函數(shù)第2章70目錄2.1函數(shù)的概念2.2函數(shù)的性質(zhì)2.3冪函數(shù)2.4指數(shù)函數(shù)2.5對(duì)數(shù)函數(shù)2.6綜合例題分析71教學(xué)要求：1.理解函數(shù)的概念，會(huì)用函數(shù)觀察、認(rèn)識(shí)、分析客觀世界中變量之間的關(guān)系.2.學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕龇?、列表法、圖像法）表示函數(shù)，會(huì)解讀用列表法與圖像法表示的函數(shù)關(guān)系的實(shí)際含義.3.會(huì)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的定義域.4.理解函數(shù)值的概念，并會(huì)用觀察與分析的方法得到一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的值域.5.會(huì)用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖像.72教學(xué)要求：6.會(huì)通過觀察與分析，判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，并能利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在有限區(qū)間上的最大值或最小值.7.掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.*8.了解反函數(shù)的概念以及求函數(shù)的反函數(shù)的基本方法.9.了解n次方根的概念，掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，能熟練地使用計(jì)算器求冪的值.73教學(xué)要求：10.了解由指數(shù)式引入對(duì)數(shù)概念的過程，理解對(duì)數(shù)的涵義，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，能熟練地使用計(jì)算器求對(duì)數(shù)值.11.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.12.掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解它們的概念，掌握它們的圖像特征和性質(zhì)，并能夠?qū)⑦@些知識(shí)用于解釋生活和生產(chǎn)中有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)規(guī)律變化的問題.742.1函數(shù)的概念75知識(shí)回顧我們?cè)诔踔幸呀?jīng)初步接觸了一些有關(guān)函數(shù)的概念：變量

在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量.常量

在一個(gè)變化過程中，數(shù)值保持不變的量稱為常量.函數(shù)與自變量

在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量，設(shè)為x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么變量y稱為變量x

的函數(shù)，x稱為自變量.正比例函數(shù)

形如y=kx（k≠0且k是常數(shù)）的函數(shù)稱為正比例函數(shù)，其中常數(shù)k稱為正比例系數(shù).76反比例函數(shù)

形如y=（k≠0且k是常數(shù)）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中常數(shù)k稱為反比例系數(shù).一次函數(shù)

形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為一次函數(shù).正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).二次函數(shù)

形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)稱為二次函數(shù)，其中a，b，c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).77實(shí)例考察請(qǐng)你根據(jù)初中學(xué)過的知識(shí)，思考下列實(shí)例中的兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍（用不等式表示），并求出表格內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值.面積

正方形面積y是邊長(zhǎng)x的函數(shù)，可表示為

y=

.自變量x的取值范圍為

.78個(gè)人所得稅

按照我國(guó)有關(guān)法律規(guī)定，個(gè)人月收入的應(yīng)納稅所得額中，超過5000元且不超過8000元的部分，需繳納3%的個(gè)人所得稅.設(shè)某人月收入的應(yīng)納稅所得額為x元（5000<x≤8000），個(gè)人繳納的所得稅為y元.這里y是x的函數(shù)，可表示為y=

.自變量x的取值范圍為

.在以上兩例中，當(dāng)自變量x在取值范圍內(nèi)取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)y有幾個(gè)值與之對(duì)應(yīng)?79函數(shù)的概念我們知道，用不等式表示的x的取值范圍就是滿足相應(yīng)不等式的實(shí)數(shù)x的集合，這種集合可以用區(qū)間表示.因此，實(shí)例考察的

“面積”一例中，x的取值范圍可以寫成（0，+∞）；“個(gè)人所得稅”

