題型六

幾何探究題2025湖北數(shù)學(xué)1.

如圖，在矩形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的一個動點，連接EF，將矩形紙片沿EF折疊，點A，B的對應(yīng)點分別為點H，G.(1)如圖①，若點G落在AD邊上，判斷△EFG的形狀，并說明理由；類型一

與折疊有關(guān)的探究(2024省卷23題)解：(1)△EFG是等腰三角形，理由如下：由折疊的性質(zhì)，得∠GFE＝∠BFE，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，幾何畫板動態(tài)演示∴∠DEF＝∠BFE，∴∠DEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∴△EFG是等腰三角形；(2)如圖②，若點G落在對角線BD上，當(dāng)AB與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，使得HG與AC始終平行；

O

O

(3)如圖③，若點E為AD的中點，此時點G落在矩形紙片的外部，連接AH，HC，當(dāng)AB＝4，BC＝6時，求四邊形ABCH面積的最大值.解圖②

解圖②

解圖②2.

如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，E是邊AB上一點，H是邊CD上一點，連接EH，將四邊形AEHD沿EH所在直線折疊，點A和點D的對應(yīng)點分別為點F和點G.(1)如圖①，當(dāng)點F落在BC邊上時，延長EF至點M，連接GM，求證：∠MFG＝60°；

(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°.由折疊的性質(zhì)得∠EFG＝∠EAD＝120°，∴∠MFG＝180°－∠EFG＝60°；(2)當(dāng)GF過點C時.①如圖②，若CF＝2，求DH的長；(2)①解：如解圖①，過點H作HK⊥CG于點K.∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴CD＝AB＝6，∠D＝60°，由折疊的性質(zhì)得FG＝AD＝6，GH＝DH，∠G＝∠D＝60°，解圖①

解圖①②如圖③，若EF⊥AB，求CG的長.②解：如解圖②，延長AB，交GF的延長線于點Q.∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠A＝120°.由折疊的性質(zhì)得∠EFG＝∠A＝120°，F(xiàn)G＝AD＝6，EF＝AE，∴∠EFQ＝180°－∠EFG＝60°.∵EF⊥AB，∴∠Q＝90°－∠EFQ＝30°，∴∠BCQ＝∠ABC－∠Q＝30°，解圖②

解圖②3.(2024咸寧模擬)綜合探究：在△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌鹊玫健鰽DE，連接BD，CE，BD的延長線交CE于點M.(1)如圖①，當(dāng)點D落在邊AC上時，證明：ME＝MC；類型二

與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究(模擬演練23題)

(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠ABD＝∠ADB，∠ACE＝∠AEC，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ADB＝∠MDC，∴∠MDC＝∠ACE，∴MD＝MC，∵∠MDC＋∠EDM＝∠ACE＋∠DEC＝90°，∴∠EDM＝∠DEC，∴MD＝ME，∴ME＝MC；(2)如圖②，當(dāng)點D不落在邊AC上(在AC上方)時，AC，BM交于點N，請?zhí)骄縀M＝MC是否還成立？寫出探究過程；(2)解：成立探究過程：如圖，過點C作CF∥DE交BM的延長線于點F，連接EF，DC，∴∠BFC＝∠EDF，∵把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌鹊玫健鰽DE，∴△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE＝90°，BC＝DE，AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，F(xiàn)∴∠EDF＋∠ADB＝∠CBF＋∠ABD＝90°，∴∠CBF＝∠EDF，∴∠CFB＝∠CBF，∴BC＝CF，∴DE＝CF，∵DE∥CF，∴四邊形CDEF為平行四邊形，∴EM＝MC；F

(3)解：如圖，連接AM，∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠ABD＝∠ADB，∵DA⊥AC，即∠DAC＝90°，∴∠DBC＋∠ABD＝∠AND＋∠ADB＝90°，∴∠DBC＝∠AND，

4.

如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，D，E分別為邊AC，BC的中點，連接DE，將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn).(1)如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為2∠A時，設(shè)點D的初始位置為點F，連接BF，F(xiàn)D，試判斷四邊形BCDF的形狀，并說明理由；幾何畫板動態(tài)演示解：(1)四邊形BCDF是平行四邊形.理由如下：由題意得，F(xiàn)是AC的中點，∠ABC＝90°，∴BF＝AF＝FC，∴∠A＝∠ABF，∴∠BFC＝2∠A，由旋轉(zhuǎn)得∠DCF＝2∠A，F(xiàn)C＝CD，∴∠BFC＝∠DCF，∴BF∥DC，又∵BF＝FC＝CD，∴四邊形BCDF是平行四邊形；

②當(dāng)CE⊥BC時，連接BD，求線段BD的長；

解圖②

解圖③(3)如圖③，連接BE，AD交于點M，當(dāng)線段BE經(jīng)過線段CD的中點時，請直接寫出線段MD的長.

