人教九上數(shù)學(xué)情境課堂教學(xué)課件第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第2課時配方法主題情境·柜子刷漆1.理解并掌握配方法的一般步驟.2.能根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點熟練、靈活地運用配方法解一元二次方程.某小區(qū)計劃設(shè)置一塊面積為1200m2的矩形綠地，并且長比寬多40m.這塊綠地的長、寬各為多少？解：設(shè)矩形綠地的寬為xm，則長為(x+40)m，根據(jù)長方形面積公式，可得

x(x+40)=1200不能直接通過降次解方程能否將方程轉(zhuǎn)化為可以直接降次的形式再求解呢？觀察

等式左邊的常數(shù)項和一次項系數(shù)有什么關(guān)系？對于形如x2+ax的式子，如何配成完全平方式？(1)x2+2x+___=(

)2；(2)x2+8x+___=(x+____)2.12424x+1一半一半通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，對于二次項系數(shù)為1的單字母二次三項式，將常數(shù)項配成一次項系數(shù)一半的平方時，可得完全平方式.x2+ax+()2=(x+)2對于形如x2+ax的式子，不妨猜測：

.x2+6x=-4x2+6x+9=-4+9(x+3)2=5降次(直接開平方法)解：x2+6x+4=0移項兩邊加9二次項系數(shù)是1即

使左邊配成x2+2bx+b2的形式左邊寫成完全平方形式配一次項系數(shù)一半的平方x+3=x+3=

，或

x+3=解一次方程

可以驗證，-3±

是方程x2+6x+4=0的兩個根.探究

嘗試用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解方程x2+6x+4=0.歸納總結(jié)

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.

基本思路：將一般式

ax2+bx+c=0(a≠0)轉(zhuǎn)化為(x+n)2=p的形式，再通過直接開平方法(降次)，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．

核心思想：配方是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程.問題解決

某小區(qū)計劃設(shè)置一塊面積為1200m2的矩形綠地，并且長比寬多40m.這塊綠底的長、寬各為多少？解：設(shè)矩形綠地的寬為xm，則長為(x+40)m，根據(jù)長方形面積公式，可得，

x(x+40)=1200.化簡，得

x2

+40x=1200.配方，得

x2

+40x+(20)2=1200+(20)2，(x+20)2=1600.由此可得

x+20=±40，x1=20，x2=-60.根據(jù)問題的實際意義，矩形綠地的寬為20m，則這塊綠地的長為(20+40)=60m.(1)x2-8x+1=0解：移項，得x2－8x=－1，由此可得配方，得x2－8x+(4)2=－1+42，(x－4)2=15即分析：方程的二次項系數(shù)為1，直接運用配方法.例

解下列方程：(2)2x2+1=3x分析：先把方程化為2x2-3x+1=0.它的二次項系數(shù)為2，為了便于配方，需將二次項系數(shù)化為1，為此方程兩邊都除以2.解：移項，得2x2－3x=－1，二次項系數(shù)化為1，得配方，得由此可得例

解下列方程：(3)3x2-6x+4=0例

解下列方程：分析：與(2)類似，將二次項系數(shù)化為1后再配方.解：移項，得二次項系數(shù)化為1，得配方，得因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以

x取任何實數(shù)時，(x-1)2都是非負數(shù)，上式都不成立，即原方程無實數(shù)根．變式

應(yīng)用配方法求最值：(1)2x2-4x+5的最小值；

(2)-3x2+6x-7的最大值.解：原式

=2(x2

-2x)

+5

=2(x2

-2x+1)-2

+5

=2(x-1)2+3當(dāng)x=1時，有最小值3.解：原式=-3(x2

-2x)

-7=-3(x2

-2x+1)+3

-7=-3(x-1)2-4

當(dāng)x=1時，有最大值-4.思考

將一元二次方程通過配方法轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p形式后，它的根和

p有什么關(guān)系？

一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成

(x+n)2=p(Ⅱ)的形式，那么就有：(1)當(dāng)

p＞0時，方程(Ⅱ)有兩個不等的實數(shù)根：(2)當(dāng)

p=0時，方程(Ⅱ)有兩個相等的實數(shù)根：(3)當(dāng)

p＜0時，因為對任意實數(shù)x，都有(x+n)2≥0，所以方程(Ⅱ)無實數(shù)根.配方法解一元二次方程的步驟：一移，化成一般式，把常數(shù)項移到等號右邊；二化，二次項系數(shù)化為1(等式兩邊同時除以二次項系數(shù))；三配，等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；四寫，方程寫成(x+n)2=p的形式；五開，將等式兩邊直接開平方；六解，解一元一次方程；七定，寫出原方程的根.注意：移項要改變符號注意：p≥0，才有根.歸納總結(jié)類別解題策略求最值或證明代數(shù)式的值恒為正(或負)對于一個關(guān)于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n為常數(shù)，當(dāng)a＞0時，可知其最小值；當(dāng)a＜0時，可知其最大值.利用配方構(gòu)成非負數(shù)和的形式對于含有多個未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是配方成多個完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負數(shù)的和為0，各項均為0，從而求解.如：a2＋b2-4b＋4=0，則a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.歸納總結(jié)配方法的應(yīng)用1.

(2023新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是()A.(x+6)2

=28

B.(x-6)2

=28

C.(x+3)2

=1

D.(x-3)2

=1D(1)x2-4x+3=-12.

用配方法解下列方程：(2)x2-x+1=25解：解：x2-4x+4=0(x

-2)2=0x1=x2=2(3)2x2-3x-1=12.

用配方法解下列方程：解：(4)x(x-4)=-8x+12

解：x2+4x=12x2+4x+4=16(x

+2)2=16x1=2，x2=-63.試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式k2－2k＋4的值必定大于零.解：k2－2k＋4=k2－2k＋1＋3=(k－1)2＋3因為(k－1)2≥0，所以(k－1)2＋3≥3.所以k2－2k＋4的值必定大于零.4.(解題方法型閱讀理解)【閱讀材料】若x2+y2＋8x-6y＋25=0，求x，y的值．解：(x2+8x+16)＋(y2-6y+9)=0，(x+4)2+(y-3)2=0，∴x+4=0，y-3=0.∴x=-4，y=3.【解決問題】(1)已知m2＋n2-12n＋10m＋61=0，求(m＋n)2023的值；解:(1)∵m2+n2-12n+10m+61=0，將61拆分為25和36，可得：(m2＋10m＋25)＋(n2-12n＋36)=0，根據(jù)完全平方公式得(m＋5)2＋(n-6)2=0，∴m＋5=0，n-6=0，∴m=-5，n=6，∴(m＋n)2023=(-5＋6)2023=1.(2)已知a，b，c是△ABC的三邊長，且b，c滿足b2+c2=8b+4c-20，a是△ABC中最長的邊，求a的取值范圍.(2)∵b2

+

c2

=

8b

+

4c

-

20，∴b2

+

c2

-

8b

-

4c

+

20

=

0，將20拆分為16和4，可得(b2-8b+16)+(c2-4c+4)=0，根據(jù)完全平方公式得(b-4)2+(c-2)2=0,∴b

-

4

=

0，c

-

2

=

0，∴b

=

4，c

=

2.在△ABC中，b

-

c<

a

<

b

+

c，即2

<

a

<