A、C、E、B、F、D是。。的6等分點。

顯然，A、E、F（或C、B、D）是。。的3等分點。

同樣，在圖⑶中平分每條邊所對的弧，就可把。012等分……。

要點歸納：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.

練題型強知識

【類型1］有關(guān)正多邊形角的計算

1.（24-25九年級上?河南商丘?階段練習(xí)）正六邊形的中心角是（）

A.60°B.120°C.360°D.720°

【答案】A

【分析】此題考查了正多邊形的中心角.據(jù)正多邊形的中心角的定義，可得正六邊形的中心角是：

360案6=60?,此題比較簡單，注意準(zhǔn)確掌握定義是關(guān)鍵.

【詳解】解：正六邊形的中心角是：360案6=60?.

故選：A.

2.（23-24九年級上?天津南開?期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于0。，P為AB上一點、,連接R4，PE,

則/4PE的度數(shù)為（）

A.18°B.36°C.54°D.72°

【答案】B

【分析】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式型360-°是解題的關(guān)鍵.

n

【詳解】解：連接。4、OB,

,/ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，

360°

ZAOE=—^=12°,

.?.ZAPE=-ZAOE=-x72°=36°,

22

3.（23-24九年級上?河南商丘?階段練習(xí)）如圖，點。為正五邊形ABCDE的中心，連接貝Ij/AOE

的度數(shù)為（）

A.72°B.54°C.60°D.36°

【答案】A

【分析】根據(jù)正〃邊形的中心角的度數(shù)為衛(wèi)360°，進行求解即可.

n

【詳解】解：由題意，得：/AOE的度數(shù)為3節(jié)60°-=72。；

故選A.

4.（24-25九年級下?陜西寶雞?開學(xué)考試）如圖，點。是正五邊形ABCDE的中心，連接0C,于

點尸，則/COP的度數(shù)為°.

【答案】36

【分析】本題考查了正多邊形和圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，正確的添加輔助線以及記熟正多邊形

的有關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，根據(jù)題意，可得OC=OD,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，求出/COD,根據(jù)三角形的內(nèi)

角和，求出/。。=/。￡＞。=（180。-72。卜）=54。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和，即可.

【詳解】解:連接OD,

OC=OD,

NOCD=NODC,

???點0是正五邊形ABCDE的中心，

ZCOD=1x360°=72°,

/.ZOCD=ZODC=(180°-72°)x1=54°,

???OFLCD,

，NOFC=90。,

ZCOF=36°,

故答案為：36.

5.（2025?安徽滁州?三模）如圖，在。。的圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，過點。作小〃。4交AE于點片

則ZEDF的度數(shù)為.

【答案】18。/18度

【分析】本題考查圓內(nèi)接正多邊形，三角形內(nèi)角和，連接OE,。尸，根據(jù)圓內(nèi)接正五邊形ABCDE,得到

ZDEA=ZEAB=180=108°,DE=AE=AB,則OE=AE=AB，得到NAOE=NAOB,根據(jù)等腰

三角形得到NOAE=NOAB=g/EA8=54。，再由。尸〃Q4得到NQ4E=/防D=54。，最后根據(jù)三角形內(nèi)

角和求解即可.

【詳解】解：連接OE,OF,

,/在。。的圓內(nèi)接正五邊形ABCDE,

180°x（5-2）

:.NDEA=NEAB=-----——^=108°,DE=AE=AB,

,,DE=AE=AB，

???ZAOE=ZAOB,

9：OA=OE=OB,

]800ZAOE180?！狽AO5

ZOAE=ZOEA=ZOAB=ZOBA=

22

JZOAE=ZOAB=ZOEA=ZOBA,

：.ZOAE=NOAB=-NEAB=54°,

2

'：DF//OA,

：.NOAE=NEFD=54。，

：.ZEDF=180°-ZEFD-NDEF=180o-108°-54o=18°,

故答案為：18。.

【類型2］求正多邊形的邊數(shù)

6.（24-25九年級上?浙江寧波?期末）一個圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是40。，則該正多邊形邊

數(shù)是（）

A.6B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形中心角的計算方法是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)正多邊形中心角的計算方法列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)這個正多邊形為正〃邊形，由題意得，

解得n=9,

經(jīng)檢驗，“=9是原方程的解，

所以這個正多邊形是正九邊形，

故選：B.

