專題4.8線段中的四種常見思想方法

【華東師大版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)線段中的四種常見思想方法的理

解！

【題型1整體思想】

1.（2023上?江蘇徐州?七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)M在線段4M的延長(zhǎng)線上，且線段MN=1J,第一次操

作：分別取線段AM和4N的中點(diǎn)叫、N[；第二次操作：分別取線段4M1和AM的中點(diǎn)M2,N2；第三次操作：

分別取線段4M2和力他的中點(diǎn)M3,/；...連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和

M]N[+M2N2+…+M2023N2023=（）

?_______????_________?_________?_____________________?____________?

AMMMM2N、MNM

A.10+募B.10+募C.10-募D.10-募

2.（2023上?安徽蚌埠?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，C,。是線段88上兩點(diǎn)，M,N分別是線段40,改?的

中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若40=8M,則48=380：②若AC=BO,則AM=8N：@AC-BD=

2（MC-ON）：@2MN=AB-CD.其中正確的結(jié)論是（）

AM~^C-D-NB

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

3.（2023上?福建泉州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C,。是線段上兩點(diǎn),M,3分別是線段4D,BC的

中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若71M=BN,貝IJAC=BD；②若48=3BO,則4。=BM：（3）AB-CD=2MN；@AC-

BD=3（MC-DN）.其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）.

II」」」I

AMCDNR

4.（2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M,N分別是AC,8C的中點(diǎn).

■■R11

AMCNB

（1）若4c=9cm,CB=6cm,則線段MN的長(zhǎng)為cm；

（2）若AC=acm,CB=bcm,則線段MN的長(zhǎng)為cm；

（3）若4B=mcm,求線段MN的長(zhǎng)度；

（4）若點(diǎn)C為線段48上任意一點(diǎn)，且A3=m:m,其他條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？并用一句簡(jiǎn)潔的

話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【拓展提問】若將例題中的"點(diǎn)C在線段4及上”改為"點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上〃，其他條件不變，（3）中結(jié)

論還成立嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

5.（2023上?福建度門?七年級(jí)原門市湖濱中學(xué)?？计谀┤鐖D已知線段48、CD,

111III

cMABND

⑴線段48在線段CO上（點(diǎn)C、A在點(diǎn)8的左側(cè)，點(diǎn)。在點(diǎn)C的右側(cè)）

①若線段｛8=6,CD=14,M、N分別為"、8。的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

②M、N分別為力。、80的中點(diǎn)，求證：MN=^（AB+CD）

⑵線段CD在線段的延長(zhǎng)線上，M、N分別為AC、8。的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形，直接

寫出結(jié)論

6.（2023上?吉林白城?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段4B=24,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速

度沿射線運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為％秒.

⑴一秒后，PB=2AM.

⑵當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM-PB為定值.

⑶當(dāng)P在線段48的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度.

7.（2023上?遼寧大連?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直線/上順次取A、8、C三點(diǎn)，已知Z1B=20,FC=80,

點(diǎn)必、N分別從4、8兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)

M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

ABC

⑴用含/的代數(shù)式表示線段4M的長(zhǎng)度為：

⑵當(dāng)/為何值時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合？

⑶若點(diǎn)。為4M中點(diǎn)，點(diǎn)Q為8N中點(diǎn).問：是否存在時(shí)間，，使PQ長(zhǎng)度為5?若存在，請(qǐng)說明理由.

【題型2方程思想】

1.（2023上?河南鄭州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,點(diǎn)。在線段力B上，圖中共有三條線段48、4c和8C,若

其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍,則稱點(diǎn)C是線段48的〃好點(diǎn)〃;如圖2,已知48=16cm.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿力8向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，以lcm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻

速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中點(diǎn)。到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止；設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s),當(dāng)￡=s時(shí)，Q

為線段A8的“好點(diǎn)

2.(2023上?湖北武漢?七年級(jí)統(tǒng)考期末)點(diǎn)C在線段48上，BC=2AC.

(1)如圖1,P,Q兩點(diǎn)同時(shí)從C,8出發(fā)，分別以lcm/s,2cm/s的速度沿直線4?向左運(yùn)動(dòng)；

?????

