【02?暑假預(yù)習(xí)】第16講指數(shù)及其指數(shù)運算（含答案）-

2025年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講練（人教A版）第16講指數(shù)

及其指數(shù)運算

州內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題常負教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

5大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

天；：方一小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

g析教材學(xué)知識

（>）知識點1根式

（1）概念：式子加叫做根式,其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

（2）性質(zhì)：（標(biāo)）n=a（a>0使標(biāo)有意義）；

當(dāng)n為奇數(shù)時，M?=a,

當(dāng)n為偶數(shù)時，防:⑶=<"'"一°’

-a.a<0

⑤）知識點2分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

（1）規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是加標(biāo)（a〉0,m,neN*,且n〉l）；

上1

正數(shù)的負分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是。枚=^（a>0,m,n￡N*,且n〉l）；

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0；

0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

（2）有理指數(shù)基的運算性質(zhì)：

aras—a,_r+s；

（a）=以；

(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s￡Q.

[?知識點3指數(shù)的運算和逆運算

1.指數(shù)幕的運算中常用的乘法公式

(1)完全平方公式：(a-b)2=a2—2ab+b?；(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

(3)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

(4)立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(5)完全立方公式：(a_b)3=a3-3a2b+3ab2_b3；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

2.指數(shù)的運算和逆運算，遇到多重根號問題，需要先寫成指數(shù)形式：

1——,11』1117.-------j_A

例：=a2a4a8=，G=冊示=a4-a^=a12

3.指數(shù)的逆運算過程：

1—81--

（5—）2=（巴）2

1616

8練習(xí)題講典例

解題方法

因為x+y=12,盯=9,

教材習(xí)題01

（工_LY

丫2—所以產(chǎn)-，2_x+丁-2M_12-2x?_1

已知x+y=12,xy=9,求一；一J,x+y+2而12+2x囪3,

爐+產(chǎn)

的值.故可得小==土1.

爐+V'

【答案】4

22+4°+(r-1-1113x2

JT-83=j2+j2+jn~23

⑵VZ(^)VZVz7z—1

=顯+顯+勺1「22=0+&+1-4=20一3

22(72-1)(72+1)

【答案】⑴)3

(2)20-3

解題方法

教材習(xí)題033

(1)Z?=32,b==32'；

把下列各式中的》S>o)寫成負分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形

(2)尸=33=27,

式：

/二惡=￡?；

⑴歹=32；

(2)^=3%

(3)*=/,

(3)人"=產(chǎn)(機”N+).

n__網(wǎng)

b=魁工=兀2"(m,neN+).

V兀

【答案】⑴8=32§

⑵6=3]

3m

(3)人=兀2〃(根,〃￡N+)

qg練考點強知識

考點一指數(shù)與指數(shù)塞的運算

i.填空：

(1)27的3次方根表示為；

(2)/的3次方根表示為；

(3)16的4次方根表示為.

2.計算：

1

⑴8F；

2

⑵27一3?

3.已知X+XT=3(X>0),求下列各式的值:

11

⑴/+%2；

-11

(2)尤5_尤一5;

33

⑶產(chǎn)+%2；

33

-

(4)xi_x2

4.化簡（式中的字母均為正實數(shù)）:

22

22辰

⑴4H------------；

。一1

1+〃3

b2-2+b'

⑵

b2-b2

5.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示下列各式（式中的字母均為正實數(shù)）:

⑴痂;

(2)(m>n)

⑶yfa-W-

考點二根式的化簡求職

1.化簡：W（a-it）'=.

2.計算：X五=.

(1)癡-4G(a>4)；

⑵鼻(2-a)3;

(3)y]a2+2<7+1(a>-1);

(4)^(a-1)2+V?(o<l).

5.求下列各式的值:

（1）次哥；（2）"lop；（3）；（4）y/（a-b）2.

考點三無理數(shù)指數(shù)塞的運算

1.用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式表示下列各式（。＞0）：

⑴eW;

⑵/6

2.求下列各式的值(式中字母都是正數(shù)):

2

⑴

3

(2)療

2

f—x

(3)xy2xH—；

y/X

X-1-丁一1

(4)———

九一y

42/33A<75A

(5).ys.T/y?卜6心.

