高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省2024-2025學年高二上學期12月期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點到其準線的距離為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】解：拋物線的標準方程為，所以焦點坐標為，其準線方程為，所以拋物線的焦點到其準線的距離為，故選：B2.已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】由橢圓，得，即，設左焦點為，右焦點為，則，因為，所以，即點到左焦點的距離為2.故選:D.3.雙曲線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由雙曲線，可得，則，且雙曲線的焦點在軸上，所以雙曲線的焦點坐標為.故選：D.4.已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一個動點，若的面積的最大值為，則（）A.7 B.3 C. D.9【答案】A【解析】依題意，橢圓半焦距，設點，則，因此面積，則，即，而，解得，所以.故選：A5.若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為方程表示焦點在y軸上的雙曲線，可變形為.所以有，即，解得.故選：A.6.已知點在拋物線上，若點到拋物線的對稱軸的距離是6，到焦點的距離是10，則的值是（）A.2或4 B.6或12 C.4或16 D.2或18【答案】D【解析】設，代入拋物線，解得：，又因為點到焦點的距離是10，根據(jù)拋物線的定義，得：化簡得：解得：或18.故選：D.7.如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）A B. C. D.【答案】B【解析】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.8.已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點P是橢圓C上的一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設代入橢圓方程，則整理得：設，又，,所以而，所以，所以故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關于雙曲線與雙曲線，下列說法不正確的是（）A.實軸長相等 B.離心率相等C.焦距相等 D.焦點到漸近線的距離相等【答案】ABD【解析】雙曲線中，實軸長為，虛軸長為，焦距長為，右焦點為，所以離心率，漸近線方程為，不妨取即，所以焦點到漸近線的距離為，雙曲線中實軸長為，虛軸長為，焦距長為，右焦點為，所以離心率，漸近線方程為，不妨取即，所以焦點到漸近線的距離為，綜上，兩條雙曲線只有焦距相等，故選：ABD10.設點，分別為橢圓：的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，若使得成立的點恰好是4個，則實數(shù)的取值可以是（）A.1 B.3 C.5 D.4【答案】BD【解析】設，∵，，∴，，由可得，又∵點在橢圓上，即，∴，要使得成立的點恰好是4個，則，解得.故選：BD11.已知拋物線C：，點F是拋物線C的焦點，點P是拋物線C上的一點，點，則下列說法正確的是（）A.拋物線C的準線方程為B.若，則△PMF的面積為2C.|的最大值為D.△PMF的周長的最小值為【答案】ACD【解析】，，，準線方程為，故A正確；根據(jù)拋物線定義得，，,軸，當時，，若點在第一象限時，此時,故，的高為1，故，若點在第四象限，此時，故，的高為1，故，故B錯誤；，,故C正確；（連接，并延長交于拋物線于點，此時即為最大值的情況，圖對應如下）過點作準線，垂足為點，的周長，若周長最小，則長度和最小，顯然當點位于同一條直線上時，的和最小，此時,故周長最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則拋物線的標準方程為______【答案】【解析】由雙曲線的方程可得，解得，所以雙曲線的焦點坐標為，拋物線準線方程為，由題意可得，解得，所以拋物線的方程為：，故答案為：．13.已知橢圓，偶函數(shù)，且，則橢圓離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】是偶函數(shù)，，，解得，，，又，，．故答案為：14.我國著名數(shù)學家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關系，數(shù)量關系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉化，常常可以巧妙地解決問題，所以“數(shù)形結合”是研究數(shù)學問題的重要思想方法之一.比如：這個代數(shù)問題可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題.結合上述觀點可得，方程的解為__________.【答案】【解析】原方程可化為，其幾何意義為點到0,4，距離之差的絕對值等于，則該點的軌跡滿足雙曲線的定義，根據(jù)雙曲線的定義得：，，，所以，又因為雙曲線焦點在軸上，所以雙曲線的標準方程為：，令得，所以原方程的解為。故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經(jīng)過，兩點；（2）長軸長等于20，離心率等于．解:（1）設橢圓方程為:,因為橢圓經(jīng)過點,,,分別為左頂點和下頂點,所以得,所以橢圓標準方程為.（2）橢圓的長軸長等于20,離心率等于依題意:,所以，由即所以橢圓標準方程為:或.16.已知圓的方程為．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若圓與直線交于M，N兩點，且，求的值．解：（1）方程可化為，∵此方程表示圓，∴，即，即.（2）由（1）可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，由弦長公式及，得，解得，∴，得．17.已知點，，中恰有兩個點在拋物線上，（1）求的標準方程；（2）若點，在上，且，證明：直線過定點．（1）解：將代入拋物線方程，解得，將代入拋物線方程，解得，將代入拋物線方程，解得，根據(jù)題意可知，∴的標準方程為（2）證明：∵，∴，∴設直線，則聯(lián)立方程組得，即，∴，∴，∴，∴直線過動點.18.在平面直角坐標系中，點到點與到直線的距離之比為，記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點是圓上的一點（不在坐標軸上），過點作曲線的兩條切線，切點分別為，記直線的斜率分別為，且，求直線的方程.解：（1）根據(jù)題意可得，即，整理可得，因此曲線的方程為；（2）如下圖所示：設，則，又點不在坐標軸上，所以且；因此直線的方程為，直線的方程為，又直線與橢圓相切與點，聯(lián)立整理可得可得，即，整理可得，又，可得；直線與橢圓相切與點，同理可得，所以是關于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，因此，再由可得，即；所以直線的斜率為，因此直線的方程為.19.