4.3.2角的比較與運(yùn)算1.理解角的概念，掌握角的表示方法.2.會比較角的大小，認(rèn)識角的常用度量單位，并能進(jìn)行簡單的換算，會計(jì)算角的和與差.3.理解角的平分線的概念，會用符號語言表示，4.了解余角和補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題.知識點(diǎn)一角的比較1.方法1(度量法)用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.如圖所示中的和,用量角器量得,,那么＜.2.方法2(疊合法)把兩個角的頂點(diǎn)和一邊分別重合，另一邊放在重合邊的同側(cè)，通過另一邊的位置關(guān)系比較大小.如圖所示，落在的內(nèi)部，那么小于,記作＜.如圖所示，落在的外部，那么小于,記作＜；如圖所示，和重合，那么等于,記作=.注意：角的度數(shù)大，角就大；角的度數(shù)小，角就小.反之，角大，角的度數(shù)就大；角小，角的度數(shù)就小.頂點(diǎn)重合，一邊重合(兩重合),另一邊落在重合邊的同側(cè)，然后進(jìn)行觀察比較.根據(jù)疊合法，我們可以用一副三角板畫出多個角，如15°的角，75°的角，105°的角等.比較角的大小，度量法具體準(zhǔn)確，而疊合法更直觀.即學(xué)即練（2024上·四川成都·七年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谀┤鐖D，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)重合擺放，若，則度；知識點(diǎn)二角的和、差、倍、分運(yùn)算1.角的和、差如圖所示，∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC-∠BOC.類似地，∠BOC=∠AOC-∠AOB.注意：一角的和與差仍是一個角，只不過是這個角的度數(shù)等于另外兩個角度數(shù)的和或差.2.一個角的幾倍及幾分之一(拓展)如果兩個∠1的和是∠2,那么∠2是∠1的2倍，記作∠2=2∠1,∠1是∠2的，記作∠1=∠2；如果三個∠1的和是∠3,那么∠3是∠1的3倍，記作∠3=3∠1,∠1是∠3的，,記作∠1=∠3等.注意：一個角可能有多種和、差的表示方法，應(yīng)根據(jù)條件適當(dāng)選取.3.角的度量單位之間的關(guān)系:，，.，，即學(xué)即練1（2025上·重慶南岸·七年級校考期末）（

）A． B． C． D．即學(xué)即練2（2024上·廣東韶關(guān)·七年級?？计谀┯?jì)算：．角度的加減乘除運(yùn)算技巧在角度的加法運(yùn)算中，我們可以把度與度、分與分、秒與秒單位上的數(shù)分別相加，然后把滿60秒的進(jìn)1分，再把滿60分的進(jìn)1度在角度的減法運(yùn)算中，同單位的數(shù)相減，不夠減時，應(yīng)向上一級單位“借1”,1°=60',1'=60”,然后再減.把一個角度擴(kuò)大幾倍(一個角度乘一個正整數(shù)),可借助乘法分配律的思想，把這個數(shù)分別與角度的度、分、秒單位上的數(shù)相乘，再把分、秒單位上滿60的數(shù)向上一位“進(jìn)1”.依照多位數(shù)除法，把一個角度除以一個數(shù)時先用度除以這個數(shù)，把余數(shù)部分乘60轉(zhuǎn)化為分單位上的數(shù)后再除以這個數(shù)，依次類推.知識點(diǎn)三角的平分線1.角的平分線的定義一般地，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線叫做這個角的平分線.2.角的平分線的性質(zhì)如圖所示，是的平分線，那么.或.注意：角平分線必須同時滿足三個條件：①從角的頂點(diǎn)引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已知角平分.即學(xué)即練（2024上·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在內(nèi)部，且，是的平分線，，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（寫序號）．

題型1角的單位與角度制例1（2025上·新疆烏魯木齊·七年級校考期末）把用度、分、秒表示正確的是（）A． B． C． D．舉一反三1（2025上·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）．舉一反三2（2024上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）用度表示為．舉一反三3（2025上·重慶江北·七年級字水中學(xué)?？计谀┯?jì)算：′．題型2角的度數(shù)大小比較例2（2024上·湖南長沙·七年級校聯(lián)考期末）比較大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）．舉一反三1（2024上·湖南長沙·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，，則（填“”、“”或“”）．舉一反三2（2025上·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）用“”、“”或“”填空：．舉一反三3（2025上·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段、點(diǎn)在正方形網(wǎng)格中，所有小正方形的邊長都相等．

利用畫圖工具畫圖：(1)①畫線段、；②延長線段到點(diǎn)，使；③畫直線．(2)線段與線段的大小關(guān)系是：______；(3)與的大小關(guān)系是：______．題型3角的比較例3（2017·七年級課時練習(xí)）在的內(nèi)部任取一點(diǎn)，作射線，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．舉一反三1（2024上·北京海淀·七年級校考期末）如圖，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．沒有量角器，無法確定舉一反三2如圖1，圖2所示，把一副三角板先后放在上，則的度數(shù)可能（