APCQB

圖1

ACB

圖2

①在P還未到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，蕓的值為」

CQ

②當(dāng)Q在P右側(cè)時(shí)(點(diǎn)Q與C不重合)，取PQ中點(diǎn)M,CQ的中點(diǎn)是N,求篝的值；

(2)若。是直線48上一點(diǎn)，且|40-80|="。.則等的值為

2Au

???

ACB

備用圖

3.(2023上?四川雅安?七年級(jí)階段練習(xí))如圖，已知A,B,C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為6,BC=4,

AB=12.

P-O-Q

'ai一a--------------.

A08c

⑴寫出數(shù)軸上點(diǎn)A,B表示的數(shù).

⑵動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng).若M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN=#Q,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為ts(t>0).

①寫出數(shù)軸上點(diǎn)M,N表示的數(shù)(用含t的式子表示).

②t為何值時(shí)，原點(diǎn)。恰為線段PQ的中點(diǎn)？

4.（2023上?江蘇南京?七年級(jí)統(tǒng)考期末）【探索新知】如圖1,點(diǎn)C在線段48上，圖中共有3條線段：AB.

AC.和8C,若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱點(diǎn)C是線段4B的〃二倍點(diǎn)〃.

（1）一條線段的中點(diǎn).這條線段的“二倍點(diǎn)〃；（填“是”或“不是〃）

【深入研究】如圖2,點(diǎn)力表示數(shù)-10,點(diǎn)B表示數(shù)20,若點(diǎn)M從點(diǎn)8,以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到

達(dá)點(diǎn)4時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為￡秒.

（2）點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中表示的數(shù)為_（用含t的代數(shù)式表示）；

（3）求￡為何值時(shí)，點(diǎn)M是線段/1B的“二倍點(diǎn)”；

（4）同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)力的位置開始，以每秒2cm的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)M同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M是線段

4N的“二倍點(diǎn)〃時(shí)t的值.

ACB

???

圖1

AB

?????

-10020

圖2

5.（2023上?福建泉州?七年級(jí)?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC=nABH，我們稱〃為點(diǎn)C在線段麗上的"點(diǎn)值”，記作d（篇=兒

例如，點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)時(shí)，即則

反之,當(dāng)d偌）=3時(shí)，則有工C=

因此，我們可以這樣理解："d得）=幾”與"AC=7/8”具有相同的含義.

⑴【理解與應(yīng)用】

如圖，點(diǎn)C在線段A8上.若AC=3,AB=4,則d偌）=；若弓倚）=3則黑=_

ACB

⑵【拓展與延伸】

已知線段48=10cm,點(diǎn)P以lcm/s的速度從點(diǎn)4出發(fā)，向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).同時(shí)，點(diǎn)。以3cm/s的速度從點(diǎn)8

出發(fā)，先向點(diǎn)八方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)8方向返回.當(dāng)R。其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩

點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，（單位：s）.

①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)8向點(diǎn)4方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，d借）+叱4（第的值是個(gè)定值，求機(jī)的值；

②，為何值時(shí)，瞪）-d偌）..

6.（2023上?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是線段力8上一點(diǎn)，4c=5cm,點(diǎn)M從點(diǎn)4出發(fā)，沿以

3cm/s的速度勻速向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿C8以lcm/s的速度勻速向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，結(jié)果

點(diǎn)M比點(diǎn)N先到3s.設(shè)點(diǎn)M出發(fā)時(shí)訶為￡（s）.

IAI-------->J

ACB

⑴求線段48的長(zhǎng).

⑵是否存在某個(gè)時(shí)刻，點(diǎn)C恰好是線段MN的中點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)求出t的值.若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑶求點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)（未到達(dá)點(diǎn)8）,t的值；

⑷直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N相距2cm時(shí)，t的值.

7.（2023上?河南南陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn).點(diǎn)。在線段上，且DB=2.5cm,

AD=8.5cm.

IIII

ACDB

I111

ACDB

備用圖

⑴線段CD的長(zhǎng)度為.

⑵若點(diǎn)E在射線。上，且4E=3cm,請(qǐng)求出線段CE的長(zhǎng)度.

⑶動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)8方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)?，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)/秒時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇，貝k=；假設(shè)第，〃秒時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N之

間的距離為2cm,則m=.

