平面幾何中相交線與平行線練習題集一、核心知識點回顧要解決相交線與平行線的問題，需熟練掌握以下概念與定理：（一）相交線相關對頂角：兩條直線相交形成的對頂角相等（如\(\angleAOC\)與\(\angleBOD\)）。鄰補角：有一條公共邊且另一邊互為反向延長線的兩個角，和為\(180^\circ\)（互補）。垂直：兩條直線相交成\(90^\circ\)時互相垂直，垂足為交點；垂線段最短，點到直線的距離是指垂線段的長度。（二）平行線相關平行公理：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。判定定理：同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，兩直線平行。性質定理：兩直線平行，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補。平移：圖形平移后，對應點連線平行且相等，對應線段、對應角分別相等。二、練習題集（一）基礎鞏固篇1.相交線與垂直（1）如圖，直線\(AB\)、\(CD\)相交于點\(O\)，\(\angleAOC=50^\circ\)，則\(\angleBOD=\boldsymbol{\_\_\_}\)，\(\angleAOD=\boldsymbol{\_\_\_}\)。（2）已知\(AB\perpCD\)，垂足為\(O\)，且\(\angleAOC=2\angleBOC\)，求\(\angleAOC\)的度數(shù)。（3）點\(P\)到直線\(l\)的距離是指（）A.點\(P\)到直線\(l\)的垂線的長度B.點\(P\)到直線\(l\)的垂線段的長度C.點\(P\)到直線\(l\)的線段的長度D.點\(P\)到直線\(l\)的垂線段2.平行線的判定與性質（4）如圖，\(\angle1=\angle2\)，判斷直線\(a\)、\(b\)的位置關系，并說明理由。（5）已知\(a\parallelb\)，\(\angle3=70^\circ\)，求\(\angle4\)的度數(shù)（圖中\(zhòng)(\angle3\)與\(\angle4\)為內錯角）。（6）下列圖形中，由\(AB\parallelCD\)能推出\(\angle1=\angle2\)的是（）（二）能力提升篇1.角度計算綜合（7）如圖，直線\(AB\)、\(CD\)相交于\(O\)，\(OE\)平分\(\angleAOC\)，\(\angleBOE=140^\circ\)，求\(\angleBOD\)的度數(shù)。（8）已知\(AB\parallelCD\)，\(\angleB=50^\circ\)，\(\angleD=120^\circ\)，求\(\angleBED\)的度數(shù)（提示：過\(E\)作\(AB\)的平行線）。2.判定與性質綜合證明（9）如圖，\(\angle1+\angle2=180^\circ\)，\(\angle3=\angleB\)，求證：\(DE\parallelBC\)。（10）已知：\(AD\perpBC\)，\(EG\perpBC\)，\(\angleE=\angle3\)，求證：\(AD\)平分\(\angleBAC\)。3.平移的應用（11）一個圖形經(jīng)過平移后，對應點所連線段長為\(5\\text{cm}\)，則平移的距離為\(\boldsymbol{\_\_\_}\\text{cm}\)。（12）如圖，將\(\triangleABC\)沿\(BC\)方向平移得到\(\triangleDEF\)，若\(BC=5\)，\(EC=2\)，則平移的距離為\(\boldsymbol{\_\_\_}\)。（三）綜合應用篇（13）在四邊形\(ABCD\)中，\(AB\parallelCD\)，\(\angleA=\angleC\)，求證：\(AD\parallelBC\)。（14）某小區(qū)公路旁需建公共汽車站，使\(A\)、\(B\)兩村到車站的距離之和最小。請用軸對稱知識確定車站位置（畫圖并說明理由）。（15）如圖，\(AB\parallelCD\)，\(\angleEAF=\frac{1}{3}\angleEAB\)，\(\angleECF=\frac{1}{3}\angleECD\)，求證：\(\angleF=\frac{2}{3}\angleE\)。三、答案與解析（一）基礎鞏固篇1.（1）解析：對頂角相等，故\(\angleBOD=\angleAOC=50^\circ\)；鄰補角互補，\(\angleAOD=180^\circ-50^\circ=130^\circ\)。答案：\(50^\circ\)；\(130^\circ\)（2）解析：設\(\angleBOC=x\)，則\(\angleAOC=2x\)。