7.（2025九年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，點A、B、C、。為一個正多邊形的頂點，點0為正多邊形的

中心，若NAD3=20。，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

A.9B.10C.18D.20

【答案】A

【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圓周角定理得到

ZAOB=2ZADB=40°,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：，.2、B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，

.,?點A、B、C、。在以點。為圓心，0A為半徑的同一個圓上，

-.■ZADB=20°,

:.ZAOB=2ZADB=40°,

，這個正多邊形的邊數(shù)=票360°=9,

40°

故選：A.

8.（2025?江蘇徐州?模擬預(yù)測）如圖，是正多邊形的一部分，若NACB=18。，則該正多邊形的邊數(shù)為

【答案】10

【分析】本題主要考查了正多邊形中心角問題、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.連接

OB,易知點A、B、C、D在以點。為圓心，為半徑的同一個圓上，根據(jù)圓周角定理得到

ZAOB=2ZACB=36。，再根據(jù)正多邊形中心角計算方法即可得到答案.

【詳解】解：連接。4,OB,如下圖，

「A、B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，

...點A、B、C、D在以點。為圓心，為半徑的同一個圓上，

ZACB=18°

ZAOB=2ZACB=36°,

...這個正多邊形的邊數(shù)=券=10.

故答案為：10.

9.（2025?安徽合肥?二模）如圖，在正〃邊形中，Zl=18°,則〃的值是

1

【答案】20

【分析】本題考查正多邊形和圓，根據(jù)圓周角定理求出中心角的度數(shù)，求出〃的值即可.

【詳解】解：如圖，點。為正〃邊形的外接圓的圓心，連接。

貝人ZAOC=2Zl=36°,ZAOB=NBOC,

：.ZAOB=18°,

故答案為：20.

【類型3］求正多邊形的半徑、周長、面積

10.（24-25九年級下?貴州貴陽?階段練習(xí)）若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2,則其外接圓半徑為（）

A4A/3r273「36N3A/3

A.---D.---C.---U.--------

3324

【答案】A

【分析】本題主要考查正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握內(nèi)切圓與外接圓的性質(zhì)

以及正多邊形的中心角，求出正六邊形的中心角的度數(shù)，進行求解即可.

又正六邊形中心角ZAOB=60°,

.??VAO3為正三角形，

:.ZAOG=ZBOG=30°,

：.BG=-OB,

2

OG=杷BG=2,

.?.BG=^~

3

J08=延.

3

故選：A.

11.（2025?安徽合肥?一模）如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形ABCDEF,已知這個正六邊形的半徑是

2,則它的面積是（）

A.6A/3B.12C.12百D.24

【答案】A

【分析】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)題意得出AAOB是等邊三角形是

解題關(guān)鍵.由正六邊形的性質(zhì)證出VAOB是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出=即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為。，連接A。，BO,過點。作于點X,如圖所示：

O是正六邊形ABCDEF的中心，

AB=BC=CD=DE=EF=AF,ZAOB=60°,AO=BO=2,

.?.VA03是等邊三角形，

AB=OA,AH=BH=—AB=1,

2

OH=y/o^-AH2=，

???正六邊形ABCDEF的面積=6XLX2X?=6G.

2

故選：A.

12.（24-25九年級上?山西呂梁?期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。.若AB=4,則。。的直徑為

【答案】A

【分析】本題考查正多邊形與圓，正確得出AABO是等邊三角形是解題關(guān)鍵.

直接利用等邊三角形的判定與性質(zhì)進而分析得出答案.

【詳解】解：連接A。/。，

正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。

ZAOB=60°,

：.AABO是等邊三角形，

,/AB=4,

：.OA=OB=AB=4

的直徑為8.

故選：A.

13.（22-23九年級上?黑龍江佳木斯?期末）如圖，正六邊形ABCDER內(nèi)接于0。，若。。的周長是6萬，則

正六邊形的邊長是.