8.（2023上?云南楚雄?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,已知點(diǎn)A,8在數(shù)軸上，M是線段48上一點(diǎn)，多項(xiàng)式m-

m3+3m2的次數(shù)為小項(xiàng)數(shù)為4當(dāng)7九二2時(shí)，此多項(xiàng)式的值為c.

⑴分別求出a,b,c的值.

（2）如圖1,數(shù)軸上的點(diǎn)A,M,8表示的數(shù)分別是a-2,b+l,c+5,試比較24M和的大小.

⑶在（2）的條件下，如圖2,點(diǎn)。在線段AM上，點(diǎn)。在線段8M上，若點(diǎn)3D分別從",B出發(fā)以lcm/s,3cm/s

（一個(gè)單位長(zhǎng)度表示1cm）的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示.

AMBA~~CMDB

圖1圖2

①當(dāng)點(diǎn)C,。運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求AC+MC的值.

②設(shè)點(diǎn)C,D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡s.當(dāng)AD—8。=CD時(shí),求，的值.

【題型3分類討論思想】

1.（2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1,點(diǎn)P是線段或線段A3延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，則圖中共有3條線段

AP.BP、AB,若其中有一條線段的長(zhǎng)是另一條線段長(zhǎng)的兩倍，則點(diǎn)夕是線段A8的“倍分點(diǎn)〃.

ABABAB

III_________________II__________________I________

圖1圖2圖3

⑴一條線段的中點(diǎn)這條線段的“倍分點(diǎn)〃；（填"是"或"不是〃）

⑵深入研究：平面內(nèi)，已知線段A8長(zhǎng)為18cm,點(diǎn)P從4點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

①如圖2,點(diǎn)尸從4點(diǎn)出發(fā)，以每秒4cm的速度在線段4B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求，為何值時(shí)，點(diǎn)P是線段4B的〃倍

分點(diǎn)”？

②如圖2,若點(diǎn)P從4點(diǎn)出發(fā)，以每秒4cm的速度沿射線人8方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿射線/W

方向以每秒1cm的速度也運(yùn)動(dòng)了r秒，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)夕是線段4Q的“倍分點(diǎn)〃時(shí)/的俏.

2.（2023上?江蘇鹽城?七年級(jí)景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【新知理解】

如圖①，點(diǎn)M在線段46上，圖中共有三條線段48、AM和若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線

段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段A8的“和諧點(diǎn)

AMBCD

圖①圖②

I______________________________I

AB

圖③

⑴線段的中點(diǎn)這條線段的“和諧點(diǎn)”（填"是〃或“不是”）；

⑵【初步應(yīng)用】如圖②，若CO=12cm,點(diǎn)N是線段CO的和諧點(diǎn)，則CN=cm；

（3）【解決問題】如圖③，己知A6=15cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s速度沿A3向點(diǎn)8勻速移動(dòng)：點(diǎn)Q

從點(diǎn)8出發(fā)，以2w/s的速度沿陰向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)尸、。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停

止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為/,請(qǐng)直接寫出/為何值時(shí)，A、P、。三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的

和諸點(diǎn).

3.（2023上?浙江杭州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）某操作車間有一段直線型向左移動(dòng)的傳輸帶，A,3兩位操作工人

站于傳輸帶同側(cè)且相距16米，操作組長(zhǎng)尸也站在該側(cè)，且到A,8距離相等，傳輸帶上有一個(gè)8米長(zhǎng)的工

具筐CE.

ACFEB

IIIII

圖1

AFB

III

圖2

（1）如圖1，當(dāng)CE位于A,8之間時(shí)，”發(fā)現(xiàn)工具筐的C端離自己只有1米，則工具筐C端離A

米，工具筐E端離B米.

⑵工具筐。端從B點(diǎn)開始隨傳輸帶向左移動(dòng)直至工具筐E端到達(dá)A點(diǎn)為止，這期間工具筐E端到B的距離

8E和工具筐E端到尸的距離EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并用等式表示.（你可以在圖2中先畫一畫，再找找

規(guī)律）

4.（2023上?四川成都?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線/上有兩條可以左右移動(dòng)的線段：AB=m,CD=n,

且加，〃滿足|m-4|+（n-8）2=0,點(diǎn)M,N分別為人A,CO中點(diǎn).