一例中，x的取值范圍可以寫成（5000，8000].進(jìn)一步考察上面這兩個(gè)例子會(huì)發(fā)現(xiàn)，x每取一個(gè)值，函數(shù)y按照對(duì)應(yīng)法則，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).由此，我們可以加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)：80從函數(shù)的概念可以知道，函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素.函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就隨之確定了.81函數(shù)的表示方法表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法有解析法、列表法和圖像法三種.解析法我們學(xué)過的正比例函數(shù)y=kx（k≠0），反比例函數(shù)y=（k≠0），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）都是用解析式來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的.這種用解析式來表示函數(shù)的方法稱為解析法.用解析法表示函數(shù)便于由自變量求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，也便于研究函數(shù)的性質(zhì).82列表法列表法是指用表格來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.例如，下表記錄的是某同學(xué)小學(xué)一年級(jí)到五年級(jí)時(shí)，各學(xué)期的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī).在這里，考試成績(jī)是學(xué)期序號(hào)的函數(shù).用列表法表示的函數(shù)便于直接查找自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，但有時(shí)會(huì)數(shù)據(jù)不全.83圖像法圖像法是指用圖像來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.例如，城市的平均氣溫與平均降水量是隨著時(shí)間變化而變化的，例如圖所示是某城市平均氣溫和平均降水量與時(shí)間的關(guān)系.實(shí)線是氣溫T（單位：℃）隨著時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系，虛線是平均降水量Y（單位：mm）隨著時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系.函數(shù)的圖像法表示直觀形象，能清晰地反映函數(shù)關(guān)系及變化趨勢(shì)，但有時(shí)無法畫出函數(shù)的完整圖像.84函數(shù)關(guān)系的建立用數(shù)學(xué)方法解決問題時(shí)，常常需要把問題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學(xué)的形式（代數(shù)式、方程、表、圖或其他方法）表示出來.通常，這個(gè)過程稱為建立數(shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)稱建模.函數(shù)模型是數(shù)學(xué)模型中最常用的一種.由于實(shí)踐中的大量問題是兩個(gè)變量之間的關(guān)系問題，因此建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系（函數(shù)模型）是很重要的.85在實(shí)際問題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系式要分段來表示.例如，在省內(nèi)投寄外埠平信，每封信的重量不超過20g時(shí)，付郵資0.8元；超過20g而不超過40g時(shí)，付郵資1.6元；超過40g而不超過60g時(shí)，付郵資2.4元.設(shè)平信的重量為xg（0<x≤60），應(yīng)付郵資為y元，則有86①式表示了變量x∈（0，60]與y之間的函數(shù)關(guān)系，其中x是自變量，y是x的函數(shù).這個(gè)函數(shù)與我們以前熟悉的各種函數(shù)不同，在自變量的不同取值范圍內(nèi)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同.我們把這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域是自變量的幾個(gè)取值范圍的并集，它的圖像要在同一個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)逐段畫出.①式所表示的函數(shù)就是一個(gè)定義域?yàn)椋?，60]，值域?yàn)閧0.8，1.6，2.4}的分段函數(shù)，它的圖像如圖所示.87對(duì)分段函數(shù)特別要注意以下幾個(gè)問題：（1）分段函數(shù)在形式上，會(huì)有多于一個(gè)的表達(dá)式，但它仍然表示一個(gè)函數(shù)，不能理解成多個(gè)函數(shù).（2）分段函數(shù)的圖像一般由多于一段的線段或曲線段以及點(diǎn)組成，同樣也應(yīng)該把它們看作一個(gè)整體.（3）在求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，需要注意的是，對(duì)給定的自變量，首先要確定它的范圍，再根據(jù)該范圍的對(duì)應(yīng)法則（函數(shù)表達(dá)式），計(jì)算函數(shù)值.882.2函數(shù)的性質(zhì)89實(shí)例考察已知二次函數(shù)f（x）=x2，反比例函數(shù)

f（x）=.請(qǐng)你通過計(jì)算，得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，并通過觀察它們的圖像（見右圖），指出函數(shù)的圖像特征.二次函數(shù)

f（x）=x2

定義域D

為

.

f（-1）=

，f（1）=

，得到f（-1）=

；

f（-2）=

，f（2）=

，得到f（-2）=

；

函數(shù)的圖像特征：

.90反比例函數(shù)

f（x）=

定義域D

為

.