）

A． B． C． D．舉一反三3（2025下·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）若，則么．題型4三角板中角度計(jì)算問題例4（2024上·河南新鄉(xiāng)·七年級校考期末）兩個直角三角板按如圖所示的方式擺放，若，則．舉一反三1（2025上·吉林松原·七年級校聯(lián)考期末）將一副三角尺放在同一平面內(nèi)，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O．(1)如圖①，若，求、、的度數(shù)．(2)如圖①，你發(fā)現(xiàn)與的大小有何關(guān)系？與有何關(guān)系？直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．(3)如圖②，當(dāng)與沒有重合部分時，（2）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．舉一反三2（2024上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖放置，其中有部分重疊在一起，已知．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，其中，求的度數(shù)．（用含k的代數(shù)式表示）舉一反三3（2024上·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形的直角頂點(diǎn)在直線上，射線平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，將三角形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，將三角形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，試寫出和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型5幾何圖形中角度計(jì)算問題例5（2025上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三個大小相同的正方形的一個頂點(diǎn)重合放置，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．舉一反三1（2024上·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．舉一反三2（2025上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線在的內(nèi)部，是的平分線．若，則的度數(shù)是．舉一反三3（2024上·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）已知是的平分線，，是的平分線，則的度數(shù)為．題型6角度的四則運(yùn)算例6（2024上·江蘇南京·七年級南京鐘英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：舉一反三1（2024上·北京海淀·七年級?？计谀e一反三2（2025下·黑龍江哈爾濱·六年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果為．題型7實(shí)際問題中角度計(jì)算問題例7（2024上·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）定義：當(dāng)射線在內(nèi)部，時，我們稱為射線在內(nèi)的角值，記作．如圖1，若，，則，則．(1)如圖1，射線在內(nèi)部，若，則_________；若，則__________；(2)如圖2，已知，射線，分別從射線和同時開始旋轉(zhuǎn)，其中射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)到射線時，射線，停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)運(yùn)動時間為秒．①若射線，的運(yùn)動速度均為每秒，試用含的式子表示和，并直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系；②若射線，的運(yùn)動速度分別為每秒和，射線到達(dá)射線后立即以原速返回，則當(dāng)為何值時，?(3)如圖3，在鐘面內(nèi)有三條射線，和，分別指向12點(diǎn)，4點(diǎn)，8點(diǎn)．射線，同時從射線開始旋轉(zhuǎn)，其中射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時到射線停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)，當(dāng)射線運(yùn)動到的內(nèi)部時，請用含的式子表示．舉一反三1（2025下·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）如圖，已知，是的平分線，若，求的度數(shù).

舉一反三2（2025·江蘇泰州·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？计谀┢吣昙壣蟽浴稊?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》中有“三角尺拼角”的問題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫出，在實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；①設(shè)計(jì)用一副三角尺畫出角的畫圖方案，并畫出相應(yīng)的幾何圖形；②用一副三角尺能畫出的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫出的角平分線，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度．(3)如圖，現(xiàn)有角的三種模板，，，請?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，只用給出的一種模板畫出的角．小冬想出了一個方案，利用角模板畫出角，動手操作：如圖，M、O、N三點(diǎn)在一條直線上，將的頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，……，如此連續(xù)操作18次，再利用兩個平角等于一個周角，可得的角，即：．請從或角模板中選一個你認(rèn)為能畫出角的模板，設(shè)計(jì)一個方案，并說明理由．(4)對于任意一個（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板是否一定能畫出的角？請作出判斷，并說明理由．題型8角平分線的有關(guān)計(jì)算例8（2025上·廣東佛山·七年級西樵中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，O是直線上一點(diǎn)，過O作任意射線，平分，平分，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．不能確定舉一反三1（2025上·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D，是直角，平分，平分，，則的度數(shù)為．舉一反三2（2024上·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）【綜合探究】：如圖1，一副三角板如圖所示放置在直線上，，，，．三角板的頂點(diǎn)與另一個三角板的頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，三角板的邊與直線重合，三角板其它的邊都在直線的上方．【實(shí)踐探究】：（1）如圖2，若三角板不動，將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，經(jīng)過t秒時，三角板的邊恰好分．①此時_____秒；②此時___________；【解決問題】：（2）如圖2，在（1）的條件下，邊恰好平分時，同一時刻三角板開始也繞點(diǎn)O以每秒的速度按相同方向旋轉(zhuǎn)，那么再經(jīng)過多長時間邊與邊第一次重合？（如圖3）請說明理由；【拓展研究】：（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)邊與邊第一次重合時，兩個三角板同時按順時針方向再次轉(zhuǎn)動一周后停止，請問兩個三角板再次轉(zhuǎn)動后，經(jīng)過多少秒，邊恰好平分？請說明理由．舉一反三3（2025上·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）折紙中的數(shù)學(xué)我們在第四章《幾何圖形初步》中學(xué)習(xí)了角的平分線，并會用折紙的方法作角平分線．如圖是教材第135頁的探究，將紙片折疊使與重合，是折痕，此時與重合，所以，射線是的平分線．【知識初探】如圖（1），四邊形是一張正方形紙片，將正方形紙片沿對折，把正方形展平，再將和分別沿和折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，與重合，則__________度；__________度．【類比再探】如圖（2），將正方形紙片的沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)與點(diǎn)重合．猜想的度數(shù)，并說明理由．小官同學(xué)：猜想．理由如下：沿折疊，，沿折疊，，__________，__________．【拓展探究】如圖（3），在圖（2）的基礎(chǔ)．上將正方形紙片展平，然后將和分別沿和再折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處．猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．舉一反三4（2025上·甘肅武威·七年級校考期末）如圖，直線相交于點(diǎn)O，平分．平分，，求的度數(shù)．