由\(AB\perpCD\)知\(\angleAOC+\angleBOC=90^\circ\)，即\(2x+x=90^\circ\)，解得\(x=30^\circ\)，故\(\angleAOC=60^\circ\)。答案：\(60^\circ\)（3）解析：點到直線的距離是垂線段的長度（非垂線段本身）。答案：B2.（4）解析：\(a\parallelb\)。理由：\(\angle1\)與\(\angle2\)是同位角，同位角相等，兩直線平行。（5）解析：\(a\parallelb\)，內錯角相等，故\(\angle4=\angle3=70^\circ\)。答案：\(70^\circ\)（6）解析：選項需滿足\(AB\parallelCD\)時，\(\angle1\)與\(\angle2\)為內錯角或同位角（結合圖形分析，正確選項通常為“Z”型內錯角結構）。（二）能力提升篇1.（7）解析：設\(\angleAOC=2x\)（因\(OE\)平分\(\angleAOC\)，故\(\angleAOE=x\)）。由\(\angleBOE=140^\circ\)，且\(\angleAOE+\angleBOE=180^\circ\)（鄰補角），得\(x+140^\circ=180^\circ\)，解得\(x=40^\circ\)，故\(\angleAOC=80^\circ\)。對頂角相等，\(\angleBOD=\angleAOC=80^\circ\)。答案：\(80^\circ\)（8）解析：過\(E\)作\(EF\parallelAB\)，則\(EF\parallelCD\)（平行于同一直線的兩直線平行）。由\(AB\parallelEF\)得\(\angleBEF=\angleB=50^\circ\)；由\(CD\parallelEF\)得\(\angleDEF+\angleD=180^\circ\)（同旁內角互補），故\(\angleDEF=60^\circ\)。因此\(\angleBED=\angleBEF+\angleDEF=50^\circ+60^\circ=110^\circ\)。答案：\(110^\circ\)2.（9）證明：\(\because\angle1+\angle2=180^\circ\)（已知），\(\thereforeAB\parallelEF\)（同旁內角互補，兩直線平行）。\(\therefore\angle3=\angleADE\)（兩直線平行，內錯角相等）。又\(\angle3=\angleB\)（已知），\(\therefore\angleADE=\angleB\)（等量代換）。\(\thereforeDE\parallelBC\)（同位角相等，兩直線平行）。（10）證明：\(\becauseAD\perpBC\)，\(EG\perpBC\)（已知），\(\thereforeAD\parallelEG\)（垂直于同一直線的兩直線平行）。\(\therefore\angleE=\angleBAD\)（兩直線平行，同位角相等），\(\angle3=\angleCAD\)（兩直線平行，內錯角相等）。又\(\angleE=\angle3\)（已知），\(\therefore\angleBAD=\angleCAD\)（等量代換）。\(\thereforeAD\)平分\(\angleBAC\)（角平分線定義）。3.（11）解析：平移距離等于對應點所連線段的長度。答案：\(5\)（12）解析：平移距離為\(BE=BC-EC=5-2=3\)（或\(CF=3\)）。答案：\(3\)（三）綜合應用篇13.證明：\(\becauseAB\parallelCD\)（已知），\(\therefore\angleA+\angleD=180^\circ\)（兩直線平行，同旁內角互補）。又\(\angleA=\angleC\)（已知），\(\therefore\angleC+\angleD=180^\circ\)（等量代換）。\(\thereforeAD\parallelBC\)（同旁內角互補，兩直線平行）。14.解析：作\(A\)關于公路的對稱點\(A'\)，連接\(A'B\)交公路于點\(P\)，則\(P\)為車站位置（理由：軸對稱中，\(AP=A'P\)，故\(AP+BP=A'P+BP=A'B\)，根據(jù)“兩點之間線段最短”，此時和最小）。15.證明：設\(\angleEAF=x\)，則\(\angleEAB=3x\)，故\(\angleFAB=2x\)；設\(\angleECF=y\)，則\(\angleECD=3y\)，故\(\angleFCD=2y\)。過\(E\)作\(EM\parallelAB\)，過\(F\)作\(FN\parallelAB\)，則\(EM\parallelCD\)，\(FN\parallelCD\)（平行于同一直線的兩直線平行）。由\(EM\parallelAB\)得\(\angleE=\angleEAB+\angleECD=3x