第09講兩條直線的位置關(guān)系思維導(dǎo)圖核心考點聚焦1.對頂角的定義2.利用對頂角相等求角度3.求一個角的余角4.求一個角的補角5.與余角、補角有關(guān)的綜合計算問題6.垂線定義的理解與應(yīng)用7.利用垂線的定義求角的度數(shù)8.點到直線的距離與垂線段最短一、相交線1.相交線：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線.表示方法：如下圖，直線AB與直線CD相交于點O．2.對頂角的概念及性質(zhì)對頂角的概念：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線且這兩個角有公共頂點，這樣的兩個角叫做對頂角.性質(zhì)：對頂角相等.3.互補與互余互補：如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角，也稱互補.互余：如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角，也稱互余.性質(zhì)：同角或等角的補角相等；同角或等角的余角相等.二、垂線1.垂直的概念及表示.兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直.如下圖，直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD，垂足為O.垂直的概念包含兩個方面的含義：一方面由直角（90°的角）可以得到兩條直線垂直；另一方面由兩條直線垂直可以得到直角（或90°的角）．2.垂直的性質(zhì)：（1）平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.（2）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.3.點到線的距離：如下圖所示，過點A作直線的垂線，垂足為點B，則線段AB的長度叫做點A到直線的距離，此時線段AB叫垂線段.三、平行線1.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種.在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.表示方法：我們通常用“∥”表示平行．如下圖所示，AB與CD平行，記作AB∥CD或CD∥AB.平行線三要素：①在同一個平面內(nèi)；②兩條直線；③不相交.三者缺一不可.1.對同角和等角的理解以及同角或等角的補角相等；同角或等角的余角相等.2.利用余角，補角，垂線計算角的綜合問題.考點剖析考點一、對頂角的定義例題1：下列所給的和中，是對頂角的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、兩個角沒有公共頂點，不符合對頂角的定義，故A項錯誤；B、的反向延長線并不是的兩邊，不符合對頂角的定義，故B項錯誤；C、的反向延長線是的兩邊，且兩角有公共頂點，符合對頂角的定義，故C項正確；D、兩個角沒有公共頂點，不符合對頂角的定義，故D項錯誤．故選C．【變式訓(xùn)練】1．下列各圖中，與是對頂角的是（

）A．B．C．D．考點二、利用對頂角相等求角度例題2：如圖，兩條直線相交于點O，若，則度．【答案】【解析】因為，（對頂角相等），所以．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知直線和相交于點，，射線平分，，求的度數(shù)．考點三、求一個角的余角例題3：若一個角的度數(shù)為，則它的余角的大小為．【答案】【解析】一個角是，則它的余角．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．已知與互余，若，則的度數(shù)為．2．如果一個角的余角是，那么這個角的對頂角是．考點四、求一個角的補角例題4：已知，則的補角等于．【答案】【解析】的補角為，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．已知與互補，且，則．2．已知，則的補角等于．考點五、與余角、補角有關(guān)的綜合計算問題例題5：如圖，與互為補角，與互為余角，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【解析】（1）因為與互為余角，所以，因為，所以．（2）因為與互為補角，所以．因為OE平分，所以可設(shè)，所以，，因為，所以，解得，所以．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知點O為直線上一點，，是的平分線．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，是的平分線，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，是的一條三等分線，若，求的度數(shù)．考點六、垂線定義的理解與應(yīng)用例題6：如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．點到的垂線段是線段 B．點到的垂線段是線段C．線段是點D到的垂線段 D．線段是點到的垂線段【答案】C【解析】A、點到的垂線段是線段，正確，故此選項不符合題意；B、點到的垂線段是線段，正確，故此選項不符合題意；C、線段是點到的垂線段，原說法錯誤，故此選項符合題意；D、線段是點到的垂線段，正確，故此選項不符合題意；故選C．【變式訓(xùn)練】1．如圖，，，垂足為點D，則下面的結(jié)論正確的有（

）①與互相垂直；②與互相垂直；③點A到的垂線段是線段；④點C到的垂線段是線段；⑤線段的長度是點A到的距離．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個考點七、利用垂線的定義求角的度數(shù)例題7：如圖，直線與相交于點O，是的平分線，，，．(1)求的度數(shù)；(2)與是否相等，請說明理由；(3)直接寫出圖中的所有余角．【解析】（1）因為，所以，又因為與是對頂角，所以，所以；（2）相等，理由：因為與是對頂角，所以，因為是的平分線，所以，又因為，所以，所以，而，所以；（3）圖中的所有余角為，，．【變式訓(xùn)練】1．如圖，直線，相交于點O，，垂足為O．(1)若，則的度數(shù)為______（直接寫出結(jié)果）；(2)若，求的度數(shù)．考點八、點到直線的距離與垂線段最短例題8：如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位長度，，，都在格點上．(1)過點作直線的垂線，垂足為；(2)過點作直線，垂足為，直線交于點；(3)點到直線的距離等于__________個單位長度．【解析】（1）如圖，直線即為所求．（2）如圖，直線即為所求．（3）由（1）中圖可得，點A到直線的距離等于2個單位長度．【變式訓(xùn)練】1．如圖，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．(1)過點P作的垂線，交于點E；過點P作的垂線，垂足為F；(2)線段的長度是點P到直線______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段這三條線段大小關(guān)系是______（用“＜”號連接），理由是______．過關(guān)檢測一、選擇題1．若一個角是，則這個角的余角是（

）A． B． C． D．2．如圖，點O在直線上，．若，則的大小為（）A． B． C． D．3．下列所示的四個圖形中，和是同位角的是（

）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④4．如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且于點B，，則下列結(jié)論中正確的是（）①線段的長度是點P到直線l的距離；②線段是A點到直線的距離；③在三條線段中，最短；④線段的長度是點P到直線l的距離．A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④5．如圖，平面內(nèi)，平分，為反向延長線上一點(圖中所有角均指小于的角），有以下結(jié)論：①；②；③；④若，則．其中結(jié)論正確的序號有（

）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④二、填空題6．已知，則的余角為，補角為．7．如圖，直線，相交于點，，平分，則的度數(shù)為．8．如圖，，垂足為C，若，則點A到的距離為．9．如圖，污水處理廠要從A處把處理過的水引入排水溝，做法如下：過點A作于點B，沿著方向鋪設(shè)排水管道可用料最?。軠?zhǔn)確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是．10．如圖①，點O在直線上，，，將繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖②），當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第t秒時，平分，則t的值為．三、解答題11．如圖，直線相交于點O，于O，平分，若，求的度數(shù)．12．如圖，O為直線上的一點，且，平分．(1)若，則的度數(shù)為___________．(2)若平分，且，求的度數(shù)．13．