題型9角n等分線的有關(guān)計(jì)算例9（2024上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)銳角的度數(shù)為，若一條射線平分，則圖中所有銳角的和為．若四條射線五等分，則圖中所有銳角的和為(

)A． B． C． D．4a舉一反三1（2025上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平分三等分，已知，求的度數(shù)．舉一反三2（2024上·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐【問題發(fā)現(xiàn)】在數(shù)學(xué)探究課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們結(jié)束角平分線的探究后，安排同學(xué)打自主探究角的三等分線．小明進(jìn)行了如下探究，如圖①，若射線，是的三等分線，則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”，靠近邊的射線是射線的“友好線”．(1)如圖②，，射線是射線的友好線，求的度數(shù)．(2)【問題探究】如圖③，，射線與射線重合并繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與射線重合時停止．問旋轉(zhuǎn)幾秒后，是的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，，射線，分別與射線，重合，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，是否存在某一刻恰好是的“友好線”，若存在，求出時間t秒；若不存在，請說明理由．一.單選題1．（2024上·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）已知，，則∠1與∠2的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定2．（2018上·北京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的大小可由量角器測得，則的大小為（）A． B． C． D．3．（2024上·陜西西安·七年級校考期末）如圖，已知的度數(shù)比少，若的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．4．（2025上·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，已知輪船A在燈塔P的北偏東方向，輪船B在燈塔P的南偏東方向，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．二.填空題1．（2024上·四川遂寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，且圖中所有角的和等于，則的度數(shù)為．2．（2025上·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）比較大?。海ㄓ茫?，＜或＝連結(jié)）3．（2025上·江蘇南京·七年級期末）如圖，一副三角板中，將一個三角板角的頂點(diǎn)與另一個三角板的直角頂點(diǎn)重合，如果，那么的大小是度．4．（2025上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，當(dāng)鐘表上時刻為上午正時，鐘表上時針與分針的夾角為度．

三.解答題1．（2024上·江蘇淮安·七年級校考期末）【新概念】如圖1，為內(nèi)一條射線，當(dāng)滿足時，我們把射線叫做射線、的m等個性線，記作．（其中m為正整數(shù)）【實(shí)際應(yīng)用】已知：O為直線上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作射線．(1)如圖2，將一個三角板（含、）直角頂點(diǎn)D放在O處，另兩條邊分別為，，當(dāng)是時，___________．（填“是”或“不是”）．(2)如圖3，將三角板的頂點(diǎn)E放在O處，那么當(dāng)是時，是否也是？請先猜想結(jié)果，再說明理由．(3)將圖3中的射線繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖4，此時存在正整數(shù)m使是的同時，也是，則___________，___________．2．（2024下·廣東茂名·七年級校聯(lián)考期中）將直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在直線上，射線平分．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)；(3)將直角三角板繞頂點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求的度數(shù)．