1

c；vD

⑴求線段44.CO的長(zhǎng)：

⑵線段A8以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度也向右運(yùn)動(dòng).若運(yùn)動(dòng)6秒后，MN

=4,求此時(shí)線段8c的長(zhǎng)；

⑶若BC=24,將線段C。固定不動(dòng)，線段AB以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，在線段48向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)

時(shí)間段［內(nèi)，始終有MN+4。為定值.求出這個(gè)定值，并直接寫出，在哪一個(gè)時(shí)間段內(nèi).

5.（2023上?四川成都?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上線段4B=2（單位長(zhǎng)度），CD=4（單位長(zhǎng)度），

點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8,點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是10,若線段A8以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)

動(dòng)，同時(shí)線段。。以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也向右勻速運(yùn)動(dòng).

IlII1>

AB0CD

⑴線段<8與線段CO從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間：

（2）問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)8c=2（單位長(zhǎng)度）；

⑶設(shè)線段48,CD開始運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡秒，當(dāng)￡為何值時(shí)，恰好滿足AC=2BC.

6.（2023上?江蘇泰州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)。在線段上，4C=6cm,CB=4cm,點(diǎn)M以lcm/s

的速度從點(diǎn)A沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N以2cm/s從點(diǎn)C出發(fā)，在線段C3上做來回往返運(yùn)動(dòng)（即沿

C玲3玲C玲3f...運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4.

（1）當(dāng)/=1時(shí)，求MN的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)/為何值時(shí)，點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)？

（3）若點(diǎn)尸是線段CN的中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長(zhǎng)度保掙不變？如果

存在，求出PM的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

????????

AMCNBACB

備用圖

7.（2023上?浙江杭州?七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，將一條長(zhǎng)為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一

部分重合，然后在重合部分（陰影處）沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時(shí)卷尺分為了三段，若這三段長(zhǎng)

度由短到K的比為1：2：3,則折痕對(duì)應(yīng)的刻度有幾種可能.

............個(gè)...................飛____

■I?I?I?I?I?I■I'L1I1I1I?Ji~31I?J

01020：3b4050聞II，I；H

折抬圖猛處

8.（2023上?天津?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)C在線段上，AC=2BC,點(diǎn)。、E在直線48上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的

左側(cè).若48=18,DE=8,線段OE在線段上移動(dòng).

DCE_BACB

圖1備用圖

⑴如圖1,當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí),求AD的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)F（異于4B,C點(diǎn)）在線段48上，AF=3AD,CE+EF=3,求的長(zhǎng).

【題型4數(shù)形結(jié)合思想】

1.（2023上?四川成都?七年級(jí)石室中學(xué)?？计谀┤鐖D，有一根木棒MN放置在數(shù)軸上，它的兩端M、N分

別落在點(diǎn)力、8處.將木棒在數(shù)軸上水平移動(dòng)，當(dāng)MN的中點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)N所對(duì)應(yīng)的數(shù)為17.5,當(dāng)?shù)?/p>

右三等分點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)小時(shí)，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)為4.5,則木棒MN的長(zhǎng)度為.

MN

---?-----1J--->

OAB

2.（2023上?湖北武漢?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，把?根細(xì)線繩對(duì)折成兩條重合的線段點(diǎn)P在線段為B

上，且AP:BP=2:3.

AB

細(xì)紋繩

（I）若細(xì)線繩的長(zhǎng)度是100cm,求圖中線段AP的長(zhǎng);

（2）從點(diǎn)P處把細(xì)線繩剪斷后展開，細(xì)線繩變成三段，若三段中最長(zhǎng)的一段為60cm,求原來細(xì)線繩的長(zhǎng).

3.（2023上?河南周口?七年級(jí)期末）學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件GeoG劭加做廣〃次取線段

中點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段。?o=l.第1次，取OPo的中點(diǎn)巴；第2次，取PoP」的中點(diǎn)尸2；第3次，取P/P2

的中點(diǎn)心，第4次，取P2P3的中點(diǎn)修；...