【答案】3

【分析】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

連接。8、OC,根據(jù)。。的周長等于6萬，可得。。的半徑O3=OC=3,而六邊形ABCDEF是正六邊形,

360°

即知/BOC=——=60。，MOC是等邊三角形，即可得正六邊形的邊長.

6

,/六邊形ABCDE尸是正六邊形,

360°

:.ZBOC=——=60°,

6

.?.△5OC是等邊三角形，

：.BC=OB=OC=3,

即正六邊形的邊長為3,

故答案為：3.

14.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）若正方形的周長為12,則這個正方形的邊心距為.

3

【答案】1/1.5

【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)、正多邊形和圓、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點，正確地畫

出圖形并且添加相應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正方形的周長為12,易得BC=3,如圖：作正方形ABC。的外接圓，圓心為點。，連接。6、OC,作

13

OEL3C于點E,則OB=OC,ZBOC=90°,所以即可解答.

【詳解】解：如圖，正方形的周長為12,

/[「、

O

：.AB=BC=CD=AD,S,AB+BC+CD+AD=12,

：.BC=3,

如圖：作正方形ABC。的外接圓，圓心為點。，連接QB、OC,作OEJ_3c于點E,

VOB=OC,ZBOC=-x360°=90°,

4

13

OE=BE=CE=-BC=-

22

3

???正方形ABCD的邊心距為一.

2

3

故答案為：—.

15.（24-25九年級下?上海?階段練習(xí)）邊心距為2的正六邊形面積是.

【答案】8囪

【分析】本題考查正多邊形和圓，根據(jù)題意，求出正六邊形的邊長，根據(jù)正六邊形的面積為6個全等的等

邊三角形的面積之和，進行求解即可.

360°

【詳解】解：如圖，連接。4,。5,作?！?，4^,由題意可知：OH=2,ZAOB=-----=60。，OA=OB,

??.VA03為等邊三角形,

：.OA=OB=AB,

OHLAB,

：.AH=-AB=-OA,

22

OH=6AH=2,

???正六邊形面積為：6XL迪X2=8G；

23

故答案為：8A/3.

16.（24-25九年級上.山西呂梁.階段練習(xí)）如圖1,有一個亭子，它的地基的平面示意圖如圖2所示，該地

基的平面示意圖可以近似的看作是半徑為5m的圓內(nèi)接正六邊形，求這個正六邊形地基的周長.

盍力

圖1圖2

【答案】30m

【分析】本題考查了圓內(nèi)接六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

360°

根據(jù)題意得到=——=60°.AB=BC=CD=DE=EF=AF,得到VA03是等邊三角形，得出

6

AB=O4=5m,即可得到答案.

【詳解】解：?.?六邊形ABCDEF是正六邊形，

360°

ZAOB=——=60°.AB=BC=CD=DE=EF=AF,

6

?：OA=OB,

.?.△AO5是等邊三角形，

AB=OA=5m,

二?正六邊形ABCDEF的周長=6x5=30m.

17.（24-25九年級上?陜西咸陽?期末）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑03=3,求這個正六邊

【答案】這個正六邊形的周長為18.

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定與性質(zhì).連接OC,如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到

360°

NBOC=^=60。，則△O3C為等邊三角形，所以5c=05=3,進而可求出正六邊形的周長.

6

【詳解】解：如圖，連接OC,

:.OB=OC.

六邊形ABCDEF是正六邊形，

360°

:.ZBOC=——=60°,

6

.△OBC是等邊三角形，

/.BC=OB=3,

.?.這個正六邊形的周長為6x3=18.

18.（23-24九年級上?全國?單元測試）如圖，正VABC外接圓的半徑為R,求正VABC的邊長，邊心距,

周長和面積.

【答案】邊心距邊長為石R,周長是36R,面積是乎A?.

【分析】連接OROA,延長A。交2C于根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD13C,

BD=CD=^BC,ZOBD=3Q°,進而求得O。；再根據(jù)勾股定理求出8。，即可求出BC,進而求得周長和

面積.

