線段垂直平分線的性質(zhì)

(2大知識(shí)點(diǎn)+7大典例+變式訓(xùn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè))

B題型預(yù)覽

典型例題一作已知線段的垂直平分線

典型例題二根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度

典型例題三根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求周長(zhǎng)

典型例題四根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求角度

典型例題五利用垂直平分線的性質(zhì)求最值

典型例題六垂直平分線的判定與性質(zhì)綜合問(wèn)題

典型例題七垂直平分線常見(jiàn)輔助線添加

隰知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)01線段的垂直平分線

(1)定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：

①垂直平分線垂直且平分其所在線段.

②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

求做線段AB的垂直平分線

B

作法:

（1）分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于」AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于c,D兩點(diǎn)；

2

（2）作直線CD,CD即為所求直線.

要點(diǎn)歸納：

作弧時(shí)的半徑必須大于‘AB的長(zhǎng)，否則就不能得到交點(diǎn)了.

2

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在A/BC中，進(jìn)行以下操作：①分別以點(diǎn)3為圓心，大于;43

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)。，E-,②作直線。E交邊48于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、H；③連接已知

OH=4,周長(zhǎng)為16,則△408的周長(zhǎng)為（）

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期末）如圖，四邊形ABC。是“等形"，AB=AD,BC=DC,點(diǎn)E是對(duì)角線/C

的一個(gè)三等分點(diǎn)，連接BE,DE,圖中面積相等的三角形有（）對(duì).

A.0B.1C.2D.3

知識(shí)點(diǎn)02垂直平分線的性質(zhì)與判定

1.命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

如圖，直線1，AB,垂足為C,AC=CB,點(diǎn)P在1上.求證：PA=PB.

證明：?/1±AB,AZPCA=ZPCB.

又AC=CB,PC=PC,APCA^APCB(SAS),/.PA=PB.

2.命題：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

求證：如圖，若PA=PB,則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。

證明：(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，

VPA=PB,點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如右圖所示.

*/PA=PB,APAB是等腰三角形.

過(guò)頂點(diǎn)P作PCLAB,垂足為點(diǎn)C,.?.底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.

即PC±AB,且AC=BC.

直線PC是線段AB的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.

3.線段垂直平分線的作法

①折疊法：折疊找出線段AB的垂直平分線，

②度量法：用刻度尺量出線段的中點(diǎn)，用三角尺過(guò)中點(diǎn)畫(huà)垂線；

③尺規(guī)法：

(1)分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)E、F；

(2)過(guò)點(diǎn)E、F作直線，則直線EF就是線段AB的垂直平分線。

4.總結(jié)

內(nèi)容線段的垂直平分線上的點(diǎn)到

以H線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

性質(zhì)-

作用見(jiàn)垂直平分線，得線段相等

線段的垂直

平分的性質(zhì)

和判定

山4到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等

「內(nèi)谷

的點(diǎn)在線段的垂直平分線上

判定-

一作用判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂

直平分線上

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?階段練習(xí)）如圖是小明繪制的“箭在弦上”的簡(jiǎn)筆畫(huà)，已知箭桿垂直平分

AB,AC=5cm,則8c的長(zhǎng)是()

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期末）如圖，直線/與線段42交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸在直線/上，且尸/=尸2.則下

列說(shuō)法正確的是（）

A.AO-BO

B.直線/是48的垂直平分線

C.若/，M，則直線/是42的垂直平分線

D.若NA=NB,則直線/是/B的垂直平分線

畫(huà)經(jīng)典例題

口【典型例題一作已知線段的垂直平分線】

【例1】（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）如圖，在△NBC中，分別以點(diǎn)8和點(diǎn)C為圓心，大于38。長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)新，N,作直線交NC于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,連接HD,若/8=8,

BC=6,AC=9.則△NBD的周長(zhǎng)為（）

A.14B.15C.17D.23

【例2】（2025?浙江麗水?模擬預(yù)測(cè)）如圖，觀察尺規(guī)作圖的痕跡，若48=8,AC=6,則△4DC的周長(zhǎng)為

A.12B.13C.14D.15

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△跖G繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得到

△RPQ,則旋轉(zhuǎn)中心可能是.