P4n

0PlP3P5Po

⑴請(qǐng)完成下列表格數(shù)據(jù).

次數(shù)Pi-ip.線段OPi的女

11

第1次PoP,=5OPi=OPo-PoPi=-5

乙乙

111

第2次P$2=R0P2=。3+=1-2+R

1111

第3次

P2P3=至0P3=0P2-P2P3=1.2+丞一承

11111

第4次P3P4=240P4=0P3+23P4=1-2十丞一下十7

第5次

?????????

（2）小明對(duì)線段on的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡(jiǎn)：

因?yàn)?24=一*+%

所以2。&=2（1-：+套一套+最）=2—1+＞會(huì)+*

兩式相加，得30P4=2+弟

所以°04=：+表,

請(qǐng)你參考小明的化簡(jiǎn)方法，化簡(jiǎn)。尸5的表達(dá)式.

⑶類比猜想：P…,。匕=，隨著取中點(diǎn)次數(shù)〃的不斷增大，。匕的長(zhǎng)最

終接近的值是.

4.(2023上?安徽阜陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末)在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小軒同學(xué)借助于兩根小木棒m、九研究

數(shù)學(xué)問題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點(diǎn)力、B、C、。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b、3、8,

已知|a+5|+(b+l)?=0

A

mBC〃。

038

Q)求a和b的值:

⑵若小軒把木棒m沿工軸正方向移動(dòng)，ni的速度為4個(gè)單位/s,設(shè)平移時(shí)間為t(s),在平移過程中原點(diǎn)。恰好

是木棒m的中點(diǎn)，求/的值；

⑶若小軒把木棒71與m同時(shí)沿“軸正方向移動(dòng)，771的速度為4個(gè)單位/s,"的速度為3個(gè)單位s,設(shè)平移時(shí)間

為t(s).在平移過程中，當(dāng)木棒m、幾重疊部分的長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求t的值.

5.(2023下?江蘇淮安?七年級(jí)校考階段練習(xí))數(shù)軸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與

形完美結(jié)合.研究數(shù)軸我們可發(fā)現(xiàn)許多重要的規(guī)律：

①絕對(duì)值的幾何意義：一般地，若點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為小b,那么A、B兩點(diǎn)之間的距離

表示為|。-方|,記作|3-1|則表示數(shù)3和1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；又如|3+1|=|3

-(-1)|,所以|3+1|表示數(shù)3和-1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；

②若數(shù)軸上點(diǎn)4、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b,那么線段A8的中點(diǎn)M表示的數(shù)為手.

請(qǐng)借用數(shù)軸和以上規(guī)律解決下列問題：

如圖，已知數(shù)軸上有A、8兩點(diǎn)，分別表示的數(shù)為?10,6,點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿

數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度從點(diǎn)8出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一

個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒(r>0).

AOB

--?-----------------1----------1----?

-1006X

(1)A、B兩點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；線段A8的中點(diǎn)M所表示的數(shù)為：

(2)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)1秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為；點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)/秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為.(用含

，的式子表示)

(3)P、。兩點(diǎn)經(jīng)過多少秒會(huì)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度？

⑷在點(diǎn)P、。運(yùn)動(dòng)過程中，0、P、。三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出此時(shí)/

的值.

6.（2023上?江蘇南通?七年級(jí)校聯(lián)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

如圖1,公元前300年前后，歐兒里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，稱為最早的有關(guān)黃金分

割的論著.黃金分割是指把一條線段分割成兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大部分的

比值.如圖2,在線段43上找一點(diǎn)C,把線段分成AC和C8兩段，其中4c是較短的一段.如果AC:CB=

CBAB.那么稱線段48被點(diǎn)C黃金分割，。叫做線段43的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值叫做黃金分割數(shù)，約為0.618,

即=0.618BC,BC=0.618AB.

完成以下任務(wù)：

⑴如圖2,線段被點(diǎn)C黃金分割.若A8氏為10cm,求AC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（2）如圖3,一根一側(cè)燒毀的木棒工件（粗度不計(jì)），在它的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)C,。處鉆有小孔.若量得C,

D間的距離約為23.6cm,求木棒4B的原長(zhǎng)度.