3.已知h>0,對任意的實數(shù)"，求證：au+h-au+2h<au-au+h.

4.設(shè)a>0,owl,求證：函數(shù)/(%)」;(xeR)是奇函數(shù).

5.設(shè)a,6是正數(shù)，下列各題中的兩個代數(shù)式是否恒等？為什么？

(1)①丫與a”;(2)與口；

''ua

(3)/與二；(4)g+力”與a"+6〃.

考點四分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化

1.設(shè)a>0,"是正整數(shù)，且則下列各式/=行；a°=l；a=，=;正確的個數(shù)是()

Nd"

A.3B.2C.1D.0

2.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕計算：而-&)出+核+吟.

3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示下列各式：

(1)&(G>0)；(2)療；

1廣

(3)~n=；(4)岳(尤>0)；

7a

機2

⑸W(y>0)；(6),——(m>0)；

y/m

(7)癡+力2；(8)&m-〃￥(“7>〃).

4.用根式的形式表示下列各式(a>0)：

(1)U；(2)-；(3)J；(4)J；(5)二；(6)al.

5.用分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式表示下列各式(。＞0)：

(1)a2\[a;

(3)yfa^a-

考點五指數(shù)塞的化簡求值

1.求下列各式的值：

⑴10()5;

2

⑵M

3

⑶*；

y2x-y~2x

2.已知y'=6+l,求一上二的值.

y+y

3.化簡下列各式：

4.若2,+2T=5,求4'+1的值.

4X

5.已知后+；=3,求下列各式的值:

7a

(1)a+

(2)a2+a1;

〃+〃T

(3)-r~-

*一〃5

7知識導(dǎo)圖記憶

根式n勸根的定義與蜩

指數(shù)鬲運算解題方法與技巧指數(shù)零的運算中常用的乘法公式

條件求值問題的解題思路

3知識目標(biāo)復(fù)核

1.根式的定義

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)募的運算

3.實數(shù)指數(shù)募的運算性質(zhì)

4.無理數(shù)指數(shù)易

一、單選題

1.已知函數(shù)小）/尸［咒則〃〃T））=（）

12—1,x>0

33

A.—3B.—C.3D.—

44

2.下列各式正確的是（）

A.O=-2B.'^7=0

3.若3"=5,3"=6,則下列式子值為“的是（）

A.B^25m-6nC^m—lnD.3，-/

4.而（a>0）的分?jǐn)?shù)指數(shù)塞表示為()

3

A-d1B.JC,a4D.都不對

5.設(shè)小=1+2',〃二=1+2”,那么〃=()

m+1m-1m-1m

A.------B.------C.------D.------

m—1mm+1m—1

2

6.計算：￡工『2

+0.r+f2—3-3%-°+—=()

19JI27J48

A.0B.1C.100D.5

123

7.滿足優(yōu)=〃=<V,-------+-=0(x,y/€：^的有序?qū)崝?shù)組（凡6,?？梢允牵ǎ?/p>

xyz

A.(4,3,2)B.(4,2,3)c.(3,9,2)D.(18,12,2)

二、多選題

8.已知才有+.右=3,下列各式正確的是（）

A.1后+小點=7B.J6+。-3蘇=24

9.下列說法正確的是（）

A.網(wǎng)的運算結(jié)果是±3

B.16的4次方根是2

C.當(dāng)"為大于1的偶數(shù)時，后只有當(dāng)aNO時才有意義

D.當(dāng)”為大于1的奇數(shù)時，夜對任意aeR都有意義

10.已知/（2"+l）=x,則下列函數(shù)值計算正確的有（）

A./（D=2B./（2）=3C.八3）=1D./（5）=2

三、填空題

11.設(shè)函數(shù)，X<1,則/[I?1.

12.若"+。一之=3（〃〉0）,貝!3=.

13.從盛滿1升純酒精的容器中倒出g升，然后用水填滿，再倒出g升，又用水填滿，這樣進行5次，則

第5次倒出的純酒精的升數(shù)為.