【例4】（2025?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△/BC中，點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，連接CD.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法

在邊NC上求作一點(diǎn)E,使〃BCE=SABS.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

0變式訓(xùn)練

1.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知線段利用直尺和圓規(guī)作N2的垂直平分線，下列4個(gè)作圖中正確

圖①圖②圖③圖④

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2025?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtA42C中，按以下步驟作圖：①分別以A,8為圓心，大于;北

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于N兩點(diǎn)；②作直線1W交/C于點(diǎn)。，連接AD.若NADC=30。，則

1

tan/

'M

B

3.（2025?浙江麗水?模擬預(yù)測(cè)）是△4BC中NC邊上的中線.

（1）尺規(guī)作圖：作出8。的三等分點(diǎn)E、F.（要求：保留痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）當(dāng)點(diǎn)E靠近點(diǎn)B時(shí)，連接/￡、AF,若義小=6,則△ABC的面積為.

4.（2025?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△/8C.

BC

（1）尺規(guī)作圖：作邊8c的垂直平分線，交/C于點(diǎn)。，交8c于點(diǎn)￡；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法，標(biāo)明

字母）

（2）在（1）的條件下，連接2D.若△/BC的周長(zhǎng)為16,BE=3,求的周長(zhǎng).

國(guó)【典型例題二根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度】

【例1】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期中）如圖，AB=BC=4,DA=DC,若44c5=60。，則OC的長(zhǎng)度

B

L5

A.1B.V3C.2D.-

2

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江麗水?期中）如圖，在△/3C中，2C的垂直平分線交于點(diǎn)。，若

BD=2,AD=\,則/C的長(zhǎng)度x取值范圍為.

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）如圖，在△/8C中，ZC=90°,=30。,43的垂直平分線分別

交/8,/C于點(diǎn)。、E.連接BE,已知CE=2,求NE的長(zhǎng)度.

【例4】（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，△N8C中，AD平分NBAE,ADLBE,所垂直平分

AC,交NC于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)、E.

⑴若㈤E=48。，求的度數(shù)；

⑵若A/BC周長(zhǎng)26,AF=6,求DC的長(zhǎng)度.

0變式訓(xùn)練

1.（2025?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在A/BC中，是邊8c的垂直平分線，￡為胡的延長(zhǎng)線上一

點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E作昉」3c于點(diǎn)巴交NC于點(diǎn)若N3=10,AH=6,AE=4,則板的長(zhǎng)度為（）

2.（24-25八年級(jí)上?浙江舟山?期中）如圖在一個(gè)殘缺的圓的一段圓弧上任取兩點(diǎn)4B,連接48,再作出

的垂直平分線，交AB于點(diǎn)、D,交荔于點(diǎn)C,如果知道N3、CD的長(zhǎng)度，即可計(jì)算得出這個(gè)殘缺的圓的半

徑，已知/2=4gcm,CD=2cm,則圓的半徑為cm,陰影部分的面積為

3.（2025?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）（1）解方程：x（x-2）+x-2=0；

(2)如圖，在△NBC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,AB=1Q.

①尺規(guī)作圖：請(qǐng)借助無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)求作一條直線￡尸，使得直線所垂直平分線段交AB于點(diǎn)、

E,交直線/C于點(diǎn)八（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）

②在①的條件下，求所的長(zhǎng)度.

4.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?階段練習(xí)）如圖，P為等邊△ABC外一點(diǎn)，垂直平分于點(diǎn)“，ZBAP

的平分線交PC于點(diǎn)D

H

C

B

（1）①直接寫(xiě)出與PB的位置關(guān)系為.

②。尸與D2的數(shù)量關(guān)系為,并寫(xiě)出證明過(guò)程.

（2）求證：DA+DB=DC-,

（3）若等邊△A8C邊長(zhǎng)為幅，連接BN,當(dāng)△AttH■為等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CP的長(zhǎng)度.