圖3

7.（2023上?河北滄州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）七（1）班的學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)“線段中點(diǎn)〃內(nèi)容時(shí)，得到一個(gè)很有意思

的結(jié)論，請(qǐng)跟隨他們一起思考.

（1）發(fā)現(xiàn)：

如圖1,線段=12,點(diǎn)C,E,5在線段上，當(dāng)點(diǎn)瓦戶是線段4。和線段BC的中點(diǎn)時(shí)，線段"的長(zhǎng)為

;若點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上，其他條件不變（請(qǐng)?jiān)趫D2中按題目要求將圖補(bǔ)充完整），得到的

線段EF與線段A8之間的數(shù)量關(guān)系為.

AECFBA3

圖1R2

（2）應(yīng)用:

如圖3,現(xiàn)有長(zhǎng)為40米的拔河比賽專用繩/氏其左右兩端各有一段（/C和BO）磨損了，磨損后的麻繩不

再符合比賽要求.已知磨損的麻繩總長(zhǎng)度不足20米.小明認(rèn)為只利用麻繩48和一把剪刀（剪刀只用于剪斷

麻細(xì)）就可以得到一條長(zhǎng)20米的拔河比賽專用繩￡￡小明所在學(xué)習(xí)小組認(rèn)為此法可行，于是他們應(yīng)用“線

段中點(diǎn)”的結(jié)論很快做出了符合要求的專用繩E尸，請(qǐng)你嘗試著“復(fù)原”他們的做法：

①在圖中標(biāo)出點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置，并簡(jiǎn)述畫圖方法；

②請(qǐng)說明①題中所標(biāo)示E,尸點(diǎn)的理由.

ACDB

專題4.8線段中的四種常見思想方法

【華東師大版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)線段中的四種常見思想方法的理

解！

【題型1整體思想】

1.(2023上?江蘇徐州?七年級(jí)?？计谀?如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=10,第一次操

作：分別取線段和4N的中點(diǎn)Mi、M；第二次操作：分別取線段力Mi和4N]的中點(diǎn)M2,代；第三次操作:

分別取線段AM2和力牝的中點(diǎn)M3,?。?..連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和

M[N]+M2N2+…+M2023N2023=()

?????II??

AN、M、MM,N、MiNM

A.10+嬴B.10+島C.10一短D.10一島

【答案】C

【分析】根據(jù)MN=10,%、M分別為力M、AN的中點(diǎn)，求出MN】的長(zhǎng)度,再由的長(zhǎng)度求出M2%的

長(zhǎng)度，找到M〃N〃的規(guī)律即可求出MiM+M2N2+…+M2023N2023的值.

【詳解】解：0M/V=10,Mi、N：分別為力M、AN的中點(diǎn)，

ElM[Ni=AM1-ANX=^AM-^AN=^(AM-AN)=：MN=1x10=5,

13M2、N2分別為AMi、AN1的中點(diǎn),

0M2/V2=AM2-AN2_14Ni=：G4M]-AN^=^M1N1=|x5=|,

13M3、N3分別為AM?、AN2的中點(diǎn),

回

M3N3=AM3-AN3=^AM2-^AN2=^(AM2-AN?)=1M2A/2=1x!

由此可得：MnNn=蔡，

圖MiM+M2N2+…+M2023N2023=5+升靠+???+島=10x+募+…+康）=10x（1-占）=

1。-嬴

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，相對(duì)較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.(2023上?安徽蚌埠?七年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，C,0是線段48上兩點(diǎn)，M,N分別是線段40,8C的

中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若40=8M,則/IB=38。；②若=貝必M=BN：(3)AC-BD=

2(MC-DN)；@2MN=AB-CD.其中正確的結(jié)論是()

AMC-D■-NB

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段的和差結(jié)合圖形進(jìn)行分析.

