云南省曲靖市第一中學2024-2025學年高一下學期階段性測試

(四)數(shù)學試題B

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

15.

A.l-2iB.----iC.l+2iD.-----F—1

2222

2.sin400°cos20°-cos40°cosll00=（〕)

B,昱j_

A._Bc.D.

22-22

3.已知向量加=(2,。)，〃=若m〃n,貝！|。=()

A.—2B.2C.-D.—

22

4.a,￡是兩個不同的平面，加u分，貝■刀”是“加_1?！钡?)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.如圖，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，點。滿足8D=28C(O<2<1),￡為AC的

中點，若DA-DE=6,則x等于()

.-2?1.3c121.3

A.萬或以B,萬或7C.三或丁D,￡或了

乙3J3J4

6.已知隨機事件A和區(qū)互斥，A和C對立，且尸(C)=0.6,0(5)=。.3,則尸(AB)=()

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.7

7.已矢口sin[a+￡—cosa=-^-,貝！J

3

8.已知非等腰三角形ABC的內(nèi)角分別為A氏C,若sin4A=sin45,則下列結論一定不正

確的是()

sinC=^

A.B.sinA=cosB

2

C.cosC=^-

D.sin2A=sin25

2

二、多選題

9.如圖是某企業(yè)2018年至2024年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖，則()

A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于平均數(shù)

B.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是55

C.污水凈化量逐年遞增

D.去掉2018年的污水凈化量數(shù)據(jù)后，新數(shù)據(jù)的標準差會變小

10.將函數(shù)/(x)=sin2無+有cos2x的圖象向左平移彳個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,

若人a)=7'(x)g(x)，eO)=4?，則()

g(x)

A.〃(x)與。(x)的最小正周期相同

B.h(x)與夕(x)的對稱中心完全相同

C.與g(x)在［-？,與上的值域相同

44

D.f(x)與g(x)的圖象在［0,河上恰有四個交點時，機的取值范圍為［誓477r，當SOir)

11.如圖，正方體ABC。-A與G2的棱長為2,點尸在線段與C上運動，貝U()

試卷第2頁，共4頁

A.三棱錐尸-ABD的體積為定值

B.AD,與平面PAtD所成角的正弦值隨著點尸從耳移動到C越來越大

C.GP+AP的最小值為"+應

D.當點尸為4c的中點時，過點尸作正方體外接球的截面，所得截面面積的最小值為2兀

三、填空題

12.已知單位向量匕滿足(。+6>(°一26)=-：，貝1］卜+6卜.

13.已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1,則側棱與底面所成的角為.

14.函數(shù)y=>/3sin2尤+2$111工+45/5<：0$尤的最大值為.

四、解答題

15.已知平面向量訝，b滿足：|。|=4,卜卜3，(2a-3萬)?2a+6)=61.

(1)求。與。的夾角。；

⑵求向量。在向量3a+26上的投影向量的模.

16.已知函數(shù)/(無)=2cosx(瓜iiix+co&x)-l.

⑴求“X)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

⑵若〃a)=g,a,求cos2a的值.

17.記VABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知/+/=。.

⑴求C；

(2)若c=7,asin8=TsinC,求VABC的周長.

18.設函數(shù)〃x)=Msin?尤+0),其中m＞o,。＞0,|0|＜為，其圖象的兩條對稱軸間的最

短距離是不若對尤eR恒成立，且《行=-2.

⑴求“X)的解析式；

(2)在銳角VABC中，A,B,C是VABC的三個內(nèi)角，滿足/11]=sin(A-止gcos(A-B),

求證：A=23,并求吧￡的取值范圍.

sin6

19.設尸為多面體M的一個頂點，QM.，2口23)是多面體“上所有與點尸相鄰的頂點，

定義多面體M在點尸處的離散曲率為

\-^{AQXPQ2+ZQ2PQ3+Q3PQ4++ZQk_lPQk+ZQkPQ^,其中所有角均采用弧度制表

示.如圖，在直四棱柱ABCD-A與G2中，底面ABC。為菱形，AB=sl3,A\=\.