解圖④5.

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D是AB邊上一動點(不與點A重合)，連接CD，以CD為邊在CD右側(cè)作正方形CDEF，連接BE，BF.(1)若G為BC的中點，連接FG，求FG的最小值；類型三

與動點有關(guān)的探究解：(1)如解圖①，取AC的中點G'，∵G為BC的中點，AC＝BC，∴CG'＝CG，∵∠ACB＝∠DCF＝90°，G'G解圖①幾何畫板動態(tài)演示

G'G解圖①(2)求∠EBF的度數(shù)；

分情況討論如下：①如解圖②，當(dāng)點E在AB下方時，設(shè)BC交EF于點K，DB交EF于點L，∵∠DEL＝∠FBL＝90°，∠DLE＝∠FLB，∴∠LDE＝∠BFL，∴D，E，B，F(xiàn)四點共圓，∵四邊形CDEF為正方形，∴C，D，E，F(xiàn)四點共圓，∴C，F(xiàn)，B，E，D五點共圓，∴∠CFE＝∠CBE＝90°，∴∠EBF＝∠CBE＋∠CBF＝135°；解圖②KL②如解圖③，當(dāng)點E在AB上方時，設(shè)BC交DE于點O，∵∠DCF＝∠DBF＝90°，∴C，D，B，F(xiàn)四點共圓.∵四邊形CDEF為正方形，∴C，D，E，F(xiàn)四點共圓，∴C，D，B，E，F(xiàn)五點共圓，∴∠CDO＝∠CBE＝90°，∴∠EBF＝∠CBE－∠CBF＝45°，綜上所述，當(dāng)點D在線段AB上運(yùn)動時，∠EBF的度數(shù)為135°或45°；解圖③

H解圖④

H解圖④

DFE解圖①

(3)如圖③中，AB＝3，P在射線CA上，MN垂直平分CP，當(dāng)△PBM為直角三角形時，請直接寫出MN的長度

.

MPN解圖②PMN解圖③7.(2024蘭州)綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動點運(yùn)動的幾何問題.如圖，在△ABC中，點M，N分別為AB，AC上的動點(不含端點)，且AN＝BM.類型四

全國趨勢綜合與實踐——圖形變換實踐探究(山西、江蘇、山東、貴州等考查)(1)證明：∵M(jìn)A繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，∴AM＝MD，∠DMA＝120°.∵∠DMA＋∠DMB＝180°，∴∠DMB＝60°.∵△ABC為等邊三角形，∴∠MAN＝60°.∴∠MAN＝∠DMB＝60°.∵AN＝MB，∴△MAN≌△DMB(SAS).∴MN＝DB；【初步嘗試】(1)如圖①，當(dāng)△ABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，連接BD，則MN＝DB，請思考并證明；【類比探究】(2)小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AF⊥MN于點E，交BC于點F，將MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，連接DA，DB.試猜想四邊形AFBD的形狀，并說明理由；(2)解：四邊形AFBD為平行四邊形，理由如下：∵M(jìn)A繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，∴AM＝MD，∠DMA＝90°，∴∠DAM＝45°.∵∠DMA＋∠DMB＝180°，∴∠DMB＝90°.∵∠MAN＝90°，∴∠MAN＝∠DMB.∵AN＝MB，∴△MAN≌△DMB(SAS).∴∠ANM＝∠MBD.∵AE⊥MN，∴∠EAN＋∠ANM＝90°，∴∠EAN＋∠MBD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠EAN＝90°，∴∠MBD＝∠BAF，∴DB∥AF.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.∵∠DAM＝45°，∴∠ABC＝∠DAM.∴DA∥BF.∴四邊形AFBD為平行四邊形；【拓展延伸】(3)孫老師提出新的探究方向：如圖③，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，連接BN，CM，請直接寫出BN＋CM的最小值.

【解法提示】如解圖，將BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BG，即過點B作GB⊥BA于點B，GB＝BA，連接GM，∵GB⊥BA，∴∠GBM＝90°.∵∠BAN＝90°，∴∠BAN＝∠GBM.∵BM＝AN，

∴△GBM≌△BAN(SAS).

∴GM＝BN.連接GC交AB于點M'，∴BN＋CM＝GM＋CM≥GM'＋M'C＝GC(兩點之間線段最短).∴當(dāng)G，M，C三點共線時，GM＋CM有最小值，最小值為GC的長.延長CB，過點G作

GHM'解圖8.(2024貴州)綜合與探究：如圖，∠AOB＝90°，點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA于點A.(1)【操作判斷】如圖①，過點P作PC⊥OB于點C，根據(jù)題意在圖①中畫出PC，圖中∠APC的度數(shù)為

度；(1)解：如解圖①，PC即為所求線段，；90解圖①(2)【問題探究】如圖②，點M在線段AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N.求證：OM＋O