【詳解】解：圓M,N分別是線段HO,8c的中點(diǎn)，

斯M=M。"枚BN=CN=：BC,

如圖

AM~~C_D-NB

①若40=BM,

I34M+MD=MO+80,

團(tuán)/M=BD,

^AD=2AM=2BD,

^AD=2BD,

=AD+BD=3BD,故①正確；

②若AC=BD,

(MD=BC,

OM、N分別是線段BC的中點(diǎn)，

國*AD,BN/BC,

國AM=BN,故②正確；

(L4c-BD=(AC+CD)-(CD+BD)=AD-BC,

團(tuán)AC-BD=2MD-2CN=2KMe+CD)-(CD+D/V)]=2(MC-DN),故③正確；

回2MN=2MC+2CN,MC=MD-CD,

(32MN=2(MD-CD)+2CN=2(MD-CD+CN),

團(tuán)MD=-AD,CN=-BC,

22

(32MN=2(^AD+^BC-CD)=AD-CD+BC-CD=AC+BD=AB-CD,

故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段的和差，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解一些線段之間的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

3.(2023上?福建泉州?七年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，C,。是線段/W上兩點(diǎn)，M,N分別是線段4。，的

中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若力M=BN,則力C=BD；②若A8=380,則AO=BM：@AB-CD=2MN；@AC-

BD=3(MC-DN).其中正確的結(jié)論是(填序號(hào)).

AM~C~DNB

【答案】①②③

【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段之間的和差關(guān)系進(jìn)行分析，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：①團(tuán)M，N分別是線段40,的中點(diǎn)，

(3AM=

22

團(tuán)4M=BN,

碎4。=-BC,即力。=BC,

22

團(tuán)4D-CD=BC-CD,

a4c=BD,

故①正確，符合題意；

②(MB=3BD,

團(tuán)AD=AB-BD=3BD-BD=2BD,

團(tuán)M是線段4。的中點(diǎn)，

⑦AM=-AD=BD,

2

團(tuán)BM=AB-AM=3BD-BD=2BD,

團(tuán)4D=BM,

故②正確，符合題意；

③0M,N分別是線段為D,BC的中點(diǎn),

0DW=^AD,CN=沏，

回MN=DM+CN-CD=-AD+-BC-CD,

22

整理得：2MN=AD+BC-2CD,^2MN=AB-CD,

故③正確，符合題意；

④EL4c=AM+CM=^AD+CM.BD=BN+DN=：BC+DN,

助C-BD=(^AD+CM)-+DN)=^(AD-BC)+(CM-DN),

團(tuán)204c-BD)=(AD-BC)+2(CM-DN),

^AC-BD=2(MC-DN),

故④不正確，不符合題意；

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握中點(diǎn)的定義，根據(jù)圖形，分析線段之間的和

差關(guān)系.

4.(2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)N分別是AC,的中點(diǎn).

■■R1I

AMCNB

(1)若AC=9cm,CB=6cm,則線段MN的長(zhǎng)為cm：

(2)若AC=acni.CB=bcm,則線段MN的長(zhǎng)為cm：

(3)若A8=mcm,求線段MN的長(zhǎng)度：

(4)若點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)，且AB=7icm,其他條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？并用一句簡(jiǎn)潔的

話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【拓展提問】若將例題中的“點(diǎn)C在線段48上〃改為“點(diǎn)C在線段4B的延長(zhǎng)線上〃，其他條件不變，(3)中結(jié)

論還成立嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

【答案】(1)熱⑵等；(3)MN=Imcm：(4)MN=)cm,描述見解析；【拓展提問】AIN=￡cm成

立，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì),AC=9cm,CB=6cm,得到CM=gem,CN=3cm,得到MN=^cm；

(2)根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，AC=acm,CB=bcm,CM=^cm,,CN=?cm得到MN二^^cm；

(3)根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，得到MC=，4C,CN=^BC,根據(jù)AB=mem,得到MN=—cm；

(4)猜想MN=1cm，結(jié)論：若點(diǎn)C為線段一點(diǎn)，且點(diǎn)川?上M,N分別是4C,8。的中點(diǎn)，則MN=：48：

拓展提問：當(dāng)點(diǎn)。在線段48的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，得到MC=\AC,CN=\BC.根據(jù)MN=MC-

CN,得到MN=1cm.

