西南大學(xué)高數(shù)試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.1B.3C.\(\frac{1}{3}\)D.03.函數(shù)\(y=x^3\)在點\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.04.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(e^{-x}\)，則\(f(x)=\)（）A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{x}\)D.\(-e^{x}\)5.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.36.函數(shù)\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y>0\)B.\(x+y\geq0\)C.\(x>0\)且\(y>0\)D.\(x\neq0\)且\(y\neq0\)7.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與向量\(\vec=(2,4,6)\)的關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.相交D.異面8.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=x\)C.\(y=3x-2\)D.\(y=2x+1\)9.函數(shù)\(f(x,y)=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點10.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對收斂的多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理條件的有（）A.\(y=x^2-1\)，\([-1,1]\)B.\(y=x\)，\([0,1]\)C.\(y=|x|\)，\([-1,1]\)D.\(y=x^2-2x\)，\([0,2]\)4.下列積分計算正確的有（）A.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)B.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)C.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)D.\(\int_{0}^{2}x^2dx=\frac{8}{3}\)5.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的有（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)連續(xù)B.函數(shù)連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)存在C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則函數(shù)可微D.函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)存在6.下列向量中，與向量\(\vec{m}=(1,-1,2)\)垂直的有（）A.\(\vec{n}_1=(1,1,0)\)B.\(\vec{n}_2=(2,2,-1)\)C.\(\vec{n}_3=(-2,2,2)\)D.\(\vec{n}_4=(0,0,0)\)7.下列曲線中，關(guān)于\(x\)軸對稱的有（）A.\(y^2=x\)B.\(x^2+y^2=1\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\sqrt{x}\)8.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)9.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的等價條件有（）A.函數(shù)在點\(x_0\)處連續(xù)B.函數(shù)在點\(x_0\)處的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.函數(shù)在點\(x_0\)處的切線存在D.函數(shù)在點\(x_0\)處的極限存在10.下列方程表示平面的有（）A.\(x+y+z=1\)B.\(x^2+y^2=1\)C.\(z=0\)D.\(y=2x+1\)判斷題（每題2分，共10題）1.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（）2.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）3.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在。（）4.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)，則\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微。（）5.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與向量\(\vec=(-1,-2,-3)\)平行。（）6.曲線\(y=x^3\)的拐點是\((0,0)\)。（）7.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)是絕對收斂的。（）8.函數(shù)\(y=e^x\)的反函數(shù)是\(y=\lnx\)。（）9.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為0，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)是一個常數(shù)。（）10.方程\(x^2+y^2-z^2=0\)表示的是圓錐面。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)。-答案：將函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=(x+x^{-1})^\prime=1-\frac{1}{x^2}\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx\)。-答案：根據(jù)定積分運(yùn)算法則，\(\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}e^xdx\)。\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}e^xdx=[e^x]_0^1=e-1\)，所以結(jié)果為\(\frac{1}{3}+e-1=e-\frac{2}{3}\)。3.求函數(shù)\(z=x^2y+xy^2\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。-答案：求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)時把\(y\)看作常數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2\)；求\(\frac{\partialz}{\partialy}\)時把\(x\)看作常數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy\)。4.求曲線\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。-答案：對\(y=x^3-3x^2+1\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，解得\(0<x<2\)，此為減區(qū)間。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1\\2x-1,&x>1\end{cases}\)在\(x=1\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。-答案：\(\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}x^2=1\)，\(\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}2x-1=1\)，\(f(1)=1\)，函數(shù)在\(x=1\)處連續(xù)。\(f^\prime_-(1)=\lim_{h\to0^{-}}\frac{(1+h)^2-1}{h}=2\)，\(f^\prime_+(1)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{2(1+h)-1-1}{h}=2\)，函數(shù)在\(x=1\)處可導(dǎo)。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)的斂散性，其中\(zhòng)(p\)為實數(shù)。-答案：當(dāng)\(p>1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，原級數(shù)絕對收斂；當(dāng)\(0<p\leq1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散，但由萊布尼茨判別法知原級數(shù)條件收斂；當(dāng)\(p\leq0\)時，\(\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\neq0\)，原級數(shù)發(fā)散。3.討論二元函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的極值情況。-答案：求偏導(dǎo)數(shù)，\(z_x=2x-2\)，\(z_y=2y+4\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，解得\(x=1\)，\(y=-2\)。再求二階偏導(dǎo)數(shù)，\(A=z_{xx}=2\)，\(B=z_{xy}=0\)，\(C=z_{yy}=2\)，\(AC-B^2=4>0\)且\(A>0\)，所以在點\((1,-2)\)處有極小值，\(z(1,-2)=1+4-2-8=-5\)。4.討論在實際問題中，利用導(dǎo)數(shù)求最值的一般步驟。-答案：首先，根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系\(y=f(x)\)，確定定義域；其次，對函數(shù)求導(dǎo)\(f^\prime(x)\)，找