國(guó)【典型例題三根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求周長(zhǎng)】

【例1】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期中）如圖，平行四邊形/BCD的對(duì)角線/C的垂直平分線交于點(diǎn)

E,連接CE.若平行四邊形的周長(zhǎng)為36cm,則ACDE的周長(zhǎng)為（）

A.12cmB.24cmC.15cmD.18cm

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）如圖，在矩形/5CD中，分別以點(diǎn)4C為圓心，大于:/C的長(zhǎng)

為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)N作直線MV,交BC于點(diǎn)、E,交/。于點(diǎn)尸，若BE=3,AF=5,則矩形

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江湖州?期末）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心，大于g/B的長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)〃，N,作直線交8C于點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)E,連接若△/OC的周長(zhǎng)

為12,AE=4,則△NBC的周長(zhǎng)為.

【例4】（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在口/BCD中:

（1）實(shí)踐與操作：尺規(guī)作的垂直平分線，垂足為￡,交于點(diǎn)尸，連接/尸；

（2）應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，若/。=4,AB=3,求四邊形的周長(zhǎng).

0變式訓(xùn)練

1.（2025?浙江舟山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△A8C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,按下列步驟尺規(guī)作圖：①

分別以48為圓心，大于g/8的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)加和N；②作直線交4B于點(diǎn)E,

交8C于點(diǎn)尸，則△EEB的周長(zhǎng)為（）

A.8B.10C.15D.20

2.（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，在口4BCD中，對(duì)角線NC,AD相交于點(diǎn)。，ACLBC,

AB=10,AC=6,過(guò)點(diǎn)。作交CD于點(diǎn)E,連接8E,則aBEC的周長(zhǎng)是.

3.（24-25八年級(jí)上?浙江衢州?期中）如圖，在A/3C中，跖垂直平分NC,交4c于點(diǎn)、F,交BC于點(diǎn)、E,

AD1BC,垂足為。，^.BD=DE,連接/E.

⑴求證：AB=EC-

(2)若DC+/尸=16,求A/BC的周長(zhǎng).

4.（24-25八年級(jí)上?浙江麗水?期中）如圖，在A/BC中，AB=AC,的垂直平分線MN交/C于點(diǎn)

D,交AB于點(diǎn)、E.

（1）求證:是等腰三角形；

（2）若N/=40。，求/D2。的度數(shù)；

（3）若NE=6,ACB。的周長(zhǎng)為20,求A/8C的周長(zhǎng).

以【典型例題四根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求角度】

【例1】（2025八年級(jí)上?浙江溫州?專題練習(xí)）如圖，在△/BC中，ZC=31°,N/8C的平分線BO交NC

于點(diǎn)。，如果。E垂直平分BC,那么//的度數(shù)為（）

A

D

BEC

A.87°B.62°C.90°D.93°

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，A8的垂直平分線交2C于。，NC的垂

直平分線交8C于E,/B4c=124°,則/ZX4E的度數(shù)為（）

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?期末）如圖，AB=AC,ZA=50°,48的垂直平分線MN交NC于點(diǎn)

D,則ND8C的度數(shù)為.

【例4】（24-25八年級(jí)上?浙江麗水?期中）△48C中，直線加垂直平分48,直線〃垂直平分/C.

①若N8/C=100。，貝l|NCUE=；

②若NA4C=a,求ND4E的度數(shù)；（用含。的式子表示）

（2）如圖2,若直線加，〃與8C交于同一點(diǎn)尸，求NA4C的度數(shù)；.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?階段練習(xí)）如圖，在△48C中，AB=AC,ZA=40°.分別以點(diǎn)43為圓

心，以大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)M,N,直線交/C于點(diǎn)。.連接20,則ND8C的度

2

數(shù)是（）

2.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）如圖，△4BC中，z5=90°,乙4=30。.NC的垂直平分線分別交

AC,48于點(diǎn)O,將△/OC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△/'OC,旋轉(zhuǎn)角為a（O°<a<360。）.連接

C'M-當(dāng)△4MC'是直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為.

3.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）如圖，在正方形48。中，點(diǎn)￡、廠分別在CD上，AFLDE,

連接瓦L

（1）當(dāng)。尸=￡b時(shí)，求//FD的度數(shù)；

（2）當(dāng)。尸=CF時(shí)，求證：ZAFD=ZEFC.

4.（24-25八年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）教材呈現(xiàn)：如圖是2024蘇科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第59頁(yè)的部分內(nèi)

容、我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸.