⑴求四棱柱4BCD-A耳G2在點A和點8處的離散曲率之和；

⑵若Be】與平面ACG所成角的正弦值為走，求四棱柱ABCD-A^QD,在點C處的離散曲

4

率；

(3)若四面體4-A3。在點4處的離散曲率為3,求二面角a-2。-A的余弦值.

試卷第4頁，共4頁

《云南省曲靖市第一中學2024-2025學年高一下學期階段性測試(四)數(shù)學試題B》參考答

案

題號12345678910

答案ABABBDBDABDABD

題號11

答案ACD

1.A

【分析】根據(jù)復數(shù)的四則法則計算即可.

l-7i_(l-7i)(3+i)3+i-21i-7i2

【詳解】

3-i-(3-i)(3+i)-3^?-10

故選：A.

2.B

【分析】由誘導公式及正弦和角公式逆用可求值.

［詳解］sin400°cos20°-cos40°cosl10°=sin(360°+40°)cos20°-cos40°cos(90°+20°)

=sin40°cos20°-cos40°(-sin20°)=sin40°cos200+cos40°sin20°

=sin(40°+20°)=sin60°=g.

故選：B.

3.A

【分析】利用向量平行的結論求參數(shù)的值.

【詳解】因為相〃“，所以axl=2x(-l).即〃=—2.

故選：A

4.B

【分析】利用線面垂直及充分性，必要性知識即可求解.

【詳解】充分性：由夕，分，設ac/3=b,當機與6不垂直時，即不能得到"」。，故充分

性不成立；

必要性：當〃又mu(3,則可得故必要性成立；

綜上所述：貝甘匕，刀''是"加，打”的必要不充分條件，故B正確.

故選：B.

5.B

【分析】先根據(jù)平面向量的線性運算表示出ZM，DE-,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算得出

答案第1頁，共11頁

r>A-￡>E=162*12-20/L+12;最后結合D4.￡)E=6，0<2<1,列出等式求解即可.

【詳解】因為=O<Z<1

所以04=84-8。=BA-XBC，DC=BC-BD=BC-ABC=(1-A)BC.

又因為E為AC的中點，

所以DE=D4+AE=D4+1AC=D4+Ur>C-DA)=1(DC+r>A)=BA+(1-2A)BC

22、

又因為△48c是邊長為4的等邊三角形，

所以庭20=網(wǎng)岡8$三=4乂4乂：=8,=網(wǎng)2=4x4=16,BC=\BC^=4X4=16.

BA+(1-22)BC

貝山.￡)￡1=

，2,,2

BA+(1-32)BA-BC-A(1-22)BC-

16+8(1-32)-162(1-22)

=16%—202+12.

又因為ZMQE=6，O<A<1,

13

所以16/1/-202+12=6,解得：2=—或2=：.

24

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)對立事件與互斥事件的概率公式及概率的性質求解即可.

【詳解】由A和C對立，可得P(A)+尸(C)=l,貝lJP(A)=0.4,

又由隨機事件A和8互斥可知尸(AS)=0,

所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0=0.7.

故選：D.

7.B

【分析】首先根據(jù)兩角和的正弦公式展開，再利用輔助角公式，求得cos(a+m),進而求得

cos(2a+g),根據(jù)cos12a-；j=cos12a+g-7ij=-cos(2tz+g],得出答案.

【詳解】由sin[a+&]-cosa=g,得走sina」cosa=且，所cos(a+工]=-婦，

52

答案第2頁，共11頁

由二倍角公式得cos（2a+^m=2cos2（夕+1）—1=2（--^-）2—1=—1,

p（c兀）（271]（2兀）

又cos12a~-I=cosl2cr+--7tI=-cosI2tz+-I,

所以cos12tz=

9.昱r

COS3二5一6

所以一:

TtV33,

cos3j5

故選：B

8.D

【分析】根據(jù)給定條件，結合誘導公式求出A8關系的所有可能結果，再逐項分析判斷.