f（-1）=

，f（1）=

，得到f（-1）=

；

f（-2）=

，f（2）=

，得到f（-2）=

；

函數(shù)的圖像特征：

.91函數(shù)的奇偶性我們知道，二次函數(shù)f（x）=x2

的圖像（見右圖）是關(guān)于y軸對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，這種對(duì)稱性在數(shù)值上也能反映出來.通過計(jì)算，得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）.事實(shí)上，對(duì)于任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=（-x）2=x2=f（x）.也就是說，函數(shù)f（x）=x2

具有f（-x）=f（x）的特性.92如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.反過來，如果函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)一定是偶函數(shù).93對(duì)于反比例函數(shù)f（x）=，我們知道，它的圖像（見上圖）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，這種對(duì)稱性在數(shù)值上也能反映出來.對(duì)于任意的

x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有也就是說，函數(shù)f（x）=具有f（-x）=-f（x）的特性.94如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是奇函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形.反過來，如果函數(shù)y=f（x）的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，那么這個(gè)函數(shù)一定是奇函數(shù).一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說這個(gè)函數(shù)具有奇偶性.根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，可以得到：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.如果一個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，我們就把這個(gè)函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù).95函數(shù)的單調(diào)性我們知道，對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），如果k>0，那么當(dāng)x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時(shí)，y的值隨之逐漸增大.如果k<0，那么當(dāng)x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時(shí)，y的值隨之逐漸減小.上述現(xiàn)象反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)———單調(diào)性.觀察二次函數(shù)y=x2-2，當(dāng)x在定義域（-∞，+∞）內(nèi)變化時(shí)，它的圖像變化如圖所示.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x∈（-∞，0]，且x逐漸增大時(shí)，y的值隨之逐漸減小；當(dāng)x∈[0，+∞），且x逐漸增大時(shí)，y的值隨之逐漸增大.9697如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性，區(qū)間I稱為單調(diào)區(qū)間.增區(qū)間也稱為單調(diào)增區(qū)間，減區(qū)間也稱為單調(diào)減區(qū)間.特別地，當(dāng)函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)（或減函數(shù)）時(shí)，可以直接稱函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)）.98對(duì)于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），其圖像是拋物線，結(jié)合圖像，總結(jié)它的性質(zhì)如下表所示.99函數(shù)的最大值與最小值我們知道，二次函數(shù)y=x2-2的圖像是一條拋物線，頂點(diǎn)（0，-2）是拋物線上的最低點(diǎn)，即對(duì)于任意的x，都有f（x）≥f（0）.從而得到，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-2.由于該函數(shù)圖像上沒有最高點(diǎn)，所以函數(shù)y沒有最大值.100*反函數(shù)我們知道，圓面積S是圓半徑r的函數(shù)，即S=πr2（r>0）.反過來，也可以由圓面積S來確定圓的半徑r，即r=（A>0）.這時(shí)，面積S

是自變量，半徑r是面積S的函數(shù).在這種情況下，函數(shù)r=（S>0）與函數(shù)S=πr2（r>0）有著特殊的關(guān)系，這種關(guān)系就是下面研究的反函數(shù).101反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈D）的值域?yàn)?/p>

M.根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x，y的關(guān)系，求得x用y表示的解析式，即x=φ（y）.如果對(duì)于y在

M

中的任何一個(gè)值，通過

x=φ（y），x在D中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=φ（y）就表示y是自變量，x是y的函數(shù).我們就將函數(shù)x=φ（y）（y∈M）稱為函數(shù)y=f（x）（x∈D）的反函數(shù)，記作x=f-1（y）.102反函數(shù)的求法從反函數(shù)的概念我們不難得到如下結(jié)論：函數(shù)y=f（x）的定義域是它的反函數(shù)y=f-1（x）的值域；函數(shù)y=f（x）的值域是它的反函數(shù)y=f-1（x）的定義域.求函數(shù)的反函數(shù)的一般步驟為：（1）由y=f（x）解出x=f-1（y），即把x用y表示出來；（2）將x=f-1（y）改寫成y=f-1（x），也就是將x=f-1（y）中的x，y對(duì)調(diào)；（3）寫出反函數(shù)y=f-1（x）的定義域.103互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系由上述所學(xué)可得，函數(shù)y=2x-1（x∈R）的反函數(shù)是y=（x∈R），函數(shù)y=（x≥0）的反函數(shù)是y=x2（x≥0）.我們畫出原函數(shù)和它的反函數(shù)的圖像，見下圖.104從上圖可以看出，函數(shù)和它的反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.一般地，函數(shù)y=f（x）的圖像和它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.反之，如果兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x