4.3.2角的比較與運(yùn)算1.理解角的概念，掌握角的表示方法.2.會比較角的大小，認(rèn)識角的常用度量單位，并能進(jìn)行簡單的換算，會計(jì)算角的和與差.3.理解角的平分線的概念，會用符號語言表示，4.了解余角和補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題.知識點(diǎn)一角的比較1.方法1(度量法)用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.如圖所示中的和,用量角器量得,,那么＜.2.方法2(疊合法)把兩個角的頂點(diǎn)和一邊分別重合，另一邊放在重合邊的同側(cè)，通過另一邊的位置關(guān)系比較大小.如圖所示，落在的內(nèi)部，那么小于,記作＜.如圖所示，落在的外部，那么小于,記作＜；如圖所示，和重合，那么等于,記作=.注意：角的度數(shù)大，角就大；角的度數(shù)小，角就小.反之，角大，角的度數(shù)就大；角小，角的度數(shù)就小.頂點(diǎn)重合，一邊重合(兩重合),另一邊落在重合邊的同側(cè)，然后進(jìn)行觀察比較.根據(jù)疊合法，我們可以用一副三角板畫出多個角，如15°的角，75°的角，105°的角等.比較角的大小，度量法具體準(zhǔn)確，而疊合法更直觀.即學(xué)即練（2024上·四川成都·七年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)校考期末）如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)重合擺放，若，則度；【答案】30【分析】本題主要考查了三角板中角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)，，得出，由此即可求解．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，∴，故答案為：30．知識點(diǎn)二角的和、差、倍、分運(yùn)算1.角的和、差如圖所示，∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC-∠BOC.類似地，∠BOC=∠AOC-∠AOB.注意：一角的和與差仍是一個角，只不過是這個角的度數(shù)等于另外兩個角度數(shù)的和或差.2.一個角的幾倍及幾分之一(拓展)如果兩個∠1的和是∠2,那么∠2是∠1的2倍，記作∠2=2∠1,∠1是∠2的，記作∠1=∠2；如果三個∠1的和是∠3,那么∠3是∠1的3倍，記作∠3=3∠1,∠1是∠3的，,記作∠1=∠3等.注意：一個角可能有多種和、差的表示方法，應(yīng)根據(jù)條件適當(dāng)選取.3.角的度量單位之間的關(guān)系:，，.，，即學(xué)即練1（2025上·重慶南岸·七年級?？计谀?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)度分秒的加法法則計(jì)算即可．【詳解】，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查度分秒的加減運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練2（2024上·廣東韶關(guān)·七年級?？计谀┯?jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握．角度的加減乘除運(yùn)算技巧在角度的加法運(yùn)算中，我們可以把度與度、分與分、秒與秒單位上的數(shù)分別相加，然后把滿60秒的進(jìn)1分，再把滿60分的進(jìn)1度在角度的減法運(yùn)算中，同單位的數(shù)相減，不夠減時，應(yīng)向上一級單位“借1”,1°=60',1'=60”,然后再減.把一個角度擴(kuò)大幾倍(一個角度乘一個正整數(shù)),可借助乘法分配律的思想，把這個數(shù)分別與角度的度、分、秒單位上的數(shù)相乘，再把分、秒單位上滿60的數(shù)向上一位“進(jìn)1”.依照多位數(shù)除法，把一個角度除以一個數(shù)時先用度除以這個數(shù)，把余數(shù)部分乘60轉(zhuǎn)化為分單位上的數(shù)后再除以這個數(shù)，依次類推.知識點(diǎn)三角的平分線1.角的平分線的定義一般地，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線叫做這個角的平分線.2.角的平分線的性質(zhì)如圖所示，是的平分線，那么.或.注意：角平分線必須同時滿足三個條件：①從角的頂點(diǎn)引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已知角平分.即學(xué)即練（2024上·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在內(nèi)部，且，是的平分線，，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（寫序號）．

【答案】①②④【分析】根據(jù)，，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)是的平分線，得到，再根據(jù)角之間的和差，倍數(shù)關(guān)系，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴；故①正確；∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴，∴，∵，∴，故③錯誤；∵，，∴；故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算．正確的識圖，理清角度之間的和差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．題型1角的單位與角度制例1（2025上·新疆烏魯木齊·七年級?？计谀┌延枚取⒎?、秒表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查度、分、秒的換算．運(yùn)用度、分、秒的換算方法運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．舉一反三1（2025上·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）．【答案】【分析】本題考查度分秒的換算、角的運(yùn)算，根據(jù)度分秒之間的進(jìn)率計(jì)算即可，熟練掌握度分秒之間的進(jìn)率是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．舉一反三2（2024上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）用度表示為．【答案】/度【分析】本題考查了度分秒的換算，從大單位到小單位要乘以進(jìn)率，而從小單位到達(dá)單位要除以進(jìn)率．根據(jù)度分秒的進(jìn)率為，再進(jìn)行換算即可．【詳解】解：，故答案為舉一反三3（2025上·重慶江北·七年級字水中學(xué)?？计谀┯?jì)算：′．【答案】【分析】本題主要考查角的計(jì)算，根據(jù)進(jìn)率（）轉(zhuǎn)換即可．【詳解】解：∵∴故答案為：．題型2角的度數(shù)大小比較例2（2024上·湖南長沙·七年級校聯(lián)考期末）比較大?。海ㄌ睢埃尽?、“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】將化為，再進(jìn)行比較即可得出答案．【詳解】解：，，，即，故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查度、分、秒換算，掌握度、分、秒的換算方法是得出正確的前提．舉一反三1（2024上·湖南長沙·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，，則（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】由，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了角的大小比較，熟練掌握度分秒之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2025上·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）用“”、“”或“”填空：．【答案】【分析】根據(jù)角度換算，將表示角度的兩種形式化統(tǒng)一再比較大小即可得到答案．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角度比較大小，熟練掌握角度換算是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三3（2025上·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段、點(diǎn)在正方形網(wǎng)格中，所有小正方形的邊長都相等．