0<A<71

【詳解】在非等腰VA5C中，Aw瓦,由sin4A=sin43,

0<A+B<7i

TTTT

得44+48=?；?A+43=3兀或4A=4B+2TI（0<B<-）或43=4A+2兀（0<4<一）,

44

即A+B=女或A+B=至或A=3+工（0<3（工）或8=A+工（0<A<二），

4424-24

當A+8=—時，C=—,貝！JsinC=,cosC=>即AC可能正確；

4422

TTJJJi

當A=BH—（0<3<一）時，sinA=sin（BH—）=cosB,B可能正確；

242一

TT

對于D,要sin2A=sin25,而AwB,貝U必有2A+23=兀，即8+8=5,不成立，D錯誤.

故選：D

9.ABD

【分析】將污水凈化量從小到大排列為52,52,53,54,55,56,56,根據(jù)中位數(shù)，平均

數(shù)，百分位數(shù)，方差，標準差公式，逐項判斷即可.

【詳解】由折線圖可知某企業(yè)2018年至2024年的污水凈化量從小到大排列為52,52,53,

54,55,56,56,

則其中位數(shù)為54,平均數(shù)為（（52+52+53+54+55+56+56）=54,所以A正確；

易知7x06=4.2,所以第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個數(shù)，即為55,所以B正確；

有折線圖知f=4到r=5污水凈化量減少，所以C錯誤；

原數(shù)據(jù)方差為

答案第3頁，共11頁

掉2018年的污水凈化量數(shù)據(jù)后，新數(shù)據(jù)52,53,54,55,56,56,平均數(shù)

)(52+53+54+55+56+56)=?

方差為

12018

一<一

697

所以去掉2018年的污水凈化量數(shù)據(jù)后，新數(shù)據(jù)的方差會變小，即標準差變小，所以D正確.

故選：ABD

10.ABD

【分析】利用輔助角公式化簡/(%),進而求出g(x)M(x)，9(x),再結合三角函數(shù)圖象性質逐

項求解判斷.

【詳解】函數(shù)f(x)=2sin(2x+》g(%)=/(%+：)=2cos(2%+—),

27rjr

則h(x)=2sin(4x+—),夕(％)=tan(2x+—),

對于A,〃(x)的最小正周期為彳=],0(x)的最小正周期為T，A正確；

對于B,由4x+0=E,%eZ,得力(x)圖象對稱中心卜m+",o](%eZ),

由2x+g="收eZ,得9(x)圖象對稱中心(一=+",0)伏eZ),B正確；

3264

TTJI1111'1L1

對于C,當一■時，2%+彳￡[-二二]，/(%)￡[-1,2],g(x)￡[-指,2],C錯誤;

44366

it1111

對于D,由/(%)=g(x),得tan(2x+耳)=1,解得2%+§=^+左兀,2￡Z,

即X=-或+g,左eZ,方程/?(》)=g(X)在［0,m］上恰有四個根,

兀4兀，Ji5K□口477C59兀

則_---1---<m<-----1---BP-----<m<——,D正確.

2422422424

故選：ABD

11.ACD

【分析】證得4C//平面A3。并結合錐體體積判斷A；證得平面尸判斷B；利用

兩點間線段最短判斷C；求出最小截面圓半徑判斷D.

答案第4頁，共11頁

【詳解】對于A,在正方體A3CD-44G2中，48。的面積為定值，而4C//AD,

40匚平面42。，瓦co平面A12Q,則4C//平面Af。，即點尸到平面A|B￡＞的距離為定

值，

因此三棱錐尸-A3。的體積為定值，A正確;

對于B,由CD,平面ADRA，A，u平面4D2A，得而

7T

AQ［。。=242。（=平面尸4。，則平面尸AQ,即AR與平面PAQ所成角為,

B錯誤；

對于C,將正△△4c與等腰Rt4C。置于同一平面，連接AC/BtC=E,

顯然4G垂直平分8|C,AP+ClP<ACl=AE+ECx=2-Ji~+^2=yl6+^i,C正確;

對于D,正方體的外接球的半徑R=6,當點尸為8c中點時，以點尸為截面圓心的截面面

積最小，

又正方體的中心（即外接球球心）到點尸的距離為1,因此截面圓半徑最小為6萬=血,

所以截面面積的最小值為2兀，D正確.

