第頁5．3．2函數(shù)的極值與最大（?。┲怠绢}型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的極值題型二：由極值求參數(shù)的值或取值范圍題型三：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點（方程根）問題題型四：不含參函數(shù)的最值問題題型五：含參函數(shù)的最值問題題型六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題題型七：導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題題型十：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題題型十一：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式題型十二：利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題【知識點梳理】知識點一、函數(shù)的極值（一）函數(shù)的極值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義，（1）若對于附近的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極大值，記作；（2）若對附近的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱極值．在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．知識點詮釋：由函數(shù)的極值定義可知：（1）在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)在及其附近有定義，否則無從比較．（2）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，是一個局部概念；在函數(shù)的整個定義域內(nèi)可能有多個極值，也可能無極值．由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最?。?）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值．極小值不一定是整個定義區(qū)間上的最小值．（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點．而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點．（二）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③求方程的根；④檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，則在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則在這個根處取得極小值．（最好通過列表法）知識點詮釋：①可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是導(dǎo)函數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點．即是可導(dǎo)函數(shù)在點取得極值的必要非充分條件．例如函數(shù)，在處，，但不是函數(shù)的極值點．②可導(dǎo)函數(shù)在點取得極值的充要條件是，且在兩側(cè)的符號相異．知識點二、函數(shù)的最值（一）函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如．知識點詮釋：①函數(shù)的最值點必在函數(shù)的極值點或者區(qū)間的端點處取得．②函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個．（二）求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)；（2）求方程在內(nèi)的根；（3）求在內(nèi)使的所有點的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．知識點詮釋：①求函數(shù)的最值時，不需要對導(dǎo)數(shù)為0的點討論其是極大還是極小值，只需將導(dǎo)數(shù)為0的點和端點的函數(shù)值進(jìn)行比較即可．②若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（小）值即為最大（?。┲担ㄈ┳钪蹬c極值的區(qū)別與聯(lián)系①函數(shù)的最大值和最小值是比較整個定義域上的函數(shù)值得出的（具有絕對性），是整個定義域上的整體性概念．最大值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最小值．函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的（具有相對性），是局部的概念；②極值可以有多個，最大（?。┲等舸嬖谥挥幸粋€；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點取得；最大（?。┲悼赡苁悄硞€極大（小）值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；③有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值．知識點三、函數(shù)極值與最值的簡單應(yīng)用1、不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題．一些含參不等式，一般形如，若能分離參數(shù)，即可化為：（或）的形式．若其恒成立，則可轉(zhuǎn)化成（或），從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．若不能分離參數(shù)，就是求含參函數(shù)的最小值，使．所以仍為求函數(shù)的最值問題，只是再求最值時可能需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．2、證不等式問題．當(dāng)所要證的不等式中只含一個未知數(shù)時，一般形式為，則可化為，一般設(shè)，然后求的最小值，證即可．所以證不等式問題也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題．3、兩曲線的交點個數(shù)問題（方程解的個數(shù)問題）一般可轉(zhuǎn)化為方程的問題，即的解的個數(shù)問題，我們可以設(shè)，然后求出的極大值、極小值，根據(jù)解的個數(shù)討論極大值、極小值與0的大小關(guān)系即可．所以此類問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的極值例1．已知函數(shù)，則（

）A．有極小值，無極大值 B．有極大值，無極小值C．既有極小值又有極大值 D．無極小值也無極大值【答案】C【解析】由題意函數(shù)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時，函數(shù)取得極小值.故選：C.例2．關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是（