【詳解】解：如圖：連接。8,OA,延長A0交于￡）,

?.?正VABC外接圓是

AD1BC,BD=CD=-BC,NOB?！筞ABC」x60。=30。,

222

/.邊心是巨OD=OB=-OB=-R,

22

由勾股定理得：BD=yJOB2-OD2=—R,

2

3

二三角形邊長為8C=2BO=百R,AD=AO+OD=-R,

VABC的周長是3BC=3x=3園；

VABC的面積是=舟*3氏=速尺2.

2224

【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓、三角形的面積等知識

點，正確作輔助線后求出80的長是解題的關(guān)鍵.

【類型4】正多邊形的作圖問題

19.（2025?江西?模擬預(yù)測）如圖，多邊形ABCDE是正五邊形，請僅用無刻度的直尺按要求完成作圖（保留

作圖痕跡）.

C-----------DC----------D

圖1圖2

（1）如圖1,作一個以為腰，頂角為36。的等腰三角形；

（2）如圖2,作一個底角為54。的等腰三角形.

【答案】（1）畫圖見解析

（2）畫圖見解析

【分析】（1）連接BO,CE,交于點K,貝必3CK即為所求作的三角形；

（2）連接50,CE,交于點K,連接AK并延長交CD于則AABK或AAEK即為所求;

【詳解】（1）解：如圖，連接CE,交于點K,貝隈3CK即為所求作的三角形；

￥---

理由：???多邊形ABCDE是正五邊形,

360°

ACB=CD=DE,ZBCD=ZCDE=1SO°一一—=108°,

???ZCBD=-(180°-108°)=36°=ZDCE,

2'7

ZBCK=108°-36°=72°,ZBKC=180°-72°-36°=72°,

JBC=BK,

???△8CK即為所求作的三角形；

(2)解：如圖，連接8D,CE,交于點K,連接AK并延長交于則4ABK或即為所求;

A

理由：由（1）可得：BC=CD=DE,/BCD=NCDE=108°,

^CDB=^DCE,

???BD=CE,

同理：△BCKm/DK,

:?BK=EK,CK=DK,

：.AM是正五邊形ABCDE的對稱軸，

同理：ZBAE=ZABC=10S°,

：.ZBAK=ZEAK=54°,

,/NCBK=36。,

ZABK=108°-36°=72°,

：.ZAKB=180°-72°-54°=54°,

ZAKB=ZBAK=54°,

/.BA=BK,

AABK即為所求作的等腰三角形，

同理可得：-4￡K即為所求作的等腰三角形.

【點睛】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三

角形的判定與性質(zhì)，熟練的畫圖是解本題的關(guān)鍵.

20.（2025?上海嘉定?二模）已知正五邊形ABCDE,請僅用無刻度的直尺作圖，并完成相應(yīng)的任務(wù)（保留作

圖痕跡，不寫作法）.

圖1圖2

【初步感知】

（1）如圖1,請直接寫出的度數(shù)；

【實踐探究】

（2）請在圖2中作出以BE為對角線的菱形并證明你的結(jié)論;

【拓展延伸】

(3)請在圖2正五邊形鉆CDE的基礎(chǔ)上再設(shè)計一個新的正五邊形(不需要證明)

【答案】(1)ABE=36°；(2)見解析；(3)見解析

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

(1)利用正五邊形與等腰三角形的性質(zhì)求解；

(2)連接2DCE交于點M,四邊形即為所求；

(3)各邊延長線的交組成的五邊形4片GAg即為所求.

52xl8

【詳解】解：AB=AE,ZA=(~)°=108o；

5

NABE=ZAEB=：(180°-108°)=36°；

故答案為：36。；

(2)如圖1所示，連接3D、CE相交于點”，菱形為所求圖形,

證明：在正五邊形至CDE中，每個內(nèi)角都相等且等于108。，每條邊都相等,

可得AABE烏ACBD,從而ZABE=NCBD

VAE=AB,N3A￡=108°,

ZABE=ZAEB=36°,

.,.ZCBD=36°,,

?.ZDBE=ZABC-ZABE-Z.CBD=108°-36°-36°=36°,

/.ZAEB=ZDBE,

：.AE//BD,

同理可證：AB//CE.

四邊形ABME為平行四邊形，

又AE=A5,

四邊形ABME為菱形.

(3)如圖，五邊形即為所求.