故選：ACD

12.亞

3

【分析】由已知可求得。力=；,進而利用卜+0=+2°力+1可求模.

答案第5頁，共11頁

【詳解】因為(a+b)?(4—2b)=—g,所以J—2a?Z?+Q?b-2Z?2=—：，

41

所以1—"心―2二—耳，所以〃/=§,

所以卜+4=yla2+2a-b+b—Jl+2xi+1=~~~?

故答案為：巫.

3

13.45°

【分析】先做出要求的線面角，把它放到一個直角三角形中，利用直角三角形中的邊角關系

求出此角.

【詳解】設側棱與底面所成的角為6.因為是正四棱錐，所以頂點到底面的高的垂足一定是

底面正方形的中心，所以在由側棱、高和底面對角線的一半所構成的直角三角形中，

亞r

C縣故嶺5。?

12

【點睛】本題考查棱錐的結構特征，以及求直線和平面成的角的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)

學思想.

【分析】由三角恒等變化結合基本不等式計算即可.

y=6sin2x+2sinx+4^/3cosx

=2^3sinxcosx+20cosx+2sinx+2近cosx

=2A/3COS%（1+sinx）+21inx+6cosx）

JA/Scosx+l+sinx^4.（兀）

+4sm+

【詳解】42J^3J

=2sin[x+2]+g+4sin^x+

=2sin2（x+*|J+6sin[x+lj+g

因為-"sin卜,

所以當sin5J=1時，2sin2[x+三）+6sin[x+今]+g17

.取得最大值萬,

此時x=2kit+3keZ）滿足百cosx=l+sin;c.

17

故答案為：—.

答案第6頁，共11頁

兀

5⑴92

⑵26

【分析】（1）先應用數(shù)量積運算律化簡求解得出。年=-6,余弦公式計算求解；

（2）應用數(shù)量積運算律結合模長公式計算，再應用投影向量模長公式計算求解.

【詳解】（1）（2a-36）?2a+6）=61，/.4。2—4。,b—3b2=61，

..I.1a-b1

又14=4,W=3,“6=_6,："。n=麗=-

又6>G[O,7t],?'.^=y-

(2)\3a+2b\=9a2+l2a-b+4b2=108,|3a+2/?|=673.

向量a在向量3a+26上的投影向量的模為

a-(3a+2b]3a°+2a-b36r-

\a\-------j--------------j-=—i--------------j—=—T==273

同2Hp〃+246,3

jrjrjr27c

16.(1)兀；增區(qū)間為[---卜kjt,—卜kit],k￡Z,減區(qū)間為[—Fku,-----卜kii\,ksZ

3663

7Q\4-3上

()10

【分析】(1)根據(jù)題意，化簡得到〃x)=2sin(2x+J),結合正弦型函數(shù)的性質，即可求解;

O

Q7T47T3

(2)由〃a)=~得到sin(2a+B)=z，根據(jù)基本關系式，求得cos(2a+&=—,結合

56565

TT7T

cos2a=cos[(2a+—)——],即可求解.

66

【詳解】(1)解：由函數(shù)f(x)=2cosx(百sinx+cosx)—1=2百sinxcosx+2cos2%—1

=上sin2x+cos2x=2sin(2x+—),

6

可得函數(shù)/(x)的最小正周期為7=3=無,

JTTTTTTTTT

令---F2ht<2xH——<——卜2krt,kGZ,可得---\-kn<x<——l-kn.keZ,

26236

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-g+標?+E]#eZ；

36

jrjr37rjr27r

令]+21CJI<2x+—<^-+2kji,keZ,—+fai<x<—+ATI,A:GZ,

所以函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為《+E,g+E]#eZ.

