第01講直線的方程

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算.....................................................2

題型二：三點(diǎn)共線問(wèn)題...........................................................2

題型三：過(guò)定點(diǎn)的直線與線段相交問(wèn)題.............................................2

題型四：直線的方程.............................................................3

題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題...........................................3

題型六：兩直線的夾角問(wèn)題.......................................................4

題型七：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.........................................................4

題型八：中點(diǎn)公式...............................................................4

題型九：軌跡方程...............................................................5

02重難創(chuàng)新練..................................................................5

03真題實(shí)戰(zhàn)練..................................................................8

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題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算

1.（2024?高三?山東濟(jì)寧?期末）直線后-y+3=O的傾斜角是.

2.（2024?高三?浙江杭州?期末）直線y=6的傾斜角是.

3.經(jīng)過(guò)4-1,3）,8（百,-石）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

4.（2024?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，若直線4,射。的斜率分別為匕，后2，%，貝I（）

B.k3<kx<k2

D.左3Vk2VAi

題型二：三點(diǎn)共線問(wèn)題

5.若三點(diǎn)A（2,3）,5（3,—2）,嗎,共線,則力=.

6.若點(diǎn)A（-1,2）,8（-3,6）,0（3,10）在同一條直線上，則實(shí)數(shù)/,等于

7.已知A（S—2）,8（2,5）,。（3,7）三點(diǎn)在同一條直線上，貝=

題型三：過(guò)定點(diǎn)的直線與線段相交問(wèn)題

8.己知點(diǎn)A（2,3）,8（-5,2）,若過(guò)點(diǎn)C（T5）的直線/與線段AB相交，則直線/的斜率的取值范圍是

9.已知實(shí)數(shù)X,〉滿足x-3y+5=O（lVxV4）,則空的取值范圍為.

10.已知點(diǎn)A（2,1）,8（-2,2）,若直線/過(guò)點(diǎn)尸［-，-且與線段Afi沒(méi)有交點(diǎn)，則直線/的斜率上的取值范圍

為.

11.若直線/:（“T）x+y+〃=O與連接A（l,2）,3（-3,1）的線段相交，貝門(mén)的取值范圍是.

12.已知兩點(diǎn)4（—3,4）,8（3,2）和直線/：g-^-加=0,則直線/恒過(guò)定點(diǎn);若直線/與線段AB有

公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，”的取值范圍是.

題型四：直線的方程

13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（2,0）,3（-3,4）兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則NA08的平分線所在直線的方程

為.

14.過(guò)點(diǎn)~1,1）引直線，使人（2,3）,5（4,—5）到它的距離相等，則該直線的方程是（）

A.4x+y-5=0B.x+4y-5=0

C.%+y-2=0或4%+y-5=0D.x+y-2=0或1+4〉一5=0

15.已知過(guò)定點(diǎn)直線履->4-左=。在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（）

A.x-ly-l=0B.x-2^+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

16.（2024?四川綿陽(yáng)?二模）過(guò)點(diǎn)尸（L2）,且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程為（）

A.2x-y=0B.x+2y-5=0C.x-2y+3=0D.2x+y-4=0

題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題

17.已知直線/過(guò)點(diǎn)〃（-3,4）,且分別與無(wú)軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A,2兩點(diǎn),。為原點(diǎn)，則VA08

面積最小值為.

18.若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2,2）,并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,則此直線的方程為.

19.已知直線/過(guò)點(diǎn)M（2,l）,且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),。為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB

面積最小時(shí)，直線/的方程為.

20.已知直線/的方程為：（2+加卜+（1-2加）y+（4-3加）=0.

（1）求證：不論，”為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)初；

（2）過(guò)點(diǎn)收引直線4,使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求4的方程.

21.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))直線/過(guò)點(diǎn)M(l,2),且分別與次,y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，。為原點(diǎn).

(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線I的方程；

(2)求|Q4|+2|C叫的最小值及此時(shí)直線I的方程.

題型六：兩直線的夾角問(wèn)題

22.若直線/過(guò)點(diǎn)(4,5)且與直線3%---7=0,12*-5丫+6=。的夾角相等，則直線/的方程是.

23.直線/過(guò)點(diǎn)(1,。)，且與直線小后+y-百=0的夾角為多，則直線/的方程為_(kāi)__.

6

24.直線y=^2x+l與直線y=(3-2后x+2所成夾角大小為.

題型七：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

25.若無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線/：x+(〃z+l)y+l=。都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.

26.過(guò)定點(diǎn)A的直線m-y+l=0與過(guò)定點(diǎn)B的直線x+沖-3=0交于/>,貝|怛&『+|必『=

27.已知直線/：(3〃z+l)x+(2+2a)y—8=。(機(jī)為任意實(shí)數(shù))過(guò)定點(diǎn)尸，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為;若直線/

與直線4"=-1,Qy=T分別交于〃點(diǎn)，N點(diǎn)，貝1]|衣卜|乃川的最小值為.

28.已知直線Q+(?T)y-2=o經(jīng)過(guò)定點(diǎn)乙則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

題型八：中點(diǎn)公式

5_3

29.己知A8兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線4:x-4y=0和4：4x+分=。上，且AB的中點(diǎn)為。

2，-2

則。=，直線杷的一般式方程為

30.直線/分別交x軸和，軸于A、B兩點(diǎn)，若，(2,1)是線段Afi的中點(diǎn)，則直線/的方程為.