如圖①，直線/是線段的垂直平分線，尸是直線/上任一點(diǎn)，連接尸/、PB.將線段沿直線/對(duì)折,

我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，即P/=尸8.

尺規(guī)作圖：在圖②中，作△Z8C邊8C的垂直平分線加，“，交點(diǎn)為。（不寫(xiě)過(guò)程，保留作圖痕跡）;

（1）若/8=90。，則直線機(jī)，〃夾角的度數(shù)為:

（2）若/B=a90。），求直線加，〃所夾銳角的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

J【典型例題五利用垂直平分線的性質(zhì)求最值】

【例1】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?階段練習(xí)）如圖，44。2=60。，點(diǎn)尸是內(nèi)的定點(diǎn)且。尸=2道,

若點(diǎn)A/、N分別是射線。4、。8上異于點(diǎn)。的動(dòng)點(diǎn)，則APAW周長(zhǎng)的最小值是（）

D

A.6B.3C.—D.—

22

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期末）如圖，等腰的底邊8c長(zhǎng)為6,面積是24,腰NC的垂直平

分線E尸分別交NC,4B邊于E,R點(diǎn).若點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段跖上一動(dòng)點(diǎn)，則ACDG周長(zhǎng)的

最小值為.

A

【例3】(24-25八年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí))如圖，在△/BC中，AB=AC,的垂直平分線交于點(diǎn)

N,交ZC于點(diǎn)連接MB.若AB=7cm,的周長(zhǎng)是12cm.

(1)求8c的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)P是直線上的一點(diǎn)，直接寫(xiě)出尸8+PC的最小值為cm.

【例4】(24-25八年級(jí)上?浙江溫州?期中)如圖，在中，ZC=90°,邊48的垂直平分線交BC于

點(diǎn)。，垂足為￡,4D平方/BAC.

(1)求—2的度數(shù)；

(2)求證：3CD=BC；

(3)若NC=2,點(diǎn)尸是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，求|依-尸C|的最大值.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期末）如圖，Rt“3C中，ZACB=90°,NB=30。，NC=2,D為2C上一

動(dòng)點(diǎn)，跖垂直平分4。分別交NC于￡、交4B于尸，則8尸的最大值為（）

A

2.（24-25八年級(jí)上?浙江麗水?期末）如圖，在△NBC中，AB=AC,/C的垂直平分線交NC于點(diǎn)尸，交4B

于點(diǎn)E,連接EC,/8=10,△8EC的周長(zhǎng)為18.若點(diǎn)尸在直線M上，連接尸/、P8,則8C=,\PA-PB\

的最大值為.

3.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期末）如圖，在中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,。為48的中

點(diǎn).

（1）若尸為8C上的一點(diǎn)，連接NP,DP,使得4P+DP有最小值.請(qǐng)作出點(diǎn)尸（不要求寫(xiě)作法）;

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)求出"+DP的最小值.

4.（24-25八年級(jí)上?浙江麗水?期末）在"BC中，ZS=9O°,AB=1,。為8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為線段/C,CD

的垂直平分線的交點(diǎn)，連接EA,EC,ED.

圖3

(2)當(dāng)NB/C=60。時(shí),

①如圖2,連接/D,按邊分，△/￡￡）是.三角形.

②如圖3,直線CF與交于點(diǎn)R滿足=為直線CF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)尸在什么位

置時(shí)，尸￡-尸。的值最大？并求出這個(gè)最大值.

凰【典型例題六垂直平分線的判定與性質(zhì)綜合問(wèn)題】

【例1】（2025?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△NBC中，AB=AC,點(diǎn)。是a/BC內(nèi)一點(diǎn)，連接。8,OC,

連接工。并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)。，若OB=OC,BC=8,則CD的長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.2D.6

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?期中）風(fēng)箏又稱“紙鶯”“風(fēng)鶯”等，起源于中國(guó)東周春秋時(shí)期，距今已有

2000多年的歷史.如圖是一款風(fēng)箏骨架的簡(jiǎn)化圖，已知4B=4D,8C=CD,ZC=90cm,AD=60cm,制作這

個(gè)風(fēng)箏需要的布料至少為（）cm?