利用畫圖工具畫圖：(1)①畫線段、；②延長線段到點(diǎn)，使；③畫直線．(2)線段與線段的大小關(guān)系是：______；(3)與的大小關(guān)系是：______．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）①連接、即可；②延長線段，截?。虎鬯髦本€經(jīng)過、即可；（2）量出線段與線段的長度即可得到答案；（3）量出與的大小即可得到答案．【詳解】（1）解：作圖如圖下：

（2）測量可得：，故答案為：；（3）測量可得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，比較線段的長短和角的大小比較.作兩點(diǎn)之間的線段，連接兩點(diǎn)即可，由兩點(diǎn)作直線，連接兩點(diǎn)并向兩個方向延長即可得這兩點(diǎn)確定的直線．題型3角的比較例3（2017·七年級課時練習(xí)）在的內(nèi)部任取一點(diǎn)，作射線，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】舉出反例進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】A.因?yàn)樯渚€在的內(nèi)部，，故此項(xiàng)正確，符合題意；B.當(dāng)射線平分時，，故此項(xiàng)錯誤，不符合題意；C.當(dāng)射線平分時，，故此項(xiàng)錯誤，不符合題意；D.只要射線不平分，，故此項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了在角的內(nèi)部射線所分角大小比較問題，舉出反例是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2024上·北京海淀·七年級?？计谀┤鐖D，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．沒有量角器，無法確定【答案】B【分析】根據(jù)角的比較大小的方法進(jìn)行比較即可．【詳解】由題意可知，，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查角的大小比較，三角板的特點(diǎn)．熟練掌握比較方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三2如圖1，圖2所示，把一副三角板先后放在上，則的度數(shù)可能（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角板的特點(diǎn)可得，結(jié)合選項(xiàng)即得答案．【詳解】解：由圖1可得，由圖2可得，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角板的特點(diǎn)，正確得出是解題的關(guān)鍵．舉一反三3（2025下·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）若，則么．【答案】【分析】利用等量代換即可得解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等量代換，是基礎(chǔ)題．題型4三角板中角度計(jì)算問題例4（2024上·河南新鄉(xiāng)·七年級校考期末）兩個直角三角板按如圖所示的方式擺放，若，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了三角板中角度的計(jì)算，根據(jù)三角板中角度的特點(diǎn)和平角的定義得到，則．【詳解】解：由題意得，，又∵，∴，故答案為：．舉一反三1（2025上·吉林松原·七年級校聯(lián)考期末）將一副三角尺放在同一平面內(nèi)，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O．(1)如圖①，若，求、、的度數(shù)．(2)如圖①，你發(fā)現(xiàn)與的大小有何關(guān)系？與有何關(guān)系？直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．(3)如圖②，當(dāng)與沒有重合部分時，（2）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．【答案】(1)、，(2)；(3)成立，見解析【分析】本題主要考查了角的和與差，（1）根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可；（3）根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可．能準(zhǔn)確找出題中所求角與已知角存在怎樣的和與差的關(guān)系是做出本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，，∴，，∴；（2）由（1）可得，；；（3）成立，理由如下；據(jù)圖可知，∵，，∴，，∴；∵，，∴∴．舉一反三2（2024上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖放置，其中有部分重疊在一起，已知．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，其中，求的度數(shù)．（用含k的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)(3)的度數(shù)是【分析】本題主要考查幾何圖形中角的度數(shù)：（1）根據(jù)求解即可；（2）先設(shè)，則，再根據(jù)題意得，解得x的值即可；（3）方法同（2）．【詳解】（1），，∴．（2）設(shè)，則．由題意，得，解得，即．（3）設(shè)，則．由題意，得，解得，∴，即的度數(shù)是．舉一反三3（2024上·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形的直角頂點(diǎn)在直線上，射線平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，將三角形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，將三角形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，試寫出和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，見解析【分析】本題考查了角平分線有關(guān)的計(jì)算及角的運(yùn)算：（1）先求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解；（2）先求出，根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，根據(jù)得，進(jìn)而可求解；熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，∴，又平分，，∴．（2），∴，∵，∴．（3）．理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，即．題型5幾何圖形中角度計(jì)算問題例5（2025上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三個大小相同的正方形的一個頂點(diǎn)重合放置，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握正方形任意一個角都為，再列出相應(yīng)的等量關(guān)系式．【詳解】解：如圖所示：，，，，即，即，解得，故選：C．舉一反三1（2024上·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角度的計(jì)算，根據(jù)題意得出是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴∵∴即：∴故選：B．舉一反三2（2025上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線在的內(nèi)部，是的平分線．若，則的度數(shù)是．【答案】/40度【分析】本題主要考查了角的計(jì)算以及角平分線的性質(zhì)．根據(jù)題意得，進(jìn)一步得到，進(jìn)而即可求得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴，故答案為：．舉一反三3（2024上·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）已知是的平分線，，是的平分線，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題主要考查了角平分線的定義，弄清各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)在內(nèi)部時和在外部時，分兩種情況，結(jié)合角平分線定義及各角之間的數(shù)量關(guān)系得出答案.【詳解】解：當(dāng)在內(nèi)時，如圖所示，