）A．導(dǎo)數(shù)為零的點一定是函數(shù)的極值點B．函數(shù)的極小值一定小于它的極大值C．一個函數(shù)在它的定義域內(nèi)最多只有一個極大值和一個極小值D．若一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有極值，則這個函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)【答案】D【解析】對于A選項，取，則，，當(dāng)時，，故不是函數(shù)的極值點，故A不正確；極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，極大值與極小值之間一般來說沒有大小關(guān)系，故B不正確；一個函數(shù)在它的定義域內(nèi)可能有多個極大值和極小值，故C不正確；若一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有極值，則這個函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，D正確.故選：D.變式1．函數(shù)（

）A．有最大（小）值，但無極值 B．有最大（小）值，也有極值C．既無最大（小）值，也無極值 D．無最大（?。┲担袠O值【答案】C【解析】，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)無最大值和最小值，也無極值，故選：C變式2．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，取得極小值1 B．當(dāng)時，取得極大值1C．當(dāng)時，取得極大值33 D．當(dāng)時，取得極大值【答案】B【解析】由題意得，令，解得或，當(dāng)x變化時，、變化如下x-1+0-0+極大值極小值所以當(dāng)時，取得極大值1，故B正確、C、D錯誤，當(dāng)時，取得極小值，故A錯誤，故選：B變式3．已知函數(shù)，則的極大值點為（

）A．1 B． C．－1 D．2【答案】B【解析】因為，所以f（x）在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f（x）的極大值點為．所以B正確.故選：B.變式5．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，求：(1)曲線在點處的切線方程；(2)函數(shù)的極大值點．【解析】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，從而得到，即，所以．因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為．（2），由，得，由，得或，所以函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以函數(shù)的極大值點是．【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)極值和極值點的求解步驟（1）確定函數(shù)的定義域．（2）求方程的根．（3）用方程的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況．題型二：由極值求參數(shù)的值或取值范圍例4．已知函數(shù)有極值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，定義域為R，，要使函數(shù)有極值，則必有兩個不等的實根，則，解得.故選：D.例5．函數(shù)在處有極值，則的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．2【答案】A【解析】因為在處有極值，所以，解得所以故選：A變式7．若是函數(shù)的極值點，則a為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】，是函數(shù)的極值點，所以，所以.故選：D.變式8．若函數(shù)在處有極值10，則（

）A．6 B． C．或15 D．6或【答案】B【解析】，又時有極值10，解得或當(dāng)時，此時在處無極值，不符合題意，經(jīng)檢驗，時滿足題意，故選：B變式9．已知函數(shù)既有極大值，又有極小值，則的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】由，又有極大值、極小值，所以有兩個變號零點，則，整理得，可得或.故選：B變式10．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋在內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，因為函數(shù)f(x)＝lnx＋在內(nèi)有極值，所以在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，要想方程在時有解，只需，故選：A變式11．函數(shù)在處有極值10，則為（

）A． B．15 C．或15 D．不存在【答案】B【解析】由，得則，解之得或當(dāng)時，，則在定義域上單調(diào)遞增，在處無極值，不符合題意，舍去.當(dāng)時，，則在處取極小值10，符合題意.則故選：B【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法（1）對于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0，極值點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號．注意：求出參數(shù)后，一定要驗證是否滿足題目的條件．（2）對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，即轉(zhuǎn)化為或在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．題型三：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點（方程根）問題例7．已知函數(shù)在x=1處取得極值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三個相異實根，求實數(shù)k的取值范圍.【解析】（1），因為在處取得極值3，所以，即，解得.，經(jīng)驗證，滿足題意，所以（2）方程有三個相異實根，即直線與函數(shù)圖象有三個不同的交點.由（1）知，令，解得或.當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示：100單調(diào)遞增3單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當(dāng)時，有極大值，且極大值為；當(dāng)時，有極小值，且極小值為.作函數(shù)圖象如下：所以實數(shù)的取值范圍是.例8．已知函數(shù)．(1)求證：有且僅有兩個極值點的；(2)若，函數(shù)有三個零點，求實數(shù)c的取值范圍．【解析】（1）依題意，，令，即，因為恒成立，則有兩個根，不妨令，即，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，分別是的極大值點和極小值點，所以有且僅有兩個極值點的．（2）由（1）知是關(guān)于x的方程的兩根，即有，，因，則，解得或，當(dāng)時，，，則，，由（1）知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值為，極小值為，要使函數(shù)有三個零點，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得；當(dāng)時，，，則，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值為，極小值為，要使函數(shù)有三個零點，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，．變式14．已知函數(shù)在點處的切線斜率為4，且在處取得極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．【解析】（1）由題可得，由題意得即解得，，，所以．（2）因為，令，得或．