中考二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)重點講義二次函數(shù)是中考數(shù)學(xué)的核心考點，貫穿代數(shù)與幾何綜合題型，分值占比高、題型靈活。本講義圍繞概念、圖像性質(zhì)、解析式求法、方程不等式聯(lián)系、實際應(yīng)用、常見題型六大模塊展開，結(jié)合實例拆解重難點，助力系統(tǒng)復(fù)習(xí)。一、核心概念與表達(dá)式1.定義形如\(\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}\)（\(a、b、c\)為常數(shù)，\(\boldsymbol{a\neq0}\)）的函數(shù)稱為二次函數(shù)。若\(a=0\)，函數(shù)退化為一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)），因此\(a\neq0\)是“二次”的核心限定。2.表達(dá)式的三種形式（待定系數(shù)法的基礎(chǔ)）一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）。適用場景：已知拋物線上任意三點坐標(biāo)（無特殊位置要求）。頂點式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)）。其中\(zhòng)((h,k)\)是拋物線的頂點坐標(biāo)，對稱軸為直線\(x=h\)。適用場景：已知頂點（或?qū)ΨQ軸）和一個點的坐標(biāo)。交點式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)）。其中\(zhòng)(x_1、x_2\)是拋物線與\(x\)軸交點的橫坐標(biāo)（即方程\(ax^2+bx+c=0\)的根）。適用場景：已知拋物線與\(x\)軸的兩個交點和一個點的坐標(biāo)。二、圖像與性質(zhì)（數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵）1.圖像形狀與開口方向拋物線的開口方向由\(\boldsymbol{a}\)的符號決定：\(a>0\)：開口向上，拋物線有最小值；\(a<0\)：開口向下，拋物線有最大值。2.對稱軸與頂點對稱軸：直線\(\boldsymbol{x=-\frac{2a}}\)（一般式推導(dǎo)）；頂點式中直接為\(x=h\)。頂點坐標(biāo)：一般式中為\(\boldsymbol{\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)}\)，頂點式中為\((h,k)\)。3.增減性（對稱軸為界）若\(a>0\)：對稱軸左側(cè)（\(x<-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)增大而減??；右側(cè)（\(x>-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)增大而增大。若\(a<0\)：對稱軸左側(cè)（\(x<-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)增大而增大；右側(cè)（\(x>-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)增大而減小。4.與坐標(biāo)軸的交點與\(y\)軸交點：令\(x=0\)，得\(y=c\)，交點為\(\boldsymbol{(0,c)}\)。與\(x\)軸交點：令\(y=0\)，即解方程\(ax^2+bx+c=0\)，交點個數(shù)由判別式\(\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}\)決定：\(\Delta>0\)：2個交點；\(\Delta=0\)：1個交點（頂點在\(x\)軸上）；\(\Delta<0\)：無交點。三、解析式的求法（待定系數(shù)法的應(yīng)用）1.已知三點，用一般式例：拋物線過\((1,2)、(2,3)、(0,1)\)，求解析式。設(shè)\(y=ax^2+bx+c\)，代入三點得方程組：\[\begin{cases}a+b+c=2\\4a+2b+c=3\\c=1\end{cases}\]解得\(a=-1,b=2,c=1\)，故解析式為\(\boldsymbol{y=-x^2+2x+1}\)。2.已知頂點，用頂點式例：拋物線頂點為\((2,3)\)，且過\((1,5)\)，求解析式。設(shè)\(y=a(x-2)^2+3\)，代入\((1,5)\)得：\(5=a(1-2)^2+3\impliesa=2\)，故解析式為\(\boldsymbol{y=2(x-2)^2+3=2x^2-8x+11}\)（展開后形式）。3.已知與\(x\)軸交點，用交點式例：拋物線與\(x\)軸交于\((1,0)、(3,0)\)，且過\((2,-1)\)，求解析式。設(shè)\(y=a(x-1)(x-3)\)，代入\((2,-1)\)得：\(-1=a(2-1)(2-3)\impliesa=1\)，故解析式為\(\boldsymbol{y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3}\)（展開后形式）。四、與方程、不等式的關(guān)系（代數(shù)綜合的橋梁）1.與一元二次方程的關(guān)系拋物線\(y=ax^2+bx+c\)與\(x\)軸的交點橫坐標(biāo)，就是方程\(ax^2+bx+c=0\)的根；根的個數(shù)由\(\Delta\)決定（同“與\(x\)軸交點”）。2.與一元二次不等式的關(guān)系結(jié)合拋物線開口方向，可通過圖像分析不等式的解集：若\(a>0\)：\(ax^2+bx+c>0\)：解集為“大于大根，小于小根”（若方程有兩根\(x_1<x_2\)）；\(ax^2+bx+c<0\)：解集為“大于小根，小于大根”。若\(a<0\)：解集方向與上述相反（可畫圖輔助理解）。例：解不等式\(x^2-4x+3>0\)。方程\(x^2-4x+3=0\)的根為\(x_1=1,x_2=3\)，拋物線開口向上（\(a=1>0\)），故解集為\(\boldsymbol{x<1\text{或}x>3}\)。五、實際應(yīng)用（建模能力的體現(xiàn)）1.面積問題（籬笆圍矩形）例：用長20m的籬笆圍矩形菜園（一邊靠墻），求面積最大值。設(shè)與墻垂直的邊長為\(x\)m，則與墻平行的邊長為\((20-2x)\)m，面積\(S=x(20-2x)=-2x^2+20x\)。這是開口向下的二次函數(shù)（\(a=-2<0\)），頂點橫坐標(biāo)\(x=-\frac{20}{2\times(-2)}=5\)，此時最大面積為\(S=-2\times5^2+20\times5=\boldsymbol{50\text{m}^2}\)。2.利潤問題（售價與銷量的關(guān)系）例：商品進(jìn)價20元/件，售價30元/件時每天賣60件；售價每漲1元，銷量減2件，求最大利潤。設(shè)售價漲\(x\)元，利潤\(y=(30+x-20)(60-2x)=(10+x)(60-2x)=-2x^2+40x+600\)。開口向下（\(a=-2<0\)），頂點橫坐標(biāo)\(x=-\frac{40}{2\times(-2)}=10\)，最大利潤為\(y=-2\times10^2+40\times10+600=\boldsymbol{800\text{元}}\)。六、常見題型與解題策略1.最值問題函數(shù)自身最值：利用頂點式或頂點坐標(biāo)公式，注意自變量取值范圍（如實際問題中邊長為正、時間非負(fù)等）。幾何最值：將線段長度、圖形面積等表示為二次函數(shù)，再求最值（如“定長線段圍成圖形的最大面積”“動點到定點的距離最值”）。2.存在性問題（等腰、直角、平行四邊形等）設(shè)點坐標(biāo)（如拋物線上點\(P(x,ax^2+bx+c)\)），用距離公式（\(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)）或斜率公式（\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)）表示幾何條件，列方程求解。注意分類討論（如等腰三角形需分“腰為哪兩邊”“直角頂點為哪個點”等情況）。3.解題策略數(shù)形結(jié)合：畫拋物線草圖，標(biāo)注頂點、對稱軸、交點，輔助分析增減性、最值、不等式解集。分類討論：當(dāng)\(a\)的符號、頂點位置、交點個數(shù)不確定時，分情況討論（如“含參數(shù)的二次函數(shù)”需討論\(a>0\)或\(a<0\)）。轉(zhuǎn)化思想：將實際問題轉(zhuǎn)化為