∵是的平分線，是的平分線，，，，，；當(dāng)在外部時，如圖所示，

∵是的平分線，是的平分線，，，，，∴．故答案為：或．題型6角度的四則運(yùn)算例6（2024上·江蘇南京·七年級南京鐘英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】利用角度加減法則計(jì)算即可．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了角度的計(jì)算，正確掌握計(jì)算法則及進(jìn)率是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2024上·北京海淀·七年級?？计谀敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)度、分、秒是常用的角的度量單位．度分，即，分秒，即進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查度分秒的換算，，是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2025下·黑龍江哈爾濱·六年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果為．【答案】【分析】根據(jù)角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的運(yùn)算，注意：，．題型7實(shí)際問題中角度計(jì)算問題例7（2024上·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）定義：當(dāng)射線在內(nèi)部，時，我們稱為射線在內(nèi)的角值，記作．如圖1，若，，則，則．(1)如圖1，射線在內(nèi)部，若，則_________；若，則__________；(2)如圖2，已知，射線，分別從射線和同時開始旋轉(zhuǎn)，其中射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)到射線時，射線，停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)運(yùn)動時間為秒．①若射線，的運(yùn)動速度均為每秒，試用含的式子表示和，并直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系；②若射線，的運(yùn)動速度分別為每秒和，射線到達(dá)射線后立即以原速返回，則當(dāng)為何值時，?(3)如圖3，在鐘面內(nèi)有三條射線，和，分別指向12點(diǎn)，4點(diǎn)，8點(diǎn)．射線，同時從射線開始旋轉(zhuǎn)，其中射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時到射線停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)，當(dāng)射線運(yùn)動到的內(nèi)部時，請用含的式子表示．【答案】(1)，(2)①；②的值為3或7(3)【分析】（1）根據(jù)角值的定義進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，即可作答．（2）①根據(jù)運(yùn)動時間為秒和射線，的運(yùn)動速度均為每秒，即可作答；②射線，的運(yùn)動速度分別為每秒和，先用含的代數(shù)式表達(dá)和，再代入，計(jì)算化簡求值，即可作答．（3）根據(jù)三條射線，和的起點(diǎn)和運(yùn)動方向，列出含的代數(shù)式，結(jié)合和射線運(yùn)動到的內(nèi)部這兩個條件，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，∵射線在內(nèi)部，若，則；∵，∴；（2）解：①由題意可知，．，，．，，．．②運(yùn)動到時，，停止運(yùn)動，，．當(dāng)時，，，．，若，則，解得．當(dāng)時，，，同理可由，解得．綜上，的值為3或7．（3）解：由射線所對應(yīng)的時間可知．，同時到射線停止旋轉(zhuǎn)，的速度是的2倍，，，，．當(dāng)射線運(yùn)動到內(nèi)部時，，，．【點(diǎn)睛】本題以新定義的形式考查角的運(yùn)動型問題，涉及到列代數(shù)式，新定義以及角的運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題中的新定義，能根據(jù)射線運(yùn)動過程中角度的變化進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻摚e一反三1（2025下·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）如圖，已知，是的平分線，若，求的度數(shù).

