函數(shù)和導(dǎo)數(shù)題目及答案一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(f(x)=x^2-2x\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,1]\)B.\([1,+\infty)\)C.\((-\infty,-1]\)D.\([-1,+\infty)\)答案：A2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)等于（）A.\(f^\prime(x_0)\)B.\(f(x_0)\)C.\(-f^\prime(x_0)\)D.\(0\)答案：A3.曲線\(y=x^3-3x^2+1\)在點(diǎn)\((1,-1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-4\)B.\(y=-3x+2\)C.\(y=-4x+3\)D.\(y=4x-5\)答案：B4.設(shè)\(f(x)\)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(3)-f(3-h)}{2h}=-1\)，則曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((3,f(3))\)處的切線斜率為（）A.2B.-2C.-4D.4答案：B5.函數(shù)\(f(x)=\lnx+x\)的最小值為（）A.-1B.0C.1D.2答案：A6.若函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)有極值點(diǎn)，則\(a\)，\(b\)滿足的條件是（）A.\(a^2-3b>0\)B.\(a^2-3b<0\)C.\(a^2-3b=0\)D.\(a^2-3b\geq0\)答案：A7.已知\(f(x)\)為偶函數(shù)，且\(f^\prime(1)=2\)，則\(f^\prime(-1)\)等于（）A.-2B.0C.1D.2答案：D8.函數(shù)\(f(x)=e^x-x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((1,+\infty)\)答案：B9.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x=2\)處可導(dǎo)，且\(f^\prime(2)=3\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2-h)}{h}\)等于（）A.3B.6C.9D.12答案：B10.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f(x)\)在區(qū)間\([-2,2]\)上的最大值為（）A.0B.2C.4D.6答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(f(x)=2x-1\)B.\(f(x)=x^2-2x\)C.\(f(x)=e^x\)D.\(f(x)=\lnx\)答案：ACD2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則下列極限等于\(f^\prime(x_0)\)的是（）A.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+2\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)B.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-\Deltax)}{\Deltax}\)C.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0-\Deltax)}{2\Deltax}\)D.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax^2}\)答案：ABC3.已知函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)\(f^\prime(x)\)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）（此處無圖，假設(shè)圖象顯示\(f^\prime(x)\)在\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)上大于\(0\)，在\((-1,1)\)上小于\(0\)）A.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增B.\(f(x)\)在\((-1,1)\)上單調(diào)遞減C.\(x=-1\)是\(f(x)\)的極大值點(diǎn)D.\(x=1\)是\(f(x)\)的極小值點(diǎn)答案：ABCD4.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.\((x+\frac{1}{x})^\prime=1+\frac{1}{x^2}\)B.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)C.\((e^x)^\prime=e^x\)D.\((\cosx)^\prime=-\sinx\)答案：BCD5.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取得極值，則（）A.\(f^\prime(x_0)=0\)B.\(f^\prime(x_0)\)不存在C.在\(x_0\)兩側(cè)\(f^\prime(x)\)的符號(hào)相反D.\(f(x_0)\)為函數(shù)的最值答案：AC三、判斷題1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減。（）答案：錯(cuò)2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(-h)}{h}=f^\prime(0)\)。（）答案：錯(cuò)3.曲線\(y=x^3-3x+2\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為\(y=0\)。（）答案：錯(cuò)4.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+3x\)沒有極值點(diǎn)。（）答案：錯(cuò)5.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增，則\(f^\prime(x)>0\)在\((a,b)\)內(nèi)恒成立。（）答案：錯(cuò)6.已知\(f(x)\)為奇函數(shù)，則\(f^\prime(x)\)為偶函數(shù)。（）答案：錯(cuò)7.函數(shù)\(f(x)=e^{-x}\)的導(dǎo)數(shù)為\(f^\prime(x)=-e^{-x}\)。（）答案：對(duì)8.曲線\(y=\sinx\)在點(diǎn)\((0,0)\)處的切線方程為\(y=x\)。（）答案：對(duì)9.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=x_0\)處一定沒有極值。（）答案：錯(cuò)10.函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)的最小值為\(2\)。（）答案：錯(cuò)四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2-6x\)，令\(f^\prime(x)>0\)，即\(3x(x-2)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；令\(f^\prime(x)<0\)，即\(3x(x-2)<0\)，解得\(0<x<2\)，所以單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax\)，當(dāng)\(a=1\)時(shí)，求\(f(x)\)的最小值。答案：當(dāng)\(a=1\)時(shí)，\(f(x)=e^x-x\)，求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=e^x-1\)，令\(f^\prime(x)=0\)，即\(e^x-1=0\)，解得\(x=0\)。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以\(f(x)\)在\(x=0\)處取得最小值\(f(0)=e^0-0=1\)。3.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax\)，在\(x=1\)處取得極值，求\(a\)的值。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=\frac{1}{x}+x-a\)，因?yàn)閈(f(x)\)在\(x=1\)處取得極值，所以\(f^\prime(1)=0\)，即\(1+1-a=0\)，解得\(a=2\)。4.求曲線\(y=x^2\lnx\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程。答案：對(duì)\(y=x^2\lnx\)求導(dǎo)得\(y^\prime=2x\lnx+x\)，將\(x=1\)代入得\(y^\prime=1\)，所以切線斜率為\(1\)，則切線方程為\(y=x-1\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+3x-1\)的單調(diào)性與極值情況。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\)。因?yàn)閈(f^\prime(x)\geq0\)恒成立，所以\(f(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞增，無極值。2.討論函數(shù)\(f(x)=e^x-ax^2\)（\(a>0\)）的單調(diào)性。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=e^x-2ax\)。令\(g(x)=e^x-2ax\)，則\(g^\prime(x)=e^x-2a\)。當(dāng)\(g^\prime(x)=0\)時(shí)，\(x=\ln(2a)\)。當(dāng)\(x<\ln(2a)\)時(shí)，\(g^\prime(x)<0\)，\(g(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>\ln(2a)\)時(shí)，\(g^\prime(x)>0\)，\(g(x)\)單調(diào)遞增。所以\(f^\prime(x)\)在\((-\infty,\ln(2a))\)上單調(diào)遞減，在\((\ln(2a),+\infty)\)上單調(diào)遞增。又因?yàn)閈(f^\prime(0)=1>0\)，當(dāng)\(x\to-\infty\)時(shí)，\(f^\prime(x)\to+\infty\)，當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，\(f^\prime(x)\to+\infty\)，所以當(dāng)\(0<x<\ln(2a)\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x>\ln(2a)\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。3.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax+1\)（\(a>0\)）在區(qū)間\([-1,1]\)上的單調(diào)性。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=x^2-a\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(x^2=a\)，解得\(x=\pm\sqrt{a}\)。因?yàn)閈(a>0\)，所以\(0<\sqrt{a}<1\)。當(dāng)\(-1\leqx<-\sqrt{a}\)或\(\sqrt{a}<x\leq1\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}\)時(shí)，\(f