A

A.1800B.5400C.2700D.1200

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?階段練習(xí)）如圖，△NBC是等腰三角形，AB=AC=2,分別以點(diǎn)B、C

為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P,作射線NP,若NA4尸=50。，則扇形A4C的面積

【例4】（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）如圖，在△NBC中，A8的垂直平分線4交NB于點(diǎn)交8c于

點(diǎn)D,/C的垂直平分線4交NC于點(diǎn)N,交3C于點(diǎn)E,4與4相交于點(diǎn)O,△/￡>￡的周長(zhǎng)為10.

（1）求8c的長(zhǎng)；

（2）試判斷點(diǎn)。是否在邊8C的垂直平分線上，并說(shuō)明理由.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期末）如圖，電信部門要在某區(qū)三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的中心圍成的△/BC區(qū)域內(nèi)

修建一個(gè)電視信號(hào)發(fā)射塔。，使得該發(fā)射塔。到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心4民。三地的距離相等，以下選址正確的是

AA

2.（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，在等邊A/BC中，邊上的中線40=6,尸是邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，E是邊NC的中點(diǎn)，在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在E尸+CF的最小值，這個(gè)最小值是.

3.（24-25八年級(jí)上?浙江麗水?期中）如圖，在△48C中，AD1BC,即垂直平分/C,交NC于點(diǎn)尸，交

BC于點(diǎn),E,且BD=DE,連接/E.

⑵若△NBC的周長(zhǎng)為32cm,AC=12cm,求DC的長(zhǎng).

4.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?階段練習(xí)）如圖，已知：AB=AC,點(diǎn)￡在的延長(zhǎng)線上.

⑴求證：/E垂直平分8C;

⑵求證：ABDE四△CDE

國(guó)【典型例題七垂直平分線常見(jiàn)輔助線添加】

【例1】（2025八年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，E、尸分別在48、NC上，DELDF,D

是中點(diǎn)，試比較8E+C尸與所的大?。骸?（提示：可添加輔助線）

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江?期末）已知：如圖，點(diǎn)P在線段N8外，且P4=PB,求證：點(diǎn)P在線段42

的垂直平分線上，在證明該結(jié)論時(shí)，需添加輔助線，則下列作法正確的是.

①作NAPB的平分線PC交AB于點(diǎn)、C

②過(guò)點(diǎn)尸作尸CLN3于點(diǎn)C且/C=8C

③取48中點(diǎn)C,連接PC

④過(guò)點(diǎn)尸作PCLA8,垂足為C

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江湖州?期末）如圖是課上老師呈現(xiàn)的一個(gè)問(wèn)題:

思路一：過(guò)點(diǎn)初作EF||CD(如圖甲)；

思路二：過(guò)點(diǎn)G作GE〃及W,交CD于點(diǎn)、E；

思路三：過(guò)點(diǎn)。作。尸〃交AB于點(diǎn)、F.

解答下列問(wèn)題：

(1)根據(jù)思路一(圖甲)，可求得/尸如V的度數(shù)為；

(2)根據(jù)思路二、三分別在圖乙和圖丙中作出符合要求的輔助線；

(3)請(qǐng)你從思路二、思路三中任選其中一種，寫(xiě)出求NP九W度數(shù)的解答過(guò)程.

0變式訓(xùn)練

1.(24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期中)如圖，等腰直角三角形NBC,E是射線上一點(diǎn)，點(diǎn)8作5Ml/T

于Af,在射線MB上取點(diǎn)尸，使NECF=45。.

圖1備用圖

(1)在圖1中按要求補(bǔ)全圖形.

(2)猜想圖1中ZE,BF,斯之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)BF,￡尸之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，直接寫(xiě)出變化后

AE,BF,斯之間的數(shù)量關(guān)系.

2.(24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?階段練習(xí))如圖，在ZUBC中，40平分/C/5,過(guò)點(diǎn)。作DW工48于

DV工NC的延長(zhǎng)線于N,且BM=CN.

(1)求證：點(diǎn)。在BC的垂直平分線上;

(2)若/3=8,AC=4,求BN的長(zhǎng).

3.(24-25八年級(jí)上?浙江麗水?期末)【教材呈現(xiàn)】如圖1,連接△/3C的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)

所得線段/。叫做A/BC的邊2C上的中線.學(xué)了這個(gè)知識(shí)后，小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在A4BC

中，48=8,/C=6,D是8c的中點(diǎn)，求8c邊上的中線的取值范圍.