答案第7頁，共11頁

(2)解：由.可得/(a)=2sin(2i+5)=不，即sin(2a+^)=1,

工生(7171)-“日。，兀[2717TI]C兀、3

因為?！辏?彳，可得2。+工￡1-'-^,可得cos(2i+：)=一二,

<42J6136/65

所以cos2a=cos[(2a+-^-)--^]=cos(2a+/+；sin(2a+看)

=3x(一3+L3=T

252510

2兀

17.⑴F

(2)15

【分析】（1）由條件根據(jù)余弦定理求cosC,再結合C的范圍求結論;

（2）由條件，結合正弦定理可求必，由關系/+"一°2=0求。+》，由此可得結論.

【詳解】(1)S^Ia2+b2+ab-c2=0，

/+—c2—ab1

所以由余弦定理得cosC=

lab2ab2

因為c?o,兀），所以C=$.

(2)因為〃sin5="sinC,c=7,

7

由正弦定理可得"="。=15.

7

由(1)可*矢口0?=4+/+ab—(Q+b)2—ab,

所以72=(a+b)2—15,解得a+A=8,

所以VABC的周長為Q+Z?+C=15.

18.⑴/（x）=2sin（2x-9）

⑵證明見解析，嗎41,2）

sinB

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)對稱軸距離可得最小正周期，進而可得。，再根據(jù)不等式恒成立可確

定函數(shù)最小值點，進而可得。，代入/，鼻|=-2可得小

（2）根據(jù)三角恒等變換化簡可得證，再由sinC=sin（A+3）,可得嗎=4cos?2-1,結

sinB

合8的取值范圍可得解.

【詳解】（1）由已知函數(shù)圖象的兩條對稱軸間的最短距離是

則如■即T型=花

答案第8頁，共11頁

又外>0,所以G=2,

又對xeR恒成立，且，植］=-2,

（71?71

則2x1J+0=-5+2^1,keZ,且機=2,

兀

解得夕=—§+2左兀，ksZ,

又ld<T，所以夕=一￡,

乙J

綜上所述“月=2$出（2了-鼻；

（2）由⑴得（曰=25"8-3，

Xsin（A-B）-A/3cos（A-B）=2sin^A-B-^,

即2sin（8-三］=2sin^A-B-,即sin（8-：1=sin^A-B--1-^

又VABC為銳角三角形，

-_（八兀）_,._兀|7L7T?c兀?5兀兀）

所以A,0,-）則B—3e1A4-B--e~,

所以人一—嶗，

即4=23,

又在VABC中,

sinC=sin（A+3）=sin（23+3）=sin23cosB+cos23sin3=4sin3cos2B-sinB,

sinC.2n1

所以一^；=4cosB-l,

sinn

0<B<-

2

717tIt

又0<A=2B<-，即Be,cosBe

6542'2'

27

71

O<C=71—A——

2

則吧C=4cos2g-le（l,2）.

sin5

19.（1）1

⑵！

3

⑶當

3

答案第9頁，共11頁

【分析】(1)根據(jù)條件知ABC。為菱形，AA，B用與底面ABCD垂直，再根據(jù)在頂點處的離

散曲率的定義計算即可；

(2)可證得3D1平面ACG,設AC3￡>=。，則NBCQ即為BG與平面ACQ所成的角.求

出NBCD,再根據(jù)在頂點處的離散曲率的定義計算即可；

(3)連接。A，由Q4_L3￡),O\±BD,可知二面角A-B。-A的平面角為ZA18A.根據(jù)

四面體4-A3。在點A處的離散曲率為:，求得/網(wǎng)?！?，進而可求出二面角4-8。-A

的余弦值.

【詳解】(1)因為四邊形ABCZ)是菱形，所以/ZMB+/ABC=7T,