31.已知直線/："-y+l+2k=0化eR)過(guò)定點(diǎn)兒若直線/被直線x-y+6=0和工軸截得的線段恰好被

定點(diǎn)T平分，求立的值.

題型九：軌跡方程

32.方程（犬-4）12+4）=0表示的圖形是（）

A.兩條直線B.四條直線C.兩個(gè)點(diǎn)D.四個(gè)點(diǎn)

33.已知A（-LO）、5（2,4）,VABC的面積為10,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是（）

A.4無(wú)—3y—16=0或4x-3y+16=0B.4%—3y—16=0或4x—3y+24=0

C.41-3》+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0

34.到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（）

A.x-y=0B.%+y=。C.\x\-y=0D.IxI-1y|=0

35.到兩條平行直線2x+y+l=0和2x+y+5=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是.

36.已知三條直線1：2x_y+°=0（a>0）、/2：-4x+2y+l=0和/3：x+y_l=0且/]與4的距離是歷石.

⑴求。的值；

（2）已知P點(diǎn)到直線4的距離與P點(diǎn)到直線4的距離之比是"：百，試求出點(diǎn)戶的軌跡方程.

1.（2024?上海嘉定?一模）直線傾斜角的取值范圍為（）

A.O,'[B,0,^C.[0,7t）D,[0,司

2.已知點(diǎn)A（2,l），8（3,2）,則直線AB的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

3.（2024?河南信陽(yáng)?三模）動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)y=ln（4-x）-lnx的圖像上，以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值

范圍是（）

4.（2024?重慶?三模）當(dāng)點(diǎn)尸（-1,0）到直線/：（33+l）x+（2+l）y—（42+2）=。的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)％的值

為（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩點(diǎn)A。,。），

B（2,b）,且cos2a=g,則|〃一6二（）

A.-B.4C.—D.1

252

6.（2024?新疆烏魯木齊?三模）直線4,4的斜率分別為1,2,4,4夾角為e，則sin20=（）

3433

A.-B.-C.—D.—

45510

7.（2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)y=-6（x+l）的圖象上，以尸為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值

范圍是（）

8.（2024?貴州遵義?一模）已知直線依-y+2=。與函數(shù)+F的圖象在％=1處的切線沒(méi)

有交點(diǎn)，貝產(chǎn)=（）

A.6B.7C.8D.12

9.（多選題）（2024?黑龍江哈爾濱?二模）點(diǎn)”（4%）在函數(shù)y=e'的圖象上，當(dāng)匯引0,1）,則上已可

能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

10.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若/（.X）=|lnx|的圖象在X=F，X=X2（X,Vj）處的切線分別為，

且…2,貝IJ（）

A.占電=1

B.占+%的最小值為2

c.4,4在＞軸上的截距之差為2

D.4,4在＞軸上的截距之積可能為-1

11.（多選題）（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知直線/過(guò)點(diǎn)放（-2,3）,且與x軸、，，軸分別交于A,B點(diǎn),

則（）

A.若直線/的斜率為1,則直線/的方程為y=x+5

B.若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為x+y=i

C.若加為AB的中點(diǎn)，則/的方程為3x-2y+12=。

D.直線/的方程可能為，=3

12.(2024?貴州畢節(jié)?三模)已知直線4：?力-5=0,直線/2：江-＞一3/+2=0,4與％相交于點(diǎn)A,則點(diǎn)

A的軌跡方程為.

13.(2024?上海長(zhǎng)寧?二模)直線2x-y-3=。與直線無(wú)一3y-5=。的夾角大小為.

14.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)已知直線/:丘-y+1+2左=0,若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

則實(shí)數(shù)々的值為;若直線/不經(jīng)過(guò)第三象限，則上的取值范圍是.

15.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距

離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線，已知VABC的頂點(diǎn)人(2,0),8(0,4),

若其歐拉線方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

16.已知VABC的頂點(diǎn)4(3,2),邊加上的中線所在直線方程為"3y+8=0,邊AC上的高所在直線方程為

2x-y-9=0.

⑴求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求直線BC的方程.

17.直線/的方程為(m+l)x+y-2%—3=O(，”cR).

(1)證明直線/過(guò)定點(diǎn)；

(2)已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)線/分別與*軸正半軸、》軸正半軸交于A3兩點(diǎn)，當(dāng)VAOB的面積最小時(shí)，求

NAOB的周長(zhǎng)及此時(shí)直線I的方程.

18.已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(l,l),5(3,3),C(2,8).

(1)過(guò)點(diǎn)B的直線4與邊AC相交于點(diǎn)。，若△BCD的面積是面積的3倍，求直線4的方程;

(2)求的角平分線所在直線4的方程.

1.（2002年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））若直線=6-石與直線2x+3y-6=0的

交點(diǎn)位于第一象限，則直線/的傾斜角的取值范圍是（）

2.（1995年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國(guó)卷））圖中的直線44,4的斜率分別為匕，々，%，

則有（）

B.%>七>七

C.kt<k3<k2D.k3<kx<k2

3.（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（四川卷））如圖，4、公4是同一平面內(nèi)的三條平行

直線，4與4間的距離是1,4與4間的距離是2,正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在4、4、4上，貝IVABC的邊長(zhǎng)

C3歷D.甌

,43

4.（2015年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）如下圖，直線/的方程是（）

y

A.氐-y-如=0B.s/3x-2y-y/3=0

C.A/3A--3J-1=0D.X-A/3V-1=0

5.（2006