G

圖2

【類型5】正多邊形的實際應(yīng)用

21.（23-24九年級下?遼寧沈陽?期中）如圖，是中國人民銀行1992年發(fā)行的鋁鋅合金外圓內(nèi)凹九邊形立體

感極強的“菊花1角硬幣”.霖霖移動該硬幣（。。）與直角三角形（DEF）形成如圖所示位置.其中，AB

是。。內(nèi)接正九邊形的一條邊，。廠經(jīng)過點8和圓心。，點C是OE與。。的交點，ZAOC=ZE=90°,

ZF=50°.

（1）求證：DE是。。的切線；

（2）若斯切0。于點G,且霖霖測得。EQ25mm,叱°21mm,求該硬幣（0。）的直徑為多長（精確到

0.1mm）.

【答案】（1）見解析

（2）該硬幣（。。）的直徑為22.8mm

【分析】本題考查了正多邊形與圓，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識點是解題

的關(guān)鍵；

360°

（1）根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得中心角ZAOB=—=40°,進而得出ZBOC=/F得出CO〃EF則COLDE,

即可得證；

（2）連接OG,證明四邊形OCEG是正方形，設(shè)。。的半徑為「，證明△DCOSADER,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：：A3是。。內(nèi)接正九邊形的一條邊,

360°

/.中心角ZAOB=——=40°,

9

ZAOC=ZE=90°,

：.ZBOC=5QP,EhDE,

VZF=50°,

：.ZBOC=ZF,

：.CO//EF,

ACOIDE,

又???CO是半徑，

???OE是。0的切線；

(2)解:連接OG,

???OG1EF,

：.ZE=ZOCE=ZOGE=90°,

???四邊形OCEG是矩形，

XVOC=OG,

???四邊形OCEG是正方形，

設(shè)0。的半徑為「，

:.CE=OG=r,

*：CO//EF,

:?ADCO^ADEF,

,CODC

^~EF~~DE"

,r_25-r

??=，

2125

解得：r?11.4,

二?該硬幣（。。）的直徑為22.8mm.

22.（24-25九年級下?江蘇徐州?階段練習(xí)）今年假期，你有沒有和父母或者小伙伴一起走進影院去看一下

國漫電影《哪吒2》呀？影片中，玉虛宮的鎮(zhèn)宮之寶“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八邊

形”的宮殿，你想知道這座建筑有多大嗎？

問題一：要求出“正八邊形”的面積，我們可以把一個“正八邊形”均分成八個頂角為______度的等腰三角形;

問題二：VA3C中，ZC=90°,ZA=15°,BC=1,求VA3C的面積和tanl5。的值分別是多少？（可以作

的中垂線DE交AC于，交48于E,貝ikADB為等腰三角形，/BDC=30°）

問題三：若“正八邊形”的邊長A8為2a,求：正八邊形的面積.

【答案】問題一：45；問題二：1+等，2-石；問題三：（8+80”.

【分析】本題考查正多邊形的有關(guān)運算，含30。的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握含30。的直角三角

形性質(zhì)和利用正方形的面積解決正八邊形的面積是解決本題的關(guān)鍵.

問題一：根據(jù)正八邊形分成的八個等腰三角形的頂角組成360。，可得等腰三角形每個頂角的度數(shù)；

問題二:根據(jù)ZSDC=30°及BC的長可得C。和3。的長度，進而可得AD的長度，VABC的面積=AC,

tanl5°=^1,把相關(guān)數(shù)值代入計算即可；

問題三：延長正八邊形的四條邊相交成正方形COM,則補充的四個小三角形為等腰直角三角形，求得正

方形的邊長后，正八邊形的面積=正方形的面積-4個等腰直角三角形的面積，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可.