14.某企業(yè)計劃對生產(chǎn)線進行技術(shù)升級，第一年投入研發(fā)資金50萬元，之后每年投入資金是上一年的1.2

倍，則該企業(yè)連續(xù)8年投入研發(fā)的總資金是萬元.（結(jié)果保留整數(shù)）

四、解答題

15.完成下列式子的化簡：

<21[j._1>

⑴2屆臣—3/分.—〃奶一§；

Ik乂3J

1

(2)(72x^)6+(-2025)°-4x(2]'+^(2-TI)4.

16.計算下列各題:

(1)(76-2715)x73-6^1；

(2)V4x+212x——y/Sx—4^/x.

17.計算下列各式：

0,1

⑴2|2<x[2；)2*一(0.01嚴(yán);

I+

2

§_1

⑵w■+(0.002)-2-10x(V5-2)M+(V2-V3)°?

18.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示下列各式:

⑴/.沆

b3a

Q)7VF(a>0,/?>0)；

（3）廚赤%＞。力＞。）.第16講指數(shù)及其指數(shù)運算

腦內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

片醫(yī)教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點強知識5大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

8析教材學(xué)知識

向知識點1根式

(1)概念：式子標(biāo)叫做根式,其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì)：(后)n=a(a>0使標(biāo)'有意義)；

當(dāng)n為奇數(shù)時，0/=a,

當(dāng)n為偶數(shù)時，=|a|=<一°’

-a,a<Q

的知識點2分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

(3)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是(a〉0,m,neN*,且n〉l)；

m

正數(shù)的負分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是a='/——(a>0,m,n，且n>l)；

Na1n

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0；

0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

(4)有理指數(shù)基的運算性質(zhì)：

rsr+s

aa—a,_；

(/ar)\s=a_rs；

(ab)r=ab,其中a>0,b>0,r,s

向知識點3指數(shù)的運算和逆運算

4.指數(shù)幕的運算中常用的乘法公式

(6)完全平方公式：(a-b)2=a2—2ab+b?；(a+b)2=a2+2ab+b2；

(7)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

(8)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

(9)立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2_ab+b2)；

(10)完全立方公式：(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

5.指數(shù)的運算和逆運算，遇到多重根號問題，需要先寫成指數(shù)形式：

/—11LLL1I-----------1￡￡5

例：7a=a》^=添國展屋==a12.

6.指數(shù)的逆運算過程:

解題方法

因為尤+y=i2,盯=9,

教材習(xí)題01

(工_L丫

1]_

丫2—\;2所以--尸__12-2x邪_1

已知x+y=12,盯=9,求||x+y+2y[xy12+2x?3

戶+y5(x+yJ

2￡

的值.故可得與二?=±#.

x2+y2^

【答案】4

解題方法

⑴陽-鼾+。」2T產(chǎn)自出。.

教材習(xí)題02

計算：

△辛『+。.5/-3+2」

112⑶2222

⑴

-14°//-X-1-1113x2

⑵2?+友+(應(yīng)T)3=應(yīng)+0+血_1一2'

--4°//—\-i-

(2)22+-^+(72-1)-83.

=卓+也+/廠?:L\-22=夜+應(yīng)+1-4=2夜-3

22(72-1)(72+1)

【答案】(嗎3

⑵272-3

教材習(xí)題

03解題方法

把下列各式中的6(6>0)寫成負分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形

(1)L=32,.”=在=32《；

式：

(2)=33=27,

(1)尸=32；

43

(2)&-=3；:，=俱=心；=3：

V2727

23m

(3)F"=7r(m,neN+).

(3)產(chǎn)=的,

i~r--

:.b=2g=TI2n(m,〃￡N+).

【答案】(1)人=32§

⑵J

_3tn

2,1

⑶b=it(m,?eN+)

考點一指數(shù)與指數(shù)募的運算

1.填空：

（1）27的3次方根表示為；

（2）/的3次方根表示為；

（3）16的4次方根表示為.

［答案］V27依±</16

【分析】根據(jù)〃次方根的定義求解即可.

【詳解】（1）27的3次方根表示為肪'；

（2）/的3次方根表示為"；

（3）16的4次方根表示為土#證.