【答案】【分析】根據(jù)可知設(shè)，，再根據(jù)角平分線的定義可知，最后利用角的和差關(guān)系即可解答．【詳解】解：∵，∴設(shè)，，∵是的平分線，∴，∴，∵，則，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了角的倍數(shù)關(guān)系，角的和差關(guān)系，角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2025·江蘇泰州·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？计谀┢吣昙壣蟽浴稊?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》中有“三角尺拼角”的問題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫出，在實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；①設(shè)計(jì)用一副三角尺畫出角的畫圖方案，并畫出相應(yīng)的幾何圖形；②用一副三角尺能畫出的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫出的角平分線，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度．(3)如圖，現(xiàn)有角的三種模板，，，請?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，只用給出的一種模板畫出的角．小冬想出了一個方案，利用角模板畫出角，動手操作：如圖，M、O、N三點(diǎn)在一條直線上，將的頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，……，如此連續(xù)操作18次，再利用兩個平角等于一個周角，可得的角，即：．請從或角模板中選一個你認(rèn)為能畫出角的模板，設(shè)計(jì)一個方案，并說明理由．(4)對于任意一個（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板是否一定能畫出的角？請作出判斷，并說明理由．【答案】(1)①見解析；②不能(2)見解析(3)選用，理由見解析(4)不一定能，理由見解析【分析】（1）①用一副三角尺畫出角的畫圖方案，用含的兩個角拼接即可求解;②根據(jù)用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)可解答；（2）根據(jù)題意設(shè)計(jì)一個，一邊與射線重合，另一邊即為角平分線，（3）根據(jù)題目所給的方案，進(jìn)行設(shè)計(jì)即可求解；（4）根據(jù)角度的四則運(yùn)算進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】（1）解：①用一副三角尺畫出角，如圖所示，②用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)，∴用一副三角尺能不能畫出的角，故答案為：不能．（2）解：如圖所示，（3）選用，用的角旋轉(zhuǎn)15次，則，與差，再旋轉(zhuǎn)16次，得到，與周角差，再旋轉(zhuǎn)16次，得到，超過始邊∴繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，……，如此連續(xù)操作47次，可得的角，即：．（4）對于任意一個（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板不一定能畫出的角例如，，此時無論如何旋轉(zhuǎn)，都不能得到的角【點(diǎn)睛】本題考查了三角板中的角度計(jì)算，角平分線的定義，角度的計(jì)算，理解題意是解題的關(guān)鍵．題型8角平分線的有關(guān)計(jì)算例8（2025上·廣東佛山·七年級西樵中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，O是直線上一點(diǎn)，過O作任意射線，平分，平分，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義得出，，再根據(jù)平角定義求解即可．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，又∴．故選：B．舉一反三1（2025上·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D，是直角，平分，平分，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及度分秒的換算，牢記“若是的平分線，則”是解題的關(guān)鍵．由平分及的度數(shù)，利用角平分線的性質(zhì)，可求出的度，結(jié)合是直角，可求出的度數(shù)，由平分，利用平分線的性質(zhì)，可求出的度數(shù)，再將其代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】解：平分，，，是直角，．又平分，，．故答案為：．舉一反三2（2024上·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）【綜合探究】：如圖1，一副三角板如圖所示放置在直線上，，，，．三角板的頂點(diǎn)與另一個三角板的頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，三角板的邊與直線重合，三角板其它的邊都在直線的上方．【實(shí)踐探究】：（1）如圖2，若三角板不動，將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，經(jīng)過t秒時，三角板的邊恰好分．①此時_____秒；②此時___________；【解決問題】：（2）如圖2，在（1）的條件下，邊恰好平分時，同一時刻三角板開始也繞點(diǎn)O以每秒的速度按相同方向旋轉(zhuǎn)，那么再經(jīng)過多長時間邊與邊第一次重合？（如圖3）請說明理由；【拓展研究】：（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)邊與邊第一次重合時，兩個三角板同時按順時針方向再次轉(zhuǎn)動一周后停止，請問兩個三角板再次轉(zhuǎn)動后，經(jīng)過多少秒，邊恰好平分？請說明理由．【答案】（1）①5；②，；（2）秒，理由見解析；（3）經(jīng)過或秒，邊恰好平分，理由見解析【分析】本題考查了角平分線，角度的轉(zhuǎn)換，一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意確定運(yùn)動過程中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)，可得，計(jì)算求解即可；②由題意知，，計(jì)算求解，然后轉(zhuǎn)換成分即可；（2）設(shè)再經(jīng)過秒邊與邊第一次重合，則轉(zhuǎn)過的角度為，轉(zhuǎn)過的角度為，，依題意得，，計(jì)算求解即可；（3）由題意知，旋轉(zhuǎn)一周用時秒，旋轉(zhuǎn)一周用時秒，秒后停止旋轉(zhuǎn)，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，由題意知，分停止旋轉(zhuǎn)前，停止旋轉(zhuǎn)后兩種情況下，邊恰好平分，依題意列方程，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）①解：∵邊恰好分，∴，依題意得，，解得，，故答案為：5；②解：由題意知，，故答案為：，；（2）解：再經(jīng)過秒邊與邊第一次重合，理由如下：設(shè)再經(jīng)過秒邊與邊第一次重合，則轉(zhuǎn)過的角度為，轉(zhuǎn)過的角度為，，依題意得，，解得，，∴再經(jīng)過秒邊與邊第一次重合；（3）解：經(jīng)過或秒，邊恰好平分，理由如下：由題意知，旋轉(zhuǎn)一周用時秒，旋轉(zhuǎn)一周用時秒，∴秒后停止旋轉(zhuǎn)，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，由（2）可知，邊與邊第一次重合時，，設(shè)經(jīng)過秒后，邊恰好平分，由題意知，分停止旋轉(zhuǎn)前，停止旋轉(zhuǎn)后兩種情況下，邊恰好平分，當(dāng)停止旋轉(zhuǎn)前，則轉(zhuǎn)過的角度為，轉(zhuǎn)過的角度為，恰好平分時，，如圖4，依題意得，，解得，；當(dāng)停止旋轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)過的角度為，轉(zhuǎn)過的角度為，，，如圖5，依題意得，，解得，；綜上所述，經(jīng)過或秒，邊恰好平分．舉一反三3（2025上·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）折紙中的數(shù)學(xué)我們在第四章《幾何圖形初步》中學(xué)習(xí)了角的平分線，并會用折紙的方法作角平分線．如圖是教材第135頁的探究，將紙片折疊使與重合，是折痕，此時與重合，所以，射線是的平分線．【知識初探】如圖（1），四邊形是一張正方形紙片，將正方形紙片沿對折，把正方形展平，再將和分別沿和折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，與重合，則__________度；__________度．【類比再探】如圖（2），將正方形紙片的沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)與點(diǎn)重合．猜想的度數(shù)，并說明理由．小官同學(xué)：猜想．理由如下：沿折疊，，沿折疊，，__________，__________．【拓展探究】如圖（3），在圖（2）的基礎(chǔ)．上將正方形紙片展平，然后將和分別沿和再折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處．猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】【知識初探】，45；【類比再探】；；；【拓展探究】【分析】本題考查角平分線有關(guān)的計(jì)算問題，掌握角平分線的定義與審清題意是解題的關(guān)鍵．【知識初探】根據(jù)題意得出是的角平分線，和分別是與的角平分線，據(jù)此可解；【類比再探】由沿折疊可得，同理由沿折疊可得，再根據(jù)，即可得到；【拓展探究】由（2）知，從而得到，再用與（2）相同的方法可得．【詳解】解：【知識初探】由題意可知：是的角平分線，∴，同理可得：和分別是與的角平分線，∴，，∴，故答案為：，45；【類比再探】證明：沿折疊，，沿折疊，，，故答案為：；；；【拓展探究】，理由如下：由（2）可知：，∴，∵和分別沿和再折疊，∴，∴．舉一反三4（2025上·甘肅武威·七年級?？计谀┤鐖D，直線相交于點(diǎn)O，平分．平分，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，先根據(jù)角平分線的定義得到，再由角度之間的關(guān)系得到，，再由平角的定義得到，據(jù)此求出的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵平分，平分，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．題型9角n等分線的有關(guān)計(jì)算例9（2024上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)銳角的度數(shù)為，若一條射線平分，則圖中所有銳角的和為．若四條射線五等分，則圖中所有銳角的和為(