【詳解】解：問題一：???八個等腰三角形的頂角組成360。，

每個頂角的度數(shù)為：—=45°,

8

故答案為：45；

問題二：作A5的中垂線。石交AC于。，交于區(qū)

:.ZABD=ZA=15°f

:.ZBDC=ZABD+ZA=30°,

???BC=L

：.BD=2,CD=4BEr-BC1=y/3>

AD=2,

AC=CD+AD=^/3+2,

.,.，c=5C.AC=；xlx（石+2）=1+#

1

tanl5°==2-5

2+73

問題三：如圖，延長正八邊形的四條邊相交成正方形CD所，則補充的四個小三角形為全等的等腰直角三

???正八邊形的邊長為2a,

BC=y/2a,

???正方形CDEF的邊長為2a+2缶,

：.正八邊形的面積=（2。+2億『一4xg（缶了=02+80）片一4/=（8+80）a?.

23.（24-25九年級下?福建福州?期中）在綠化公園時，需要安裝一定數(shù)量的自動噴灑裝置，定時噴水養(yǎng)護

草坪.某公司準(zhǔn)備在一塊邊長為20m的正方形草坪（圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又

盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計合適的安裝方案.

k

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為的圓面，噴灑覆蓋率。=—，s為待噴灑區(qū)域面積，k為待

S

噴灑區(qū)域中的實際噴灑面積.

這個問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題.

F~B

圖6

（1）如圖2,在該草坪中心位置設(shè)計安裝1個噴灑半徑為10m的自動噴灑裝置，該方案的實際噴灑面積左=

，實際噴灑覆蓋率夕=.

（2）如圖3,在該草坪內(nèi)設(shè)計安裝4個噴灑半徑均為5m的自動噴灑裝置；如圖4,設(shè)計安裝9個噴灑半徑均

為乎m的自動噴灑裝置...以此類推，如圖5,設(shè)計安裝個噴灑半徑均為Wm的自動噴灑裝置，與（1）

中的方案相比，采用這種增加裝置個數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出理由.

（3）如圖6,該公司設(shè)計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率夕=1.已知

正方形A38各邊上依次取點F,G,H,E,4更得AE=BF=CG=DH,設(shè)AE=加1，。。1的面積為＞機2,

求y關(guān)于關(guān)的函數(shù)表達式，并求當(dāng)y取得最小值時『的值.

TT

【答案】（1）攵=100=，P=-

4

（2）不能提高噴灑覆蓋率，理由見解析

（3方=，（無一10）2+50",7=50

【分析】（1）根據(jù)定義，分別計算圓的面積與正方形的面積，即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；

（3）根據(jù)勾股定理求得無"的關(guān)系，進而根據(jù)圓的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可

求解.

【詳解】（1）解：（1）當(dāng)噴灑半徑為10m時，噴灑的圓面積$=兀產(chǎn)=TTX102=100兀m?.

/.k=100萬；

正方形草坪的面積S=a2=202=400m2.

（2）解：對于任意的〃，噴灑面積尤="兀lOOirm2，而草坪面積始終為400m2.

因此，無論〃取何值，噴灑覆蓋率始終為二.

這說明增加裝置個數(shù)同時減小噴灑半徑，對提高噴灑覆蓋率不起作用.

（3）如圖所示，連接所，

圖6

要使噴灑覆蓋率0=1，即要求&=1,其中5為草坪面積，上為噴灑面積.

S

...。,。。3，。。4都經(jīng)過正方形的中心點0,

在RIAAEF中，EF=2r,AE—x,

AE=BF=CG=DH

/.AF=20—x,

在廠中，AE2+AF2=EF2

：.4r2=X2+（20-%）2

.2X2+（20-XV

,,y=Ttr=-----------7i

4

=搟（龍一IO）?+50萬

...當(dāng)x=io時，y取得最小值，此時4/=io2+i（）2

解得：廠=5夜.

【點睛】本題考查了正方形與圓，二次函數(shù)的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵在于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,

即如何將噴灑覆蓋率的計算問題轉(zhuǎn)化為面積計算和函數(shù)求解問題.同時，在解決具體問題時，需要靈活運

用已知的數(shù)學(xué)知識，如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數(shù)解析式求解等.最后，還需要注意將數(shù)

學(xué)計算結(jié)果還原為實際問題的解決方案.