當(dāng)變化時，，的變化情況如下：－1＋0－0＋2所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是，．（3）因為，，由（2）可知：在處取得極大值，在處取得極小值，依題意，要使有三個零點，則，即，解得，所以的取值范圍為．變式15．已知函數(shù)在和處取得極值．(1)求a，b的值；(2)若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點，求m的取值范圍．【解析】（1）由題可得，由題意，得，則，解得，經(jīng)檢驗，此時滿足在和處取得極值，所以；（2）令，則原題意等價于圖象與軸有三個交點．∵，∴由，解得或，由，解得，∴在時取得極大值，在時取得極小值，依題意得，解得，故m的取值范圍為．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便．（2）解決這類問題，一個就是注意借助幾何圖形的直觀性，另一個就是正確求導(dǎo)，正確計算極值．題型四：不含參函數(shù)的最值問題例10．已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則的最大值是______．【答案】0【解析】因為定義域為，所以．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，從而．故答案為：．例11．已知函數(shù)，，則的最大值為___________.【答案】1【解析】函數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，又因為，所以，所以在時單調(diào)遞增，其最大值為.故答案為：1變式17．已知函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的最大值為______．【答案】16【解析】因為，所以，設(shè)，因為為偶函數(shù)，，，解得．因此，所以，令，解得，，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，時，．在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間，、，上是減函數(shù)又，的最大值為．故答案為：變式19．函數(shù)的最大值為___．【答案】【解析】函數(shù)，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；綜上，函數(shù)的最大值為.故答案為：.變式20．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為______．【答案】【解析】對求導(dǎo)，可得：故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增可得：，，可得：故在區(qū)間上的最大值為故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)最值的步驟（1）求函數(shù)的定義域．（2）求，解方程．（3）列出關(guān)于，，的變化表．（4）求極值、端點處的函數(shù)值，確定最值．注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較．題型五：含參函數(shù)的最值問題例13．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在上的最小值．【解析】（1）當(dāng)時，，則，所以，，所以曲線在處的切線方程為.（2）由題意得，因為恒成立，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.（3）由（2）得，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，；②當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，.例14．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，記在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍．【解析】（1）由可得，當(dāng)時，即，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，即，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時,,由（1）知在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，所以；，所以；所以；令，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，即；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，則，即，故的取值范圍為.變式21．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)f（x）在x=－1處取得極值，求實數(shù)a的值；(2)當(dāng)時．求函數(shù)f（x）的最大值．【解析】（1）由題意可知，所以，即3-3a=0解得a=1，經(jīng)檢驗a=1，符合題意．所以a=1．（2）由（1）知，令，，當(dāng)即時，f（x）和隨x的變化情況如下表：x－21＋0－0＋－7+6a單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)調(diào)增2－3a，由上可知，所以的最大值為．當(dāng)即時，f（x）和隨x的變化情況如下表：x－21＋0－－7+6a單調(diào)遞增單調(diào)遞減2－3a，由上可知，所以f（x）的最大值為．當(dāng)即時，恒成立，即f（x）在［－2，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值為f（－2）=－7+6a，綜上所述，當(dāng)時，f（x）的最大值為；當(dāng)時，f（x）的最大值為－7+6a．【方法技巧與總結(jié)】含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況（1）能根據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題．（2）對于不能求出參數(shù)值的問題，則要對參數(shù)進(jìn)行討論，其實質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況．若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值．題型六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題例16．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____．【答案】【解析】當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且無最大值，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，取得極大值也是最大值為，要使有最大值，則，，故答案為：．例17．已知函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)a的值為__________．【答案】1【解析】的定義域為，，當(dāng)時，，在區(qū)間上遞增，沒有最小值.當(dāng)時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以在區(qū)間上的最小值為.故答案為：例18．已知函數(shù)的最小值為2，則實數(shù)a的值是___________.【答案】1或.