A

圖1圖2

【嘗試感悟】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2,延長(zhǎng)/。到E,使DE=4D,請(qǐng)

完成證明“△/OC咨△燈"”的推理過(guò)程.

(1)求證：XADC2EDB.

(2)求的取值范圍.

【問(wèn)題解決】

(3)如圖3,在ZUBC中，Z5=9O°,AB=2,是△48C的中線，CE1BC,CE=4,且/4DE=90。,

求/￡的長(zhǎng).

圖3

4.(24-25八年級(jí)上?浙江寧波?期末)【閱讀理解】

中線是三角形中的重要線段之一.在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，

可以考慮做輔助線，即把中線延長(zhǎng)一倍，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所要求的結(jié)論集中到

同一個(gè)三角形中，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，這種作輔助線的方法稱為“倍長(zhǎng)中線法”

A

ED

G

8x\cK/J￡lT

、、％BDC

圖1圖2圖3

【初步感知】

（1）如圖1,在△48C中，48=6,AC=10,。是BC的中點(diǎn)，求8c邊上的中線ND的取值范圍.小明

在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)/。到點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE.可以判定

l\ADC^EDB,從而得到ZC=EB=10.這樣就能把線段/8、AC,2AD集中在AN班中，利用三角

形三邊的關(guān)系，即可求出中線4D的取值范圍是（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）

【實(shí)踐應(yīng)用】

（2）為了測(cè)量學(xué)校旗桿N5和教學(xué)樓CE頂端之間的距離，學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如圖2所示的測(cè)量方案，他們首

先取地面BC的中點(diǎn)。，用測(cè)角儀測(cè)得此時(shí)ZADE=90°,測(cè)得旗桿高度AB=10.8m,教學(xué)樓高度CE=20.2m,

求/E的長(zhǎng).

【拓展探究】

（3）如圖3,△NAD和4ACE均為等腰直角三角形，連接?！?BC,點(diǎn)、尸是8C的中點(diǎn)，連接工4

并延長(zhǎng)，與DE相交于點(diǎn)G.試探究：DE和/尸的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并說(shuō)明理由.

磐過(guò)關(guān)檢測(cè)

1.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在a/BC中，AB>AC,一定不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的是（）

A.BC邊的中線B.3C邊的垂線

C.8C邊的平行線D.8C邊的垂直平分線

2.（2025?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在A/BC中，DE是/C的垂直平分線，交BC于點(diǎn)交/C于點(diǎn)

E,AB=4cm,AC=5cm,BC=6cm,則△48。周長(zhǎng)為（）

A

C.11cmD.12cm

3.（2025?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形45CD中，/5〃CD,E為的中點(diǎn)，S.AE1DE,延長(zhǎng)QE

交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若48=9,CD=4,則的長(zhǎng)為（）

A.11B.12C.13D.14

4.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期末）如圖，在△NBC中，分別以點(diǎn)48為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作

弧，兩弧相交于點(diǎn)跖N,作直線交3C于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)。，連接若UBC的周長(zhǎng)比

的周長(zhǎng)大14.則的長(zhǎng)為（）

C.7D.8

5.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?階段練習(xí)）如圖，已知△NBC中，ZACB=9Q°,是NB/C的平分線，CE

是48邊上的高，4D與C￡交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作。G〃CE交于點(diǎn)G,連結(jié)CG交4D于點(diǎn)則下列結(jié)

論中，不一定成立的是（）

A

A.DC=DGB.GD=GBC.CF=GDD.FH=DH

6.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）如圖，若直線/滿足_____且______,則直線/叫作線段的垂

直平分線.

AOB

7.（2025八年級(jí)上?浙江溫州?專題練習(xí)）如圖，在AABC中，是/C的垂直平分線，AE=9cm,如果八4BD

的周長(zhǎng)為39cm,則zUBC的周長(zhǎng)是—cm.

A

BDC

8.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）如圖，在△4BC中，直線/垂直平分邊8C,分別交/C,BC于點(diǎn)E,

D,連接3E.若NC=13,AE=1,則3E的長(zhǎng)為.

9.（24