串知識識框架

中心角、外角、內(nèi)角

中心、半徑、中心角、g有關(guān)

邊心距「概念

各邊相等、各角相等，

所有的正多邊形都姑P性質(zhì)

軸對稱圖形

過關(guān)測穩(wěn)提9

一、單選題

1.（24-25九年級上?黑龍江綏化?期末）已知正多邊形的中心角是30度，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)知識，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

360°

正多邊形的中心角的計算公式計算即可，中心角等于——（〃為邊數(shù)）.

n

【詳解】解：由題意得，這個正多邊形的邊數(shù)是零=12,

故選：A.

2.（23-24九年級上?青海果洛?期末）正六邊形的中心角為（）

A.120°B.90°C.60°D.30°

【答案】C

【分析】本題考查了正多邊形中心角定義.根據(jù)題意正多邊形中心角即為360。除以正多邊形邊數(shù)即可選出

本題答案.

【詳解】解：???是正六邊形，

360°

中心角為：,=60。，

6

故選：C.

3.（22-23九年級上?廣西河池?期末）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于。。，則一AO3的度數(shù)是（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

【答案】C

【分析】根據(jù)正展邊形的中心角的計算公式360°"（〃為正整數(shù)，心3）解答即可.

n

【詳解】解：：正五邊形MCDE內(nèi)接于O。，

360°

正五邊形ABCDE的中心角ZAOB=丁=72°.

故選：C.

【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正〃邊形的中心角的計算公式360比°（〃為正整數(shù)，”23）是解題的

n

關(guān)鍵.

4.（2025?廣西南寧?模擬預(yù)測）青秀山的龍象塔是南寧市的地標(biāo)建筑之一，始建于明代萬歷年間.該塔為

八角九層，重檐磚結(jié)構(gòu).如圖所示的正八邊形是龍象塔其中一層的平面示意圖，點。為正八邊形的中心，

則上403的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題考查求正多邊形中心角度數(shù)，掌握正"邊形中心角的計算公式360。+"是解題的關(guān)鍵.

用360。除以正多邊形的邊數(shù)，計算即可.

【詳解】解：ZAOB=360°4-8=45°

故選：C.

5.（2025?安徽合肥?三模）如圖，VABC是0。的內(nèi)接正三角形，五邊形AZJEFG是。。的內(nèi)接正五邊形,

若線段BE恰好是。。的一個內(nèi)接正"邊形的一條邊，則〃的值為（）

A

16C.17D.18

【答案】A

【分析】本題考查了正多邊形與圓，連接OB、OE、OF、OC,由題意可得防尸，ZBOC=120°,

ZEOF=72%由圓周角定理計算得出4O￡=NCO9=24。，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是

解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖：連接05、OE、OF、OC,

=360°-3=120°,ZEO尸=360。+5=72。，

ZBOE=ZCOF=/B℃-"°F=,

2

???若線段班恰好是的一個內(nèi)接正幾邊形的一條邊，貝的值為360。+24。=15,

故選：A.

6.（2025?廣東惠州?模擬預(yù)測）如圖，是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點M,N,尸分別是邊

與。。的切點，則的度數(shù)為（

C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角，圓周角定理，連接OM,ON,求出/A的度數(shù)，根據(jù)四邊

形的內(nèi)角和為360度求出NMON的度數(shù)，圓周角定理求出NMFN的度數(shù)即可.

【詳解】解：：正五邊形ABCDE,

（5-2）-180°

/.ZA——-------=108°,

5

連接OM,ON,

A

由題意，得：ZONA=ZOMA=90°,

：.ZMON=360°-90°-90°-108°=72°,

：.ZMFN=-AMON=36°；

2

故選B.

7.（24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）一個正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為3,則這個正六邊形的外接圓的半徑

為（）

A.2百B.4C.3>/3D.6

【答案】A

【分析】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形；設(shè)正六邊形的中心是。，一邊是過。作。GLAB于

G,在直角△Q4G中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得邊長AB,從而求出周長.

【詳解】解：如圖,

360°

作OGLAB于G,由題意可得OA=O5,NAO3=——=60°,

6

:.ZAOG=30°,

在Rt^AOG中，OG=3,ZAOG=30°,

OG3FT

OA=---------=—-=■=2,3

cos30°y/3

2

故選：A.