故答案為：際,任,±V16

2.計算：

1

⑴”；

_2

⑵273

【答案】（嗚

⑵g

【分析】（1）（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運算法則化簡求值即可;

3.已知x+/=3(x>0),求下列各式的值：

11

⑴尤5+尤5；

11

(2)尤5_尤一5;

3_3

⑶尤2+X2；

33

(4)尤5_尤一5

【答案】(1)百

⑵±1

(3)2出

(4)4或T

【分析】根據(jù)有理指數(shù)暴的運算性質(zhì)，結(jié)合完全平方式和立方和(差)的公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.

【詳解】(1)因為x+—=3(x>0),

1111

由(x^+x-5)2=儲+獷1+2=3+2=5，所以

(2)因為％+尸=3(x>0),

由(戶一無一T=儲+/_2=3-2=「所以1一/；=±1-

(3)因為x+尤T=3,且

331_1__

由/+=(x2+/5)(3+婷-1)=岳(3-1)￡2好

113_31_1

(4)因為％+"i=3,且/_/5=±］，由/_1―5=(?_/5)(/+廠1+1)，

當(dāng)￡_；(4=1時，可得尤5一尤-5=1X(3+1)=4；

113_3

當(dāng)/_芯5=_］口寸，可得X，萬=-lx(3+l)=-4?

4.化簡(式中的字母均為正實數(shù)):

11_

小］―〃52*

⑴——r+—［；

1+42

⑵萬一2+廣

(b2-b2'

【答案】⑴二T

b2-i

⑵

b2+l

【分析】結(jié)合有理指數(shù)幕的運算法則和運算性質(zhì)，準(zhǔn)確化簡，即可求解.

1￡_1_

【詳解】（1）根據(jù)指數(shù)募的運算法則，可得：1T+=J”尸J+?

——/7—1————/7—1

1+a2（1+Q2）（1—Q2）

（1-?。?2后。――+12層

-----------j----1-------=-------------j-------1-------

1—aci—11—aa—1

1-2*+a2*a+1

=----------------1-------=-------,

6Z—16Z—1〃-1

12

JJ-.JJ-3w,__,,,g、_UrtI―.2+Z?2（Z?—Z?）b—bZ?2—1

（2）根據(jù)指數(shù)累的運算法則’可rZl侍=下二萬二=而施匹記=莉尸=西丁

5.用分?jǐn)?shù)指數(shù)基表示下列各式（式中的字母均為正實數(shù)）：

⑴標(biāo)；

(2)Q(m-wj(m>n);

(3)成.班.

2

【答案】⑴疝

3

⑶/

【分析】（1）（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和根式的關(guān)系進行求解；（3）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞和根式的關(guān)系和分?jǐn)?shù)指數(shù)

幕的運算法則計算出答案.

____2

【詳解】（1）娜=涼

（2）=（m-n）2

2j_5

（3）y[a-y/a=a^'a^=a^

考點二根式的化簡求職

1.化簡：N(a-b)8=.

【答案】（a-b>

【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的互化即可得出答案.

、、______?

【詳解】解：$（a-b）B=（a-b戶=（。-6產(chǎn)

故答案為：（a-6）2

2.計算：^32=.

【答案】-2

【分析】找到一個數(shù)，它的5次方等于32,顯然結(jié)果為-2

【詳解】因為(-2)5=32,所以口=-2.

故答案為：-2.

3.計算:一3十16475+四.(4石)-2.

【答案】-19.

【分析】根據(jù)給定條件利用根式及指數(shù)運算法則計算作答.

24(-2)=二+11_3+2-3+2與義21=3-24+2=-19.

【詳解】原式=外

33

4.化簡：

(1)癡-4)4(a>4)；

⑵q(2-a￥；

(3)J，+2〃+1(?>-1)；

(4)+迎(a<\).