【解析】因為，，當(dāng)時，，所以是上的減函數(shù)，函數(shù)無最小值，不符合題意；當(dāng)時，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為，由，得，解得或.故答案為：1或.變式24．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】，令解得；令，解得或由此可得在上時增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故函數(shù)在處有極大值，在處有極小值，，解得故答案為：變式25．已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)或時，單調(diào)遞增，∴在取得極大值，處取得極小值.令，整理得，解得：或∵函數(shù)在上存在最小值，∴，解得.故答案為：.變式26．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】由題設(shè)，，令即，則，又函數(shù)在上有最大值，即存在極大值，則，可得，令，則，所以當(dāng)時，，故在上遞減，所以上，上，滿足在上存在極大值.綜上，.故答案為：變式27．已知函數(shù)，，若對，，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為函數(shù)，所以，所以對，函數(shù)的值域為；由，，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，不符合題意，所以，令，解得，則，否則不符題意則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，作出函數(shù)在上的大致圖象，如圖，由圖象可知，要使對，使得成立，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值（或范圍）是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程（不等式）解決問題．題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題例22．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)求函數(shù)的極值．【解析】（1）當(dāng)時，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以，即函數(shù)在區(qū)間上的值域.（2）因為，，則，當(dāng)時，所以在定義域上單調(diào)遞增，不存在極值；當(dāng)時令，解得或，又，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極大值，，在處取得極小值，，當(dāng)時令，解得或，又，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極大值，，在處取得極小值，，綜上可得：當(dāng)時無極值，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，．例24．已知是函數(shù)的極值點，且曲線在點處的切線斜率為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若在區(qū)間上存在最小值，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1），則，由題意得，解得，，經(jīng)檢驗，滿足題意，（2），當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若在區(qū)間上存在最小值，則，故m的取值范圍為．變式30．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求在上的最值；(2)討論的極值點的個數(shù).【解析】（1）當(dāng)時，，，故在上單調(diào)遞增，，.（2）,①當(dāng)時,恒成立,此時在上單調(diào)遞增，不存在極值點.②當(dāng)時,令,即，解得:或，令,即，解得故此時在遞增,在遞減,在遞增,所以在時取得極大值，在時取得極小值，故此時極值點個數(shù)為2，綜上所述:時,無極值點，時,有2個極值點.變式31．（2022·湖北·高三期中）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間(2)若函數(shù)在處取得極值，求的最大值和最小值．【解析】（1）若，有，定義域為則，得；得或所以，的減區(qū)間是，增區(qū)間是，；（2）∵，即：∴∴∴∴當(dāng)或時，；當(dāng)時，∴在，上遞增，在上遞減∴的極大值為，的極小值為.又∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，．【方法技巧與總結(jié)】（1）已知極值點求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義．（2）討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即的正負(fù)．（3）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較，最大的那個值是最大值，最小的那個值是最小值．題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題例25．已知函數(shù).(1)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）解:由題知在上恒成立,即,,只需即可,即,記,,,,,在單調(diào)遞減,;（2）由題知,在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,即恒成立,,只需恒成立,即,記,,,,在單調(diào)遞增,,只需即可,綜上:.例26．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）∵，∴，令，解得：，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由題可知，由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，∴，即，故的取值范圍為.例27．已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域為①當(dāng)時，令，可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為②當(dāng)時，令，可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）在恒成立，則在恒成立即在恒成立，令，令，，，，則在上恒成立在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在恒成立，則的范圍是.變式32．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對一切恒成立，求m的取值范圍．【解析】（1）∵∴，由得或，且當(dāng)或時，，當(dāng)時，，∴的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（2）依題意可得在上恒成立，令，則，令，易知在上單調(diào)遞增，∵，∴，又∵，∴，使得，即有，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，即m的取值范圍為．變式33．已知函數(shù)在與處都取得極值．（1）求，的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)，，又，，解得，．（2）由，知，即，當(dāng)時，，隨的變化情況如下表：1+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，為極大值，又，則為在上的最大值，要使對任意恒成立，則只需，解得或，∴實數(shù)的取值范圍為．