8.（24-25九年級下?福建漳州?階段練習(xí)）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的

花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O,AB所在圓的圓心

C恰好是的內(nèi)心，若AB=26,則花窗的周長（圖中實線部分的長度）為（）

168一

A.—7iB.—兀C.167rD.87r

33

【答案】D

【分析】本題主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長.過點C作根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出

VAOB為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定/C4O=/Q4E=/CBE=30。，得出NACB=120。，利用余弦

得出AC=^^=2,再求弧長即可求解.

cos30

【詳解】解：如圖所示：過點C作

,/六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形,

ZAOB=60°,OA=OB,

...VA03為等邊三角形，

:圓心C恰好是^ABO的內(nèi)心，

NC4O=NCAE=NCBE=30°,

/.ZACB=120°,

AB=2^3,

AE=BE=s/3,

AE

AC==2,

cos30°

120X2XK4

AB的長為:-------------——71

1803

4

???花窗的周長為：J71X6=871,

故選：D.

二、填空題

9.（24-25九年級下?上海浦東新?階段練習(xí)）如果一個正多邊形內(nèi)角和是1440。，那么它的中心角是.

【答案】36

【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和、邊數(shù)、中心角，先根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和求出邊數(shù)，再求其中心

角的度數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為小

由題意得，（〃一2）x180。=1440。，

解得"=10,

.?.正六邊形的中心角是360。+10=36°,

故答案為：36.

10.（24-25九年級上?河南信陽?期末）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是60。，則這個正多邊形是.

【答案】正六邊形

【分析】本題考查了正多邊形的邊數(shù)與中心角的關(guān)系，掌握正多邊形的中心角等于更360°是解題的關(guān)鍵.

n

根據(jù)正多邊形中心角等于出360即°可求解.

77

【詳解】解：由題意得，邊數(shù)為36器0°=6,

故答案為：正六邊形.

11.（24-25九年級上?福建廈門?期末）正六邊形內(nèi)接于半徑為1的圓，則該正六邊形的周長是.

【答案】6

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓心角的計算，等邊三角形的判定和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

360°

根據(jù)題意作圖可得至=3。=8=。E=砂=”，3=03=1,則有4402=——=60°,AAOB是等邊

6

三角形，AB=OA=OB=L由此即可求解.

【詳解】解：正六邊形內(nèi)接于半徑為1的圓，

如圖所示，AB=BC=CD=DE=EF=AF,04=08=1,

/.正六邊形每條邊所對的圓心角的度數(shù)為NAOB=咪360°=60。,

6

AAOB是等邊三角形，

AB=OA=OB=1,

，該正六邊形的周長是6,

故答案為：6.

12.（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，正五邊形ABCDE的頂點A,C在。3上，尸是優(yōu)弧AC上的一點（不

與點AC重合），連接AEC尸，則NAbC的度數(shù)為.

【答案】54。/54度

【分析】本題考查正多邊形與圓、圓周角定理等知識點，理解圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)正多邊形內(nèi)角和定理求得NABC=108。再根據(jù)圓周角定理計算即可.

【詳解】解：：正五邊形ABCDE,

.（5-2）x180°

..ZABC=——』-------=108°，

5

???F是優(yōu)弧AC上的一點（不與點AC重合），

ZAFC=-NABC=54°.

2

故答案為：54°.

13.（22-23九年級上?廣西河池?期末）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口方=2百cm,

則邊長a為cm.

【分析】本題考查了正多邊形和圓的知識，構(gòu)造一個由正多邊形的外接圓半徑、邊長、邊心距組成的直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

如圖，連接OC、OD,過。作。于”.證明出△COD是等邊三角形，解直角三角形求出即可.

【詳解】解：如圖，連接OC、OD,過。作。a_LCD于H.

△CQD是等邊三角形，

?.=90°-60°=30°,

,/OHLCD,

：.CH=DH=-CD,OH=-b=y/3cm,

22

CH=A/3xtan30°=1cm，

a=2CH=2cm,

故答案為：2.

14.（2025?湖南永州?模擬預(yù)測）如圖，小明計劃繪制一個具有小太陽笑臉特征的圖案.為此，他首先繪制

了一個邊長為10的正十二邊形，再以該正十二邊形的每個頂點