【答案】(1)。一4,(2)2—a,(3)a+1,(4)1

【分析】利用根式的性質(zhì)逐個化簡計算即可

【詳解】(1)因為〃>4,所以，-4>0,

所以］(〃_4)4=卜_4卜〃_4,

(2)也-4=2-a,

(3)因為所以〃+1>0,

所以Jr2+2a+1=J(a+1產(chǎn)=|^+1|=tz+l,

(4)因為avl,所以Q-1V。，

以J(a-=|Q—1|+〃=1-Q+Q=1

5.求下列各式的值：

(1)⑵7(-10)2;⑶y(3_?)4;(4)yl(a-b)2.

(a—b,a>b

【答案】(1)-8；(2)10；(3)萬一3；(4),,.

\b-a,a<b

【解析】利用根式的性質(zhì)逐一對(1)(2)(3)(4)中各式化簡即可.

【詳解】(1)V(-8)3=-8;

2

(2)^_10)=|-10|=10；

（3）W（3—%）4="_對=4_3；

n,[a-b,a>b

（4）J（a-b）=a-6?=

v\b-a,a<b

【點睛】本題考查利用根式的性質(zhì)化簡計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

考點三無理數(shù)指數(shù)塞的運算

1.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示下列各式（”>0）：

（X）a-y[a;

⑵儲昕；

⑶da.班.

4

【答案】⑴"

11

⑵a了

2

⑶/

【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化公式，結(jié)合指數(shù)幕的運算法則對（1）（2）（3）進行求解即可.

114

【詳解】（1）Cat-^Ct-—aCt-aCt^—-Cat+^-—aCt3'

___3311

（2）（22-=a2-a^=a=a4

ij_

.-----（1A2f_V4j_2

（3）y]a-y/a=tz-fl3==a^x=a^?

2.求下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）：

2

⑴8§；

3

(3)xy]2xH—『?

y/X

27

⑵京;

3

⑶(0+1*;

1

(4)---

4指3衛(wèi)

⑸一早產(chǎn)0.嚴(yán).

【分析】（1）（2）（5）利用幕的運算性質(zhì)直接求解；（3）先把根式化為基的結(jié)構(gòu)，再利用事的運算性質(zhì)求

解；（4）先把負指數(shù)累化為分式，通分約分即可.

22

[詳解](1)8^=[(2)3p=2-2=i.

3廠,._3

⑵借PUT

___2333

(3)xy[2x+-^==/(3+1)/.

y/x

j__￡y—x

(4)x-1-y~x_xy_xy_1

x-yx-y冗一,孫

42<33A/75

(5)+

235

___.y328

一忑

4百3衛(wèi)

-21±產(chǎn)0?產(chǎn)

3.已知0<a<l,h>0,對任意的實數(shù)反，求證：au+h-au+2h<a11-au+h

【答案】證明過程見解析.

【分析】運用作差法，結(jié)合因式分解法、指數(shù)的運算性質(zhì)的性質(zhì)進行證明即可.

【詳解】au+h-a"+2h-a11+au+h

au(ah-a2h-l+ah)

=au(l-a/')(a/,-l)

=-au(l-a/!)2,

因為0<a<l,h>0,所以0<a〃<l,

+hu+2h11u+

因此—a"(1了<0,所以a?-a-a+a"<0,

因此/+"-d'+2〃<儲，一儲叫

4.設(shè)a>0,owl,求證：函數(shù)f（x）=a（xeT?）是奇函數(shù).

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義可證明.

【詳解】證明：對于任意xwR,都有-xeR,

—X-（—X）—XXX-X

又因為/（-X）=—=a~a=-/（尤），所以函數(shù)/（尤）="是奇函數(shù).

5.設(shè)a,b是正數(shù)，下列各題中的兩個代數(shù)式是否恒等？為什么？

⑴與a";（2）/與，

（3）/與一；（4）（。+力"與，+匕”.

aan

【答案】（1）不恒等；（2）不恒等；（3）不恒等；（4）不恒等.

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)累的運算可得答案；

（2）根據(jù)指數(shù)幕的運算可得答案；

（3）根據(jù)指數(shù)幕的運算可得答案；

（4）當(dāng)a=6=1時驗證可得答案.

