§3.2導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(一)課標要求1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導f'(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上_______________f'(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上_______________f'(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是_______________2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)f(x)的；

第2步，求出導數(shù)f'(x)的；

第3步，用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f'(x)>0.()(3)在(a，b)內(nèi)f'(x)≤0且f'(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.()(4)函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上是增函數(shù).()2.函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是()A.f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞增B.f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減C.f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減D.f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增3.函數(shù)f(x)＝xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.0，1eC.(1，＋∞) D.(0，1)4.(2025·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋lnx(a∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為12，1，則a＝謹防四個易誤點(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則.(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式.(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在該區(qū)間恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要時還需對“＝”進行檢驗.(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當x∈(a，b)時，f'(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當x∈(a，b)時，f'(x)<0有解.題型一函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)圖象之間的關系例1(1)(2025·鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，f(x)的圖象如圖，則其導函數(shù)f'(x)的圖象可能為()(2)(2024·南京模擬)若定義在R上的函數(shù)y＝x3f'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.[0，1] B.[0，2]C.(－∞，0] D.(－∞，2]思維升華(1)由原函數(shù)圖象識別導函數(shù)圖象的依據(jù)若f(x)單調(diào)遞增，則f'(x)的圖象一定在x軸的上方；若f(x)單調(diào)遞減，則f'(x)的圖象一定在x軸的下方；若f(x)是常函數(shù)，則f'(x)＝0.(2)由導函數(shù)圖象識別原函數(shù)圖象的依據(jù)若f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，若f'(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減.跟蹤訓練1(2025·常州模擬)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，設f(x)的導函數(shù)為f'(x)，則f'(x)f(xA.1B.1C.-∞，D.1，4題型二不含參函數(shù)的單調(diào)性例2(1)若函數(shù)f(x)＝12x2－3x－4lnx，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(A.(－∞，－1)，(4，＋∞)B.(－1，4)C.(0，4)D.(4，＋∞)(2)若函數(shù)f(x)＝lnx＋1ex，則函數(shù)f(x思維升華確定不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應注意兩點，一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.跟蹤訓練2(1)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A.f(x)＝sin2xB.f(x)＝xexC.f(x)＝x3－xD.f(x)＝－x＋lnx(2)已知定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)f(x)＝x＋2cosx，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.題型三含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例3(2025·揚州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2lnx，其中a≠0.試討論f(x)的單調(diào)性.思維升華(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點.跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

答案精析落實主干知識1.單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)2.定義域零點自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)√2.C[當x∈(－3，0)時，f'(x)<0，故f(x)在(－3，0)上單調(diào)遞減；當x∈(0，2)時，f'(x)>0，故f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增；當x∈(2，4)時，f'(x)<0，故f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減；當x∈(4，＋∞)時，f'(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，顯然C正確，其他選項錯誤.]3.A[函數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞)，由已知f'(x)＝lnx＋1，由f'(x)＝lnx＋1<0得0<x<1e∴單調(diào)遞減區(qū)間為0，14.3解析由題意可得，f'(x)＝2x－a＋1x＝2x2-ax探究核心題型例1(1)A[觀察圖象知，當x<0時，f(x)單調(diào)遞減，f'(x)<0，選項B，D不滿足；當x>0時，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，然后又單調(diào)遞增，則f'(x)的值先正，再負，然后又為正，有兩個不同的零點，A滿足，C不滿足.](2)B[由題圖可得，當0≤x≤2時，由y＝x3f'(x)≥0得f'(x)≥0，y＝f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增；當x>2時，由y＝x3f'(x)<0得f'(x)<0，y＝f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減；當x<0時，由y＝x3f'(x)>0得f'(x)<0，y＝f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2].]跟蹤訓練1D[由題意，f'(x)f(x)>0?f'(x由圖可知，當x∈-∞f(x)單調(diào)遞增，f'(x)>0；當x∈4，＋∞時，f(x)單調(diào)遞減，f'(x)所以當x∈1，f'(x)>0且f(x)>0，當x∈6，＋f'(x)<0且f(x)<0.綜上，f'(x)f(x例2(1)C[因為f(x)＝12x2－3x－4lnx，定義域為(0，＋∞)所以f'(x)＝x－3－4＝x2令f'(x)<0，解得0<x<4，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，4).](2)(0，1)解析f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝1x令φ(x)＝1x－lnx－1(x>0)φ'(x)＝－1x2φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且φ(1)＝0，∴當x∈(0，1)時，φ(x)>0，即f'(x)>0，當x∈(1，＋∞)時，φ(x)<0，即f'(x)<0，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1).跟蹤訓練2(1)B[對于A，f'(x)＝2cos2x，f'π3＝－1<0對于B，f'(x)＝(x＋1)ex>0，符合題意；對于C，f'(x)＝3x2－1，f'13＝－23對于D，f'(x)＝－1＋1xf'(2)＝－12<0，不符合題意.(2)解f'(x)＝1－2sinx，x∈[0，π]，令f'(x)＝0，得x＝π6或x＝5π當0≤x<π6，5π6<x≤f'(x)>0，當π6<x<5π6時，f'(x)∴f(x)在0，π6和5π6例3解函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2lnx的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝2ax－(a＋4)＋2＝2＝(ax由f'(x)＝0，可得x1＝2a，x2＝1①當0<a<4時，2a>12，當12<x<2a時，f'(x)<0，即函數(shù)f(x當0<x<12或x>2a時，f'(x)>0，即函數(shù)f(x)在0，②當a＝4時，則對任意的x>0，f'(x)＝2(2x-1)2x≥0，即函數(shù)f(x)在(0③當a>4時，則0<2a<12，當2a<x<12時，f'(x)<0，即函數(shù)f(x當0<x<2a或x>12時，f'(x)>0，即函數(shù)f(x)在0，④當a<0時，ax－2<0，當0<x<12時，f'(x)>0，即函數(shù)f(x)在0當x>12時，f'(x)<0，即函數(shù)f(x)在12綜上所述，當0<a<4時，函數(shù)f(x)在0，12和2當a＝4時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當a>4時，函數(shù)f(x)在0，2a在2a當a<0時，函數(shù)f(x)在0，12上單調(diào)遞增，在跟蹤訓練3解因為f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，所以f'(x)＝aex－1，當a≤0