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，的焦距為8．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）過右焦點F的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，．求證：點A在以線段為直徑的圓上．（1）解：由題意可得，解得，所以雙曲線C的標準方程為.（2）證明：由（1）可得，當直線的斜率為零時，直線方程為，與雙曲線的兩交點為實軸頂點，顯然成立；當斜率不為零時，設直線的方程為，，聯(lián)立，消去得，，，，將和代入可得，整理可得，所以，所以，即，即點A在以線段為直徑的圓上，綜上，點A在以線段為直徑的圓上.河北省2024-2025學年高二上學期12月期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點到其準線的距離為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】解：拋物線的標準方程為，所以焦點坐標為，其準線方程為，所以拋物線的焦點到其準線的距離為，故選：B2.已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】由橢圓，得，即，設左焦點為，右焦點為，則，因為，所以，即點到左焦點的距離為2.故選:D.3.雙曲線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由雙曲線，可得，則，且雙曲線的焦點在軸上，所以雙曲線的焦點坐標為.故選：D.4.已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一個動點，若的面積的最大值為，則（）A.7 B.3 C. D.9【答案】A【解析】依題意，橢圓半焦距，設點，則，因此面積，則，即，而，解得，所以.故選：A5.若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為方程表示焦點在y軸上的雙曲線，可變形為.所以有，即，解得.故選：A.6.已知點在拋物線上，若點到拋物線的對稱軸的距離是6，到焦點的距離是10，則的值是（）A.2或4 B.6或12 C.4或16 D.2或18【答案】D【解析】設，代入拋物線，解得：，又因為點到焦點的距離是10，根據(jù)拋物線的定義，得：化簡得：解得：或18.故選：D.7.如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）A B. C. D.【答案】B【解析】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.8.已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點P是橢圓C上的一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設代入橢圓方程，則整理得：設，又，,所以而，所以，所以故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關于雙曲線與雙曲線，下列說法不正確的是（）A.實軸長相等 B.離心率相等C.焦距相等 D.焦點到漸近線的距離相等【答案】ABD【解析】雙曲線中，實軸長為，虛軸長為，焦距長為，右焦點為，所以離心率，漸近線方程為，不妨取即，所以焦點到漸近線的距離為，雙曲線中實軸長為，虛軸長為，焦距長為，右焦點為，所以離心率，漸近線方程為，不妨取即，所以焦點到漸近線的距離為，綜上，兩條雙曲線只有焦距相等，故選：ABD10.設點，分別為橢圓：的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，若使得成立的點恰好是4個，則實數(shù)的取值可以是（）A.1 B.3 C.5 D.4【答案】BD【解析】設，∵，，∴，，由可得，又∵點在橢圓上，即，∴，要使得成立的點恰好是4個，則，解得.故選：BD11.已知拋物線C：，點F是拋物線C的焦點，點P是拋物線C上的一點，點，則下列說法正確的是（）A.拋物線C的準線方程為B.若，則△PMF的面積為2C.|的最大值為D.△PMF的周長的最小值為【答案】ACD【解析】，，，準線方程為，故A正確；根據(jù)拋物線定義得，，,軸，當時，，若點在第一象限時，此時,故，的高為1，故，若點在第四象限，此時，故，的高為1，故，故B錯誤；，,故C正確；（連接，并延長交于拋物線于點，此時即為最大值的情況，圖對應如下）過點作準線，垂足為點，的周長，若周長最小，則長度和最小，顯然當點位于同一條直線上時，的和最小，此時,故周長最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則拋物線的標準方程為______【答案】【解析】由雙曲線的方程可得，解得，所以雙曲線的焦點坐標為，拋物線準線方程為，由題意可得，解得，所以拋物線的方程為：，故答案為：．13.已知橢圓，偶函數(shù)，且，則橢圓離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】是偶函數(shù)，，，解得，，，又，，．故答案為：14.我國著名數(shù)學家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關系，數(shù)量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問題，所以“數(shù)形結合”是研究數(shù)學問題的重要思想方法之一.比如：這個代數(shù)問題可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題.結合上述觀點可得，方程的解為__________.【答案】【解析】原方程可化為，其幾何意義為點到0,4，距離之差的絕對值等于，則該點的軌跡滿足雙曲線的定義，根據(jù)雙曲線的定義得：，，，所以，又因為雙曲線焦點在軸上，所以雙曲線的標準方程為：，令得，所以原方程的解為。故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經(jīng)過，兩點；（2）長軸長等于20，離心率等于．解:（1）設橢圓方程為:,因為橢圓經(jīng)過點,,,分別為左頂點和下頂點,所以得,所以橢圓標準方程為.（2）橢圓的長軸長等于20,離心率等于依題意:,所以，由即所以橢圓標準方程為:或.16.已知圓的方程為．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若圓與直線交于M，N兩點，且，求的值．解：（1）方程可化為，∵此方程表示圓，∴，即，即.（2）由（1）可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，由弦長公式及，得，解得，∴，得．17.已知點，，中恰有兩