【詳解】（1）因為（a"）"=a""'，anam=am+n,所以（屋）“與a"不恒等；

（2）因為《="-"，所以：與士不恒等；

aaa

mtn

（3）因為所以/與「不恒等；

aua

nn

（4）當(dāng)a=6=l時，（a+by=2",a+b=2,所以g+㈤"與a"+b"不恒等.

考點四分?jǐn)?shù)指數(shù)塞與根式的互化

m1

1.設(shè)a>0,"z,”是正整數(shù)，且則下列各式/=行；?°=1;”"=廣；正確的個數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)即可得出.

【詳解】解：‘二?！怠?，〃是正整數(shù)，且〃>1,

,,an=標(biāo)入正確，

顯然。°=1,正確，

1一絲1

an—■i--正確，

行Nd"

故選：A.

2.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)累計算：而-服)(標(biāo)+我+蘇卜

【答案】a-b

【分析】先將根式形式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累形式，再直接利用立方差公式計算即可.

【詳解】(指一正)系+癡+^^)=(京一百)Q%+Q2'+官=一官=a-b.

3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示下列各式：

(1)?(〃>0)；(2)再；

1「

(3)(4)岳(x>0)；

yci

(5)Jx4y3(y>°)；(6)-j=(m>0)；

(7)\(a+b)2；(8)J(m_n￥(相>〃).

1213332

犬；；⑺(。+爐；⑻m-n.

【答案】(1)C/t；(2)4J；(3)14--J；(4)人丫5;(5)2y2(6)m2

【分析】直接將根式形式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式.

【詳解】(1)&(。>0)；

\[a=*

⑵行；

V?=戶

1

⑶訪；

1--

~^==a3

yfa

(4)岳(x>0)；

A/?=/

⑸777(y>。)；

22

Jx4y3=xy

m2

(6)—j=(m>0)；

yjm

21cl3

2

—mj==m2-m~2z=m~2=m2

yjm

(7),(a+b)2；

_________2

習(xí)(a+1)。=(a+by

(8)J(0-4Qm>n)

=|7n-7j|=m—n.

4.用根式的形式表示下列各式(a>0)：

(1)J;(2)?；(3)I；(4)?；(5)；(6)A.

ClLIClClCl

【答案】答案見詳解.

【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉互化公式一一求解即可.

113―

【詳解】(1)層=五；(2)〃=布；(3)小="；

33?

⑷工獷⑸……)

5.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示下列各式(a>0)：

(1)a1y[a；

1

⑵#

(3)yjayfa?

533

【答案】(1)Cv5；(2)Cr~2；(3)C4-4-

【分析】(1)根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義和指數(shù)塞的運算可得答案;

(2)根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義和指數(shù)塞的運算可得答案；

(3)根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義和指數(shù)暴的運算可得答案.

【詳解】(1)21嗎I.

ClyCt—CtL4—Ct—Ct

(3)y/ay/a=(ayfaY=(四耳-=*J=京.

考點五指數(shù)塞的化簡求值

1.求下列各式的值：

⑴10()5；

2

⑵M

3

⑶*；

【答案】（1）10

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)幕的運算公式求解即可;

（2）根據(jù)指數(shù)幕的運算公式求解即可；

（3）根據(jù)指數(shù)基的運算公式求解即可；

（4）根據(jù)指數(shù)幕的運算公式求解即可；

11cl

【詳解】(1)10()5=002)5=10-,5=10

83=03尸=2嗎=22=4

干尸=3,=27

2x、，一2x

2.已知）/=括+1,求,的值.

y+y

【答案】1+3

22

【分析】利用平方差公式先化簡目標(biāo)式，再代值計算即可.

【詳解】因為^-＞必=（歹+＞一,）（了一十,），

故4^—石+1_；=石+1_1若_』

y+yV3+1122）

3.化簡下列各式：

⑵萬”".--2.

【答案】（1）78125

【分析】利用指數(shù)事運算性質(zhì)，計算即可

【詳解】（1）原式=僅+點廣顯=5°+揚心衣=5*（物Z=57=78125

（2）原式=兀3.."乜=萬"）+（7=/

4.若2工+2一*=5,求4*+二的值.

4X

【答案】23.

