高考函數(shù)專(zhuān)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練題庫(kù)函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心支柱，貫穿高考數(shù)學(xué)的全題型考查——從基礎(chǔ)概念辨析到復(fù)雜綜合探究，分值占比常年穩(wěn)定在30%以上。本題庫(kù)圍繞高考函數(shù)五大核心專(zhuān)題，通過(guò)“考點(diǎn)精析+典例突破+分層訓(xùn)練”的結(jié)構(gòu)，幫助考生構(gòu)建系統(tǒng)化的函數(shù)知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)從“知識(shí)理解”到“能力遷移”的跨越。專(zhuān)題一函數(shù)的概念與表示考點(diǎn)聚焦高考對(duì)函數(shù)概念的考查，聚焦于定義域的限制條件（根式、分式、對(duì)數(shù)式的定義域規(guī)則）、解析式的求法（待定系數(shù)法、換元法、配湊法、方程組法）以及值域的分析維度（單調(diào)性法、換元法、判別式法等）。這部分是函數(shù)學(xué)習(xí)的“地基”，直接影響后續(xù)性質(zhì)與應(yīng)用的理解。典例精講例題1：已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈([1,3]\)，求\(f(2x-1)\)的定義域。解析：函數(shù)定義域是自變量\(x\)的取值范圍，對(duì)于\(f(2x-1)\)，內(nèi)層函數(shù)\(2x-1\)的取值需滿足\(f(x)\)的定義域要求。令\(1\leq2x-1\leq3\)，解不等式得\(1\leqx\leq2\)，故\(f(2x-1)\)的定義域?yàn)閈([1,2]\)。思路提煉：抽象函數(shù)定義域的本質(zhì)是“括號(hào)內(nèi)整體范圍一致”，即\(f(g(x))\)中\(zhòng)(g(x)\)的取值范圍與\(f(x)\)中\(zhòng)(x\)的取值范圍相同。例題2：已知\(f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\)，求\(f(x)\)的解析式。解析：用\(\frac{1}{x}\)代替原式中的\(x\)，得\(f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{3}{x}\)。聯(lián)立原方程：\[\begin{cases}f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\\2f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}\end{cases}\]消去\(f\left(\frac{1}{x}\right)\)，將第二個(gè)方程乘以2再減去第一個(gè)方程，得\(3f(x)=\frac{6}{x}-3x\)，故\(f(x)=\frac{2}{x}-x\)（\(x\neq0\)）。思路提煉：含\(f(x)\)與\(f\left(\frac{1}{x}\right)\)的方程，通過(guò)“變量代換+方程組消元”求解，需同步確定定義域。專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練基礎(chǔ)層（夯實(shí)概念）1.函數(shù)\(y=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)}\)的定義域?yàn)開(kāi)_____。2.若\(f(x-1)=x^2-2x\)，則\(f(x)=\)______（用配湊法或換元法求解）。提升層（深化理解）3.已知\(f(x)\)是一次函數(shù)，且\(f(f(x))=4x+3\)，求\(f(x)\)的解析式。4.函數(shù)\(y=\frac{2x^2+4x-7}{x^2+2x+3}\)的值域?yàn)開(kāi)_____（嘗試判別式法或分離常數(shù)法）。拓展層（思維遷移）5.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x)+f(1-x)=2\)，若\(f(0)=0\)，則\(f(1)+f\left(\frac{1}{2}\right)+f(2)+f\left(\frac{3}{2}\right)=\)______（分析函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性）。專(zhuān)題二函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）考點(diǎn)聚焦函數(shù)的性質(zhì)是高考核心命題點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)性常結(jié)合導(dǎo)數(shù)或定義法考查（尤其是抽象函數(shù)的單調(diào)性證明）；奇偶性側(cè)重“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”的前提，以及\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系轉(zhuǎn)化；周期性多與奇偶性結(jié)合，考查函數(shù)值的周期性重復(fù)規(guī)律。三者的綜合應(yīng)用（如“奇偶性+單調(diào)性”解不等式、“周期性+對(duì)稱(chēng)性”求函數(shù)值）是難點(diǎn)。典例精講例題1：定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，且\(f(1)=0\)，求不等式\(f(x)>0\)的解集。