對(duì)稱，則這兩個(gè)函數(shù)一定是互為反函數(shù).1052.3冪函數(shù)106實(shí)數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪零指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則平方根

若x2=a（a≥0），則稱x為a的平方根（二次方根）.立方根

若x3=a，則稱x為a的立方根（三次方根）.107n

次方根若xn=a（a為實(shí)數(shù)，n為大于1的正整數(shù)），則稱x為a的一個(gè)n次方根.當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，對(duì)于每一個(gè)正實(shí)數(shù)a，它在實(shí)數(shù)集里有兩個(gè)n次方根，它們互為相反數(shù)，分別為

和；而對(duì)于每一個(gè)負(fù)數(shù)a，它的n次方根是沒有意義的.當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)a，它在實(shí)數(shù)集里只有一個(gè)n次方根，表示為，當(dāng)a>0時(shí)，>0；當(dāng)a<0時(shí)，<0.0的n次方根是0，即=0.n次根式我們把形如（有意義時(shí)）的式子稱為n次根式，其中n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù)，非負(fù)數(shù)的n次方根

稱為a的n次算術(shù)根，并且108學(xué)習(xí)了n次方根的概念，現(xiàn)在我們可以把整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪.同樣可以規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：設(shè)a≠0，n，m∈N*，且n>1，規(guī)定這樣，就把整數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到有理指數(shù)冪.可以證明，當(dāng)a>0，b>0，且p，q∈Q

時(shí)，有理數(shù)指數(shù)冪有以下運(yùn)算法則：（1）ap·aq=ap+q；（2）（ap）q=apq；（3）（ab）p=ap·bp.109事實(shí)上，我們可以把冪指數(shù)推廣到全體實(shí)數(shù).可以證明，當(dāng)a>0，b>0，且α，β∈R時(shí)，實(shí)數(shù)指數(shù)冪有以下運(yùn)算法則：（1）aα·aβ=aα+β；（2）（aα）β=aαβ；（3）（ab）α=aα·bα.110冪函數(shù)我們觀察一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2，反比例函數(shù)y=（即y=x-1）的解析式，可以發(fā)現(xiàn)：它們都是以冪的形式出現(xiàn)，冪的底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常數(shù).冪函數(shù)的定義域與常數(shù)α的取值有關(guān)，由冪的性質(zhì)可知1α=1，即x=1時(shí)，y=1，因此，冪函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)（1，1）.111探究函數(shù)y=x+的圖像與性質(zhì)在初中，我們知道y=x是正比例函數(shù)，y=是反比例函數(shù)，學(xué)習(xí)了冪函數(shù)以后，我們知道它們都是冪函數(shù).不同的函數(shù)通過加、減、乘、除等運(yùn)算可以構(gòu)成新的函數(shù).那么，將這兩個(gè)冪函數(shù)相加構(gòu)成的函數(shù)有哪些性質(zhì)？這些性質(zhì)與這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)有聯(lián)系嗎？下面請(qǐng)同學(xué)們帶著問題探究函數(shù)y=x+.1.你認(rèn)為可以從哪些方面研究這個(gè)函數(shù)？2.你認(rèn)為可以按照怎樣的思路研究這個(gè)函數(shù)？3.按照你構(gòu)建的思路研究你想到的問題.1124.證明：當(dāng)x>0時(shí)，x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=1時(shí)取得等號(hào)；當(dāng)x<0時(shí)，x+≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