【分析】根據(jù)給定條件利用指數(shù)運算變形計算作答.

【詳解】因為2工+2一，=5,則有4'+』=(2*)2+(2一，)2=(2，+2一工)2-2=23,

所以4工+二的值23.

4

5.已知&+方==3,求下列各式的值：

7a

(1)1+QT；

⑵a2+a~2;

a+a~l

(3)JT-

【答案】(1)7；(2)47；(3)拽或-友.

55

【分析】根據(jù)式子的特點聯(lián)系完全平方式進行轉(zhuǎn)化，即可求出答案.

CtrCt—

【詳解】&+A*即%+/=3

（1）Q+a1=（tz2+a2）2_2XQXa1=32—2=7?

（2）a2+a2=（a】+a1）2—2xtz1xaX=7?-2=47；

（3）（層—〃一5）2=（滔+〃-5）2_4X層XQ—5=32_4=5，故Q'—Q一萬二百

或Q，-=-6’

〃+4i77*\/5〃+4i77A/5

-L」一行一5或工---A/5"I-

a2-a27a2-a2

@3串知識識框架

知識導(dǎo)圖記憶

n勸根的定義與蜩

指數(shù)幕運算解題方法與技巧指數(shù)零的運算中常用的乘法公式

條件求值問題的解題思路

7知識目標(biāo)復(fù)核

1.根式的定義

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)易的運算

3.實數(shù)指數(shù)募的運算性質(zhì)

4.無理數(shù)指數(shù)累

一、單選題

1.已知函數(shù)十)=］尸產(chǎn)?,則()

12—1,x>0

33

A.—3B.—C.3D.—

44

【答案】C

【難度】0.94

【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、指數(shù)累的運算

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)定義域代入求分段函數(shù)值即可.

【詳解】由題意知/(-4)=J—(-4)=2,

則〃/(-4))=/(2)=22-1=3

故選：c.

2.下列各式正確的是（）

A.1—8=—2B-1^7=4

［己）=2

C?q爐+y3=（x+y產(chǎn)D.nm^

【答案】A

【難度】0.94

【知識點】指數(shù)幕的運算、指數(shù)累的化簡、求值

【分析】借助指數(shù)幕的運算法則計算即可得.

【詳解】對A：（-2）3=-8,.-.-2=^8,故A正確;

對B：.,（-3）4=W=3§=件故B錯誤；

對C：（x+y尸=d（x+y）3W^x3+y3>故C錯誤；

對D：f—=n2-m~2n2-,故D錯誤.

\m）m

故選：A.

125

3.若3"=5,3"=6,則下列式子值為￡的是（）

【答案】C

【難度】0.94

【知識點】指數(shù)幕的運算

【分析】利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡可得結(jié)果.

222

【詳解】因為3"'=5,3"=6,所以125=53=（3"丫=33，"，36=6=（3"）=3",

所以空=2=33加一2",

3632"

故選：C.

4.而二7（a>。）的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示為（）

133

A.a2B.a2C.a4D.都不對

【答案】A

【難度】0.85

【知識點】分?jǐn)?shù)指數(shù)基與根式的互化、指數(shù)幕的化簡、求值

5.設(shè)根=1+2',〃=1+2”，那么九=（）

m+1-m-1-m-\_m

A.------B.------C.------D.------

m-1mm+1m-1

【答案】D

【難度】0.94

【知識點】指數(shù)塞的運算

【詳解】由機=1+2"得2”=m—1①；由幾=1+2"得2"=〃—1②.①x②得2°=（加—1）（〃—1）,得

m

n=------.

m—1

2

6-計算：（22『+。.「2+卜3「-3萬。+衛(wèi)=（）

19）127）48

A.0B.1C.100D.5

【答案】C

【難度】0.85

【知識點】指數(shù)嘉的運算、指數(shù)幕的化簡、求值

1、一/、二

3375937

【詳解】原式.-3+—=-+100+——3+—=100-

4831648

123

7.滿足優(yōu)=毋=匹,----+—=0（x,y,2￡R）的有序?qū)崝?shù)組（。也。）可以是（）

xyz

A.（4,3,2）B.（4,2,