解析：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故\(f(-1)=-f(1)=0\)，且在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞增（奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間單調(diào)性一致）。當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)>0=f(1)\)，由單調(diào)性得\(x>1\)；當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f(x)>0=f(-1)\)，由單調(diào)性得\(-1<x<0\)；\(x=0\)時(shí)，奇函數(shù)\(f(0)=0\)，不滿足\(f(x)>0\)。綜上，解集為\((-1,0)\cup(1,+\infty)\)。思路提煉：利用奇偶性補(bǔ)全函數(shù)圖像，結(jié)合單調(diào)性“脫”去\(f\)符號(hào)，注意定義域的分段討論。例題2：已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=-\frac{1}{f(x)}\)，且\(f(1)=2\)，求\(f(9)\)的值。解析：由\(f(x+2)=-\frac{1}{f(x)}\)，將\(x\)換為\(x+2\)，得\(f(x+4)=-\frac{1}{f(x+2)}=f(x)\)，故周期\(T=4\)。因此\(f(9)=f(4\times2+1)=f(1)=2\)。思路提煉：周期性判定的關(guān)鍵是推導(dǎo)\(f(x+T)=f(x)\)，再利用周期性將大自變量轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間內(nèi)的自變量。專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練基礎(chǔ)層1.若\(f(x)=ax^2+bx+3a+b\)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)閈([a-1,2a]\)，則\(a=\)______，\(b=\)______。2.證明函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增（用定義法：設(shè)\(x_1<x_2\)，作差\(f(x_2)-f(x_1)\)）。提升層3.已知偶函數(shù)\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，解不等式\(f(2x-1)>f(3)\)。4.函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+1)=f(1-x)\)且\(f(x+3)=-f(x)\)，判斷其周期并求\(f(2023)\)（若\(f(0)=1\)）。拓展層5.定義在\(\mathbb{R}\)上的函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x)+f(-x)=4\)，且當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=2^x+x^2\)，求\(f(-1)+f(-2)\)的值（分析函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的函數(shù)值）。專(zhuān)題三基本初等函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)）考點(diǎn)聚焦指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)是考查重點(diǎn)，包括單調(diào)性（與底數(shù)的關(guān)系）、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、圖像變換（平移、對(duì)稱(chēng)）；同時(shí)，指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算（換底公式、指對(duì)互化）是解決方程、不等式的工具；三者的綜合應(yīng)用（如指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、冪函數(shù)的圖像識(shí)別）常出現(xiàn)在選擇題中。典例精講例題1：函數(shù)\(y=a^{x-2}+1\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖像恒過(guò)定點(diǎn)______。解析：指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)恒過(guò)\((0,1)\)，令\(x-2=0\)即\(x=2\)，此時(shí)\(y=a^0+1=2\)，故定點(diǎn)為\((2,2)\)。思路提煉：對(duì)于\(y=a^{f(x)}+k\)，令\(f(x)=0\)求定點(diǎn)，再計(jì)算\(y\)值（對(duì)數(shù)型函數(shù)同理）。例題2：解不等式\(\log_2(x+1)>\log_4(3x+1)\)。解析：利用換底公式，將\(\log_4(3x+1)\)轉(zhuǎn)化為以2為底：\(\log_4(3x+1)=\frac{1}{2}\log_2(3x+1)=\log_2\sqrt{3x+1}\)。原不等式變?yōu)閈(\log_2(x+1)>\log_2\sqrt{3x+1}\)，因\(y=\log_2x\)單調(diào)遞增，故：\[\begin{cases}x+1>0\\3x+1>0\\x+1>\sqrt{3x+1}\end{cases}\]解第三個(gè)不等式（兩邊平方，注意非負(fù)性）得\(x^2-x>0\)，即\(x>1\)或\(x<0\)。