，即x=-1時(shí)取得等號(hào).5.你畫出的函數(shù)圖像與右圖類似嗎？6.函數(shù)y=x+

的圖像有什么變化趨勢(shì)？你能利用函數(shù)y=x和y=

的圖像變化趨勢(shì)說明函數(shù)y=x+

的圖像變化趨勢(shì)嗎？7.通過對(duì)函數(shù)y=x+

圖像與性質(zhì)的探究，你有哪些體會(huì)？1132.4指數(shù)函數(shù)114實(shí)例考察景區(qū)游客問題

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于游客人數(shù)不斷增加，某地為了增加景區(qū)外收入，自2001年起取消了景區(qū)門票收費(fèi).下表給出了該景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及增加量，游客的人次有怎樣的變化規(guī)律呢?115為了便于觀察規(guī)律，根據(jù)表格，該景區(qū)取消門票收費(fèi)后的15年游客人次的變化如圖所示.116觀察圖像和表格，我們發(fā)現(xiàn)年增加量越來越大，但難以看出變化規(guī)律.我們知道，做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增加率，增加量、增長(zhǎng)率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個(gè)很重要的量.從2002年起，將景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到結(jié)果表明，景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率都約為1.11-1=0.11，是一個(gè)常數(shù).117像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長(zhǎng).該景區(qū)的游客人次的變化就近似于指數(shù)增長(zhǎng).顯然，從2001年開始，景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：1年后，游客人次是2001年的1.111

倍；2年后，游客人次是2001年的1.112

倍；3年后，游客人次是2001年的1.113

倍；……設(shè)x年后，游客人次是2001年的y倍，則y=1.11x（x∈N*），即經(jīng)過x年后的游客人次是2001年的1.11x

倍.118藥物剩余問題

某種藥物靜脈注射后，通過尿液排出體外，每經(jīng)過1天，藥物在體內(nèi)的剩余量就減少50%.成人單次注射這種藥物1g，經(jīng)過x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是多少?1天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是1×50%=0.5g；2天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

g；3天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

g；……設(shè)x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是yg，則y=0.5x，即經(jīng)過x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是0.5xg.由上述兩個(gè)問題得到的函數(shù)具有相同的特點(diǎn)，即自變量x

都作為指數(shù)，底數(shù)都是大于0且不等于1的常量.119指數(shù)函數(shù)的概念上面出現(xiàn)的兩個(gè)函數(shù)：y=1.11x

和y=0.5x，都是以冪的形式出現(xiàn)，指數(shù)是自變量x，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常數(shù).這類函數(shù)就是我們要研究的指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的定義域是（-∞，+∞）.120指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)為了便于研究，我們?cè)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=2x

和y=的圖像（見下圖）.121列表（為便于繪圖，無法整除的函數(shù)值保留2位小數(shù)）：從上面指數(shù)函數(shù)y=2x

和y=的圖像，可以得到：（1）兩個(gè)圖像都在x軸上方，它們的函數(shù)值y>0.（2）兩個(gè)圖像都過點(diǎn)（0，1），即當(dāng)x=0時(shí)，y=1.（3）y=2x的圖像沿x軸的正方向上升，在定義域內(nèi)是增函數(shù)；y=的圖像沿x軸的正方向下降，在定義域內(nèi)是減函數(shù).122一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖像和性質(zhì)見下表：1232.5對(duì)數(shù)函數(shù)124實(shí)例考察細(xì)胞分裂的次數(shù)

某種細(xì)胞的分裂規(guī)律為：1個(gè)細(xì)胞1次分裂成2個(gè)與它本身相同的細(xì)胞，即第1次分裂后，細(xì)胞的個(gè)數(shù)是2；第2次分裂后，細(xì)胞的個(gè)數(shù)是2×2=22；第3次分裂后，細(xì)胞的個(gè)數(shù)是