【方法技巧與總結(jié)】解決不等式恒成立問題，有兩種求解方法．一種是轉(zhuǎn)化為求最值，另一種是分離參數(shù)．分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟題型十：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題例29．是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造，則，因為定義域為，且，所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為：，即，所以有，解得：.即不等式的解集為：.故選：D例30．設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，所以，又因為，所以，在上單調(diào)遞增，因為，所以，不等式，可整理為，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.變式36．定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，

因為定義在上的函數(shù)滿足，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，即，所以ex＞10，所以x＞ln10，所以不等式的解集為.故選：B.變式38．定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，∴在R上單調(diào)遞減，又∵，∴，即，∴.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】解決不等式問題，通常先構(gòu)造新函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性，從而使不等式問題得以解決．題型十一：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例31．已知函數(shù)，．(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，存在兩個極值點，，證明：．【解析】（1）∵，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立；設(shè)，則，當(dāng)時，，∴單調(diào)遞增，∴，∴，即實數(shù)a的取值范圍是．（2）由（1）知：，滿足．∴，不妨設(shè)，則．∴，則要證，即證，即證，也即證成立．設(shè)函數(shù)，則，∴在單調(diào)遞減，又．∴當(dāng)時，，∴，即.變式39．已知函數(shù).(1)若在上有2個零點，求a的取值范圍；(2)證明：.【解析】(1)當(dāng)時，，由，得.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.因為，且在上有2個零點.所以a的取值范圍為.(2)證明：要證，只需證.當(dāng)時，，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故，因為，所以等號取不到，所以，即，所以.變式43．已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）證明：當(dāng)時，．【解析】（1）,當(dāng)時,；當(dāng)時,當(dāng)變化時,的變化情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此,當(dāng)時,有極大值,并且極大值為，沒有極小值.（2）令函數(shù),由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.又故在存在唯一零點.設(shè)為,則當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減又，所以，當(dāng)時,.故.變式44．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：．【解析】（1），所以切點為.，，所以切線為.（2）要證，只需證：，即證：.令，.令，解得.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以，所以恒成立，即證.【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（比較大?。┏Ｅc函數(shù)最值問題有關(guān)．因此，解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù)，然后考察這個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解．題型十二：利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題例34．已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍(3)若在定義域內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），則，因為切線與直線垂直，所以，解得.（2），則，在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，令，則，當(dāng)時取得最小值，，所以.（3）當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；當(dāng)時，時，；時，，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，解得，此時，，，令，則，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時，，即,所以所以有兩個零點，故.變式46．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求在上的最小值；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求b的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，在處取得極值，，即解得，，所以，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上的最小值為.（2）由（1）知，，若函數(shù)有且只有一個零點，則方程有唯一解，即有唯一解，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，函數(shù)圖象如下所示：或，得或，即b的取值范圍為.變式47．已知函數(shù)f(x)＝－1，（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a≤1時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上零點的個數(shù)．【解析】（1），令，得．f′(x)及f(x)隨x的變化情況如下表：＋0－遞增極大值遞減所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e1－a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e1－a，＋∞)．（2）由（1）可知f(x)的最大值為，①當(dāng)a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞減．又f(1)＝0，故f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個零點．②當(dāng)a<1時，1－a>0，e1－a>1，則，所以f(x)在區(qū)間上無零點．