【詳解】(1)(3點(diǎn)加，N分別是AC,BC的中點(diǎn)，AC=9cm,CB=6cm,

回CM=-2AC=-2cm?2CN=-BC=3cm,

0M/V=CM+C/V=ycm；

故答案為：y;

(2)回點(diǎn)用，N分別是AC,BC的中點(diǎn)，AC=acm,CB=bcm,

BCM=-71C=-cm,CN=-BC=-cm,

2222

團(tuán)MN=CM+CN=—cm：

2

故答案為：~

(3)回點(diǎn)M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),

^MC=-2AC,2CN=-BC,

國MN=MC+CN,AB=mcm,

?MN=-(AC+BC)=-AB=-cm：

222

(4)猜想：MN==^cm：

結(jié)論：若點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，則MN=；A&

【拓展提問】MN=/cm成立.理由：

當(dāng)點(diǎn)C在線段48的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

[1111

AMBNC

回點(diǎn)MN分別是AC,8c的中點(diǎn)，

0MC=-271C,2CN=-BC,

團(tuán)MN=MC-CN,

0M/V=-（AC-BC）=-AB=-cm.

222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差.熟練掌握中點(diǎn)性質(zhì)，線段的和差關(guān)系，是解決問題的

關(guān)鍵.

5.（2023上?福建廈門?七年級(jí)JI門市湖濱中學(xué)校考期末）如圖已知線段48、CD,

IIIIII

cMABND

⑴線段48在線段CD上（點(diǎn)C、人在點(diǎn)4的左側(cè)，點(diǎn)。在點(diǎn)。的右側(cè)）

①若線段｛8=6,CD=14,M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

②M、N分別為4。、BD的中點(diǎn),求證：MN=/AB+CD）

⑵線段CO在線段A8的延長(zhǎng)線上，M、N分別為AC、8。的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形，直接

寫出結(jié)論

【答案】（d①］。，②見解析

（2）不成立，見解析

【分析】（1）①利用CD—4B求出4C+8D的值，利用中點(diǎn)平分線段，得到=1力。,BN=再利

用MN=4M+4B+8N=/4C+BD）+48,即可得解；②利用中點(diǎn)平分線段，得到AM=8N=

進(jìn)而得至IL4M+8N=*4C+8D）=/CD-/1B）,再利用MN=/1M+力8+8N,即可得證；

（2）分。點(diǎn)在。點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的右側(cè)，C點(diǎn)在。點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的左側(cè)，以及。點(diǎn)在C點(diǎn)的左側(cè),

三種情況分類討論，求解即可.

【詳解】（1）解：①EL48=6,CD=14,

^AC+8D=CD—力B=8,

團(tuán)M、N分別為AC、80的中點(diǎn)，

134M=-AC,BN=-FD,

22

回MN=AM+AB+BN=-（AC+BD）+AB=-x84-6=10；

22

②由M、N分別為AC、8。的中點(diǎn),

回AM=-AC,BN=-BD,

22

^AC+BD=CD-AB,

團(tuán)4M+BN=^AC+BD)=^(CD-AB),

團(tuán)MN=AM+AB+BN=^(CD-AB)+AB=：(CD+AB):

(2)不成立；

回M、N分別為4C、BD的中點(diǎn)，

?AM=MC=-AC,BN=ND=-BD

22f

①當(dāng)C點(diǎn)在。點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖：

IIII1I

AMBCND

或

IIIIII

ABMCND

MN=MC+CN

=MC+BN-BC

—AC+；BD-BC

11

=-(AB+BC)+-(FC+CD)-BC

=^AB+CD);

②當(dāng)C點(diǎn)在。點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如圖：

IIIIII

ABMNCD

或

I11III

AMBNCD

MN=AD-AM-DN

11

=AD——AC——BD

22

=AD-^(AD-CD)-^(AD-AB)

=；(4B+C0)；

③當(dāng)。點(diǎn)在C點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：

ABMNDC

或

IIIIII

AMBNDC

MN=CM-CN

=iAC-(CD+DN)

L

=g(/IB+80+CD)-(CD+^BD^

=^AB-CD)；

綜上：MN=/力8+CD)或其力8-。。)；故結(jié)論不成立.

【點(diǎn)睛】本題考查線段之間的和與差.正確的識(shí)圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.注

意分類討論.

6.(2023上?吉林白城?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，線段48=24,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速

度沿射線運(yùn)動(dòng)，M為人尸的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X秒.

⑴一秒后，PB=2AM.

⑵當(dāng)P在線段4