；……那么，第幾次分裂后恰好出現(xiàn)16個(gè)細(xì)胞?第幾次分裂后恰好出現(xiàn)128個(gè)細(xì)胞?125對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)數(shù)的定義通常，我們稱等式ab=N

為指數(shù)式，稱等式logaN=b為對(duì)數(shù)式.根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到，當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，ab=N?logaN=b.126

由上述指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系，可以得到如下結(jié)論：（1）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即N>0；（2）loga1=0，logaa=1（a>0，且a≠1）；（3）alogaN=N（a>0，且a≠1）；（4）logaab=b（a>0，且a≠1）.127對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則若a>0，且a≠1，M>0，N>0，則有法則1loga（M·N）=logaM+logaN法則2loga=logaM-logaN法則3logaMn=nlogaM（n∈R）128下面我們來證明法則1和法則3.設(shè)logaM=p，logaN=q，把它們化為指數(shù)式：M=ap，N=aq，M·N=ap·aq=ap+q，Mn=（ap）n=apn，所以loga（M·N）=logaap+q=p+q=logaM+logaN，logaMn=logaapn=pn=nlogaM.129常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)我們把以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù).log10N

通?？珊?jiǎn)記為lgN.常用對(duì)數(shù)可以用計(jì)算器求值.以無理數(shù)e（e≈2.71828）為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù).logeN

通?？珊?jiǎn)記為lnN.在科學(xué)技術(shù)中用得更多的是自然對(duì)數(shù).自然對(duì)數(shù)也可以用計(jì)算器求值.130換底公式設(shè)log23=x，則有2x=3.將上式兩邊取常用對(duì)數(shù)，有1g2x=1g3，即x1g2=1g3，所以即131同樣，也可用自然對(duì)數(shù)表示log23的值，即我們將上述方法推廣，就可給出對(duì)數(shù)的換底公式：若a>0，且a≠1，N>0，則有132對(duì)數(shù)函數(shù)的概念在實(shí)例考察中，設(shè)1個(gè)細(xì)胞經(jīng)過y次分裂后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)為x.我們知道x與y的關(guān)系為x=2y，指數(shù)式x=2y

的對(duì)數(shù)式是y=log2x（x>0），它是細(xì)胞分裂的次數(shù)y關(guān)于細(xì)胞個(gè)數(shù)x的函數(shù).函數(shù)y=log2x以對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)，真數(shù)x為自變量，底數(shù)為常數(shù).由于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）中，自變量x是真數(shù)，因此，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞）.133我們前面已學(xué)過指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1），它的對(duì)數(shù)形式是x=logay.如果互換x=logay中的字母x，y，就可以把它改寫成對(duì)數(shù)函數(shù)的形式：y=logax.由上可以看出，指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1），x∈（-∞，+∞）和對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1），x∈（0，+∞）是互為反函數(shù)的關(guān)系.134對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）的圖像和性質(zhì)見下表：135探究利用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖像在學(xué)習(xí)和工作中，能否準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖像至關(guān)重要.我們所學(xué)的描點(diǎn)法作圖，是最基本的作圖方法，但這種方法操作起來比較麻煩，而且不夠精確.如果利用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)圖像，則能收到很好的效果.可用于數(shù)學(xué)繪圖的計(jì)算機(jī)軟件有很多，其中較常用的一個(gè)是幾何畫板.幾何畫板既適合于平面幾何學(xué)習(xí)，又適合于代數(shù)、立體幾何學(xué)習(xí).它具有強(qiáng)大的繪圖功能，可在定義域內(nèi)準(zhǔn)確地作出以解析式表示的幾乎一切函數(shù)的圖像，而且還可根據(jù)需要?jiǎng)討B(tài)地改變圖像.136例

繪制下列函數(shù)的圖像:解（1）作函數(shù)y=3x-1的圖像.1）打開幾何畫板軟件（見下圖）.1372）把鼠標(biāo)移至菜單欄，點(diǎn)擊