)A． B． C． D．4a【答案】A【分析】本題考查了角度的計(jì)算，角的數(shù)量問題，根據(jù)題意可得每一個小角的度數(shù)為，進(jìn)而將所有角的度數(shù)相加即可求解．【詳解】∵四條射線五等分，∴每個小角的度數(shù)為．如圖，圖中所有銳角的和為，故選：A．舉一反三1（2025上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平分三等分，已知，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查n等分角的定義，根據(jù)角平分線得到，由三等分得到，根據(jù)角的和差得到計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：平分，∴，又∵三等分，∴，∴，∴．舉一反三2（2024上·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐【問題發(fā)現(xiàn)】在數(shù)學(xué)探究課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們結(jié)束角平分線的探究后，安排同學(xué)打自主探究角的三等分線．小明進(jìn)行了如下探究，如圖①，若射線，是的三等分線，則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”，靠近邊的射線是射線的“友好線”．(1)如圖②，，射線是射線的友好線，求的度數(shù)．(2)【問題探究】如圖③，，射線與射線重合并繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與射線重合時停止．問旋轉(zhuǎn)幾秒后，是的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，，射線，分別與射線，重合，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，是否存在某一刻恰好是的“友好線”，若存在，求出時間t秒；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)旋轉(zhuǎn)20秒后，是的“友好線”(3)存在；當(dāng)或時，恰好是的“友好線”【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義求出的度數(shù)即可；（2）根據(jù)“友好線”定義求出的度數(shù)，然后再求出的度數(shù)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時間，即可得出答案；（3）分兩種情況討論，當(dāng)在右側(cè)時，當(dāng)在左側(cè)時，分別畫出圖形，列出關(guān)于t的方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)射線是射線的“友好線”時，．（2）解：∵，∴當(dāng)是的“友好線”時，，∴，∴旋轉(zhuǎn)時間為（秒），即旋轉(zhuǎn)20秒后，是的“友好線”．（3）解：存在；當(dāng)或時，恰好是的“友好線”．當(dāng)在右側(cè)時，如圖所示：此時，，∵恰好是的“友好線”，∴，∴，解得：；當(dāng)在右側(cè)時，如圖所示：此時，，∵恰好是的“友好線”，∴，∴，解得：；綜上分析可知，當(dāng)或時，恰好是的“友好線”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解題目中“友好線”的定義，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．一.單選題1．（2024上·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）已知，，則∠1與∠2的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】先把兩個角統(tǒng)一化為度、分的形式，再比較即可得答案．【詳解】解：∵，，，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的大小比較，解答本題的關(guān)鍵是先統(tǒng)一形式，注意角度制的進(jìn)率為60．2．（2018上·北京·