§7.6空間向量的概念與運(yùn)算課標(biāo)要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有和的量相等向量方向且模的向量相反向量長度而方向的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相或的向量共面向量平行于的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p=.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=.{a，b，c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b=.(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b共線a=λb(b≠0，λ∈R)垂直a·b=0(a≠0，b≠0)模|a|夾角余弦值cos〈a，b〉=a·b|a||b|(acos〈a，b〉=

4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m=01.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面.()(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反.()(3)若A，B，C，D是空間中任意四點，則有AB+BC+CD+DA=0.()(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()2.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，則下列向量中與C1MA.a12+12b+cB.aB.12a+1C.12a12bc D.12a13.若平面α外的直線l的方向向量為a=(1，0，2)，平面α的法向量為m=(8，1，4)，則()A.l⊥α B.l∥αC.a∥m D.l與α斜交4.已知空間向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，則實數(shù)λ=.1.牢記空間中三點共線、四點共面的充要條件(1)在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：OA=xOB+yOC(其中x+y=1)，O為平面內(nèi)任意一點.(2)在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)，O為空間任意一點.2.解題時防范以下幾個易誤點(1)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.(2)由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故0不能作為基向量.(3)直線的方向向量和平面的法向量均不為零向量且不唯一.題型一空間向量的線性運(yùn)算例1(1)已知向量AB=(1，a，2)，AC=(3，6，b)，若A，B，C三點共線，則ab等于()A.8 B.2 C.2 D.8(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，E是BC的中點，AG=2GE，則GC1等于(A.13AB2B.13AB+2C.13AB+2D.13AB+思維升華用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.跟蹤訓(xùn)練1在正四面體ABCD中，F(xiàn)是AC的中點，E是DF的中點，若DA=a，DB=b，DC=c，則BE等于()A.14ab+14c B.12abC.14a+b+14c D.12a題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用例2(多選)下列說法正確的是()A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B.若G是四面體OABC的底面△ABC的重心，則OG=13(OA+OBC.若OG=25OA35OB+45OC，則A，D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z是三個不共面的向量，m，n，k∈R)，則稱p在基底{x，y，z}下的坐標(biāo)為(m，n，k).若p在單位正交基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1，2，3)，則p在基底{ab，a+b，c}下的坐標(biāo)為-思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面PA=λPBMP=xMA+yMB對空間任一點O，OP=OA+tAB對空間任一點O，OP=OM+xMA+yMB對空間任一點O，OP=xOA+(1x)OB對空間任一點O，OP=xOM+yOA+(1xy)OB跟蹤訓(xùn)練2O為空間任意一點，若AP=14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四點共面，則實數(shù)tA.1 B.98 C.18 D題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3(1)(多選)已知空間中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(1，3，1)三點，則()A.AB與AC是共線向量B.與向量AB方向相同的單位向量是2C.AB與BC夾角的余弦值是55D.平面ABC的一個法向量是(1，2，5)(2)已知圓錐SO的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側(cè)面(異于頂點和底面圓周)上任意一點，則OP·OQ的取值范圍為()A.(4，4) B.[4，4]C.(2，2) D.[2，2]思維升華空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練3已知空間向量a=(2，1，1)，b=(3，4，5)，則下列結(jié)論正確的是()A.(a+b)∥aB.a與b夾角的余弦值為3C.2a⊥(5a+6b)D.4|a|=3|b|題型四向量法證明平行、垂直例4如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點.(1)EF∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PDC.思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，點E和F分別為BC和A1C的中點.求證：(1)EF∥平面A1B1BA；(2)平面AEA1⊥平面BCB1.答案精析落實主干知識1.大小方向相同相等相等相反平行重合同一個平面2.(1)a=λb(2)唯一xa+yb(3)xa+yb+zc3.(1)|a||b|cos〈a，b〉(2)a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0aa1自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C3.B4.2探究核心題型例1(1)A[因為A，B，C三點共線，所以AB與AC共線，又向量AB=(1，a，2)，AC=(3，6，b)，所以-31=6a所以a=2，b=6，所以ab=8.](2)C[因為AG=2GE所以GE=1所以GC1=GE+EC+CC1=1=13×12(AB+AC)=23AC13AB跟蹤訓(xùn)練1A[根據(jù)題意可得DF=12(DA+DC)=12(aDE=12DF=14(a+所以BE=BD+DE=DB+DE=b+14(a+c)=14ab+14例2BD[對于A，若b=0，則滿足a與b共線，b與c共線，但是a與c不一定共線，故A錯誤；對于B，由于G為四面體OABC的底面△ABC的重心，設(shè)D為BC的中點，故AG=2GD整理得OGOA=2OD2OG，故3OG=OB+OC+故OG=13(OA+OB+OC)對于C，由于2535+45≠1，對于OG=2故A，B，C，G四點不共面，故C錯誤；對于D，p在單位正交基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1，2，3)，即p=a+2b+3c，設(shè)p在基底{ab，a+b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則滿足p=x(ab)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(yx)b+zc=a+2b+3c，故x+y則p在基底{ab，a+b，c}下的坐標(biāo)為-12，32跟蹤訓(xùn)練2C[因為AP=OPOA，所以AP=14OA+18OPOA=14OA+18即OP=34OA+18由于A，B，C，P四點共面，則34+18+t解得t=18.例3(1)CD[因為A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(1，3，1)，所以AB=(2，1，0)，AC=(1，2，1)因為不存在實數(shù)λ，使得AB=λAC所以AB與AC不共線，故A錯誤；因為|AB|=22+所以與向量AB方向相同的單位向量是AB|AB|=2又BC=(3，1，1)，所以AB與BC夾角的余弦值是AB·BC|AB||BC|不妨令n=(1，2，5)，則AB·n=1×2+(2)×1+5×0=0，AC·n=1×(1)+(2)×2+5×1=0，即AB⊥n且AC⊥n，所以n=(1，2，5)是平面ABC的法向量，故D正確.](2)A[如圖所示，延長SQ交底面圓周于點B，過點Q作QG⊥底面圓于點G，顯然OP·OQ=OP·(OG+GQ)=OP·OG=2cos〈OP，OG〉·|OG由題意可知cos〈OP，OG〉∈[1，1]，0<|OG所以O(shè)P·OQ的取值范圍為(4，4).]跟蹤訓(xùn)練3C[對于A，a+b=(1，3，6)，因為-21≠-13≠16，所以對于B，a與b夾角的余弦值為a·b|a||b|對于C，2a=(4，2，2)，5a+6b=(8，19，35)，則2a·(5a+6b)=3238+70=0，即2a⊥(5a+6b)，故C正確；對于D，4|a|=46，3|b|=3×50=56，例4證明(1)如圖，取AD的中點O，連接OP，OF.因為PA=PD，所以PO⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點，所以O(shè)F∥AB.又四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)F⊥AD.因為PA=PD=22AD所以PA⊥PD，OP=OA=a2如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OF，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則Aa2，D-a2C-a因為E為PC的中點，所以E-a易知平面PAD的一個法向量為OF=0因為EF=aOF·EF=0，a2，且EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)因為PA=aCD=(0，a，0)，所以PA·CD=