結(jié)合前兩個(gè)不等式，最終解集為\(\left(-\frac{1}{3},0\right)\cup(1,+\infty)\)。思路提煉：解對(duì)數(shù)不等式的核心是“化同底”，利用單調(diào)性“脫”對(duì)數(shù)符號(hào)，嚴(yán)格保證真數(shù)大于0。專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練基礎(chǔ)層1.函數(shù)\(y=\log_a(x-1)+2\)（\(a>0,a\neq1\)）恒過(guò)定點(diǎn)______。2.計(jì)算：\(\log_34\cdot\log_49-(\sqrt{2}-1)^{\log_{\sqrt{2}-1}3}\)（利用換底公式和對(duì)數(shù)恒等式）。提升層3.已知\(0<a<1\)，比較\(a^{2a}\)、\((2a)^a\)、\(a^{a^2}\)的大?。ńY(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，先分析底數(shù)或指數(shù)的范圍）。4.解不等式：\(2^{x^2-3x}>\left(\frac{1}{2}\right)^{4-x}\)（利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為同底）。拓展層5.函數(shù)\(f(x)=|\log_ax|\)（\(a>1\)）的圖像與直線\(y=1\)、\(y=2\)圍成的圖形面積為_(kāi)_____（分析圖像的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性）。專(zhuān)題四函數(shù)的零點(diǎn)與方程、不等式考點(diǎn)聚焦函數(shù)的零點(diǎn)是“數(shù)”與“形”的橋梁，高考?？剂泓c(diǎn)存在性定理的應(yīng)用、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷（結(jié)合圖像或單調(diào)性）、零點(diǎn)問(wèn)題與參數(shù)范圍（分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法）；同時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)與方程根、不等式解集的轉(zhuǎn)化（如“\(f(x)=g(x)\)的根”等價(jià)于“\(f(x)-g(x)\)的零點(diǎn)”）是核心思想。典例精講例題1：函數(shù)\(f(x)=2^x+x-5\)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((2,3)\)D.\((3,4)\)解析：\(f(x)\)是增函數(shù)（\(2^x\)和\(x\)均遞增），計(jì)算\(f(1)=-2<0\)，\(f(2)=1>0\)，由零點(diǎn)存在性定理，零點(diǎn)在\((1,2)\)，選B。思路提煉：判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，先判斷函數(shù)單調(diào)性，再計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)。例題2：已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}\lnx,&x>0\\x+2,&x\leq0\end{cases}\)，若\(f(x)=k\)有兩個(gè)不同的實(shí)根，求\(k\)的取值范圍。解析：畫(huà)出\(f(x)\)的圖像：\(x\leq0\)時(shí)，\(y=x+2\)過(guò)\((-2,0)\)和\((0,2)\)，單調(diào)遞增；\(x>0\)時(shí)，\(y=\lnx\)過(guò)\((1,0)\)，單調(diào)遞增。\(f(x)=k\)有兩個(gè)實(shí)根，即\(y=f(x)\)與\(y=k\)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)。觀察圖像：當(dāng)\(k\in(-\infty,2]\)時(shí)，\(x\leq0\)和\(x>0\)各有一個(gè)解（\(k=2\)時(shí)，\(x=0\)和\(x=e^2\)；\(k<2\)時(shí)，\(x=k-2<0\)和\(x=e^k>0\)）。思路提煉：零點(diǎn)（方程根）個(gè)數(shù)問(wèn)題的核心是“數(shù)形結(jié)合”，分析直線\(y=k\)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)數(shù)。專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練基礎(chǔ)層1.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____（用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合單調(diào)性）。2.已知方程\(\log_2x=x-2\)的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)_____（畫(huà)出\(y=\log_2x\)與\(y=x-2\)的圖像）。提升層3.若函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+a\)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)在\((0,3)\)內(nèi)，求\(a\)的取值范