“圖表”，出現(xiàn)下拉菜單，再點(diǎn)擊下拉菜單中的

“繪制新函數(shù)”，彈出

“新建函數(shù)”對(duì)話框（見下圖）.1383）在

“新建函數(shù)”對(duì)話框中輸入

“3*x-1”（見下圖），再點(diǎn)擊對(duì)話框中的“確定”按鈕，在屏幕上即出現(xiàn)函數(shù)y=3x-1的圖像（見下圖）.1394）點(diǎn)擊工具欄中的文本工具

按鈕，可以標(biāo)記坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)（1，0）（見下圖）.5）用鼠標(biāo)拖動(dòng)左上角的函數(shù)名“f（x）=3x-1”到直線的旁邊（見下圖）.140（2）作函數(shù)y=x2-2x，x∈[0，5]的圖像.1）把鼠標(biāo)移至菜單欄，點(diǎn)擊“文件”，在出現(xiàn)的下拉菜單中點(diǎn)擊“文檔選項(xiàng)”，彈出“文檔選項(xiàng)”對(duì)話框，點(diǎn)擊其中的“增加頁”，在其下拉菜單中選擇“空白頁面”，再點(diǎn)擊“確定”，則顯示空白頁，同時(shí)空白頁下面的滾動(dòng)條左側(cè)會(huì)出現(xiàn)頁面序號(hào)，表明空白頁已經(jīng)創(chuàng)建成功，可以開始繪制新的函數(shù)圖像.2）與繪制函數(shù)y=3x-1圖像的操作類似，函數(shù)輸入格式為“1/2

2-2x”.1413）在函數(shù)曲線上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“屬性”選項(xiàng).在彈出的對(duì)話框中選擇

“圖像”標(biāo)簽，在范圍一欄中填入函數(shù)的定義域（見下圖）.點(diǎn)擊“確定”按鈕，即可得到所求函數(shù)的曲線（見下圖）.1422.6綜合例題分析143

例1

已知函數(shù)f（x）=其中x∈N，則f（f（5））等于（）.A.4B.6C.7

D.9【分析】

本題主要考查分段函數(shù)函數(shù)值的求法.由于x=5<10，得f（5）=f（5+5）=f（10）=10-3=7.所以答案為C.144

例2

若函數(shù)f（x）=（m-2）x+4在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是（）.A.（-∞，0）B.（-∞，2）C.（0，+∞）

D.（2，+∞）【分析】

本題主要考查一次函數(shù)單調(diào)性的判定方法.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在R上是減函數(shù)，得m-2<0，即m<2.所以答案為B.145例3

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x-1，則

f（-1）=（）.A.-1B.C.12

D.1【分析】

本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)值的求法.由奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），得f（-1）=-f（1）=-（21-1）=-1.所以答案為A.146例4

若a>1，則（）.【分析】

本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).由a>1，0<<1，且對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x是（0，+∞）上的增函數(shù)，y=是（0，+∞）上的減函數(shù)，得所以答案為C.147例5

函數(shù)f（x）=ln（x2-6x+5）的定義域是（）.A.（1，5）B.[1，5]C.（-∞，1）∪（5，+∞）D.（-∞，1]∪[5，+∞）【分析】

本題考查兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：一是對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，二是解一元二次不等式.由x2-6x+5>0得，（x-1）（x-5）>0，則x<1或x>5.所以答案為C.148例6設(shè)函數(shù)f（x-1）=2x2-4x-5，則f（x）=

.【分析】

本題考查學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.設(shè)t=x-1，則x=t+1，代入f（x-1）=2x2-4x-5，得f（t）=2（t+1）2-4（t+1）-5=2t2-7.所以，f（x）=2x2-7.例7求值：2log23+log28=

.【分析】

本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的運(yùn)用.由alogab=b，logaan=n，得2log23+log28=3+log223=3+3=6.149例8

方程lg（2x+4）-lg（1-x）=1的解為

.【分析】

本題考查兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：一是學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算的理解，二是方程的解法，特別注意，對(duì)數(shù)方程是要驗(yàn)根的.由lg（2x+4）-lg（1-x）=1lg（2x+4）