綜上，當(dāng)a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個零點，當(dāng)a<1時，f(x)在區(qū)間(0，e]上無零點．變式48．已知函數(shù)的圖像過點.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由函數(shù)的圖像過點，可知，，解得，即，所以令，則或，令，則.∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2）由（1）知，函數(shù)的極大值為，極小值為.由數(shù)形結(jié)合思想可知，要使函數(shù)有3個零點.即有三個交點，則，解得.故的取值范圍為.變式50．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個不同的零點，求的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)由（1）得，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)最多一個零點，故不符題意；當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為有兩個不同的零點，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為.【方法技巧與總結(jié)】解決零點問題，有兩種求解方法．一種是直接法，另一種是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩圖像交點問題．【同步練習(xí)】一、單選題1．若在區(qū)間內(nèi)有定義，且x0∈，則“”是“x0是函數(shù)的極值點”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分條件也非必要條件【答案】D【解析】由不一定能得到x0是函數(shù)的極值點，反例，，但并不是的極值點，反過來：x0是函數(shù)的極值點也不一定能得到，反例，為的極小值點，但不存在，∴“”是“x0是函數(shù)的極值點”的既非充分條件也非必要條件，故選：D．2．若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：∵，則當(dāng)，則當(dāng)時恒成立，即∴在上單調(diào)遞減，則在上無最值，即不成立當(dāng)，則當(dāng)時恒成立，即∴在上單調(diào)遞增，則在上無最值，即不成立當(dāng)，令，則∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則在上有最小值，即成立，故選：A.3．如圖所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，當(dāng)?shù)妊菪蜛BDE的面積最大時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，過點D作于點C，設(shè)等腰梯形ABDE的面積為S，則，因為，，所以．則，令，得或，由于，所以，所以，此時．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故當(dāng)時，S取得極大值，也是最大值．故選：B．4．函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則下列命題不正確的是（

）．A．函數(shù)在內(nèi)一定不存在最小值B．函數(shù)在內(nèi)只有一個極小值點C．函數(shù)在內(nèi)有兩個極大值點D．函數(shù)在內(nèi)可能沒有零點【答案】A【解析】設(shè)的根為，，，且，則由圖可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，當(dāng)，時，是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最小值，所以A錯誤，B正確；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值、，所以C正確；當(dāng)，，時，函數(shù)在內(nèi)沒有零點，所以D正確．故選：A．5．設(shè)函數(shù)，若對任意的有恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，令，得或.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，所以因為對任意的有恒成立，所以，即.故選：C6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，以下結(jié)論：①在區(qū)間上有2個極值點②在處取得極小值③在區(qū)間上單調(diào)遞減④的圖像在處的切線斜率小于0正確的序號是（

）A．①④ B．②③④ C．②③ D．①②④【答案】B【解析】根據(jù)的圖像可得，在上，，所以在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上沒有極值點，故①錯誤，③正確；由的圖像可知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故②正確；根據(jù)的圖像可得，即的圖像在處的切線斜率小于0，故④正確.故選：B.7．若函數(shù)有2個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，因為函數(shù)的定義域為，且函數(shù)有2個極值點，則有2個不同的正實數(shù)根，所以且，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B．8．若函數(shù)的最大值為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)x＜0時，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝?1時，f（x）取得最大值f（?1）＝a?2，由題意可得x＞0時，的值域包含于（?∞，a?2]，即在x＞0時恒成立即在x＞0時恒成立即設(shè)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故選：C．二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．恒成立 B．是上的減函數(shù)C．在得到極大值 D．在區(qū)間內(nèi)只有一個零點【答案】CD【解析】，該函數(shù)的定義域為，所以，由，可得，由，可得，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，，故B選項錯誤，C選項正確；當(dāng)時，，此時，A選項錯誤；由題可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，而，故在區(qū)間內(nèi)只有一個零點，D選項正確.故選：CD.10．已知函數(shù)的極值點分別為，則下列選項正確的是（

）A．B．C．若，則D．過僅能做曲線的一條切線【答案】ACD【解析】，，因為函數(shù)的極值點分別為，所以有兩個不相等的實數(shù)根，所以，故A正確.對選項B，因為，所以，令，則，，所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，為函數(shù)的極值點.所以，故B錯誤.對選項C，，化簡得：，解得，故C正確.對選項D，設(shè)切點為，，切線過，所以，即，解得，所以過僅能做曲線的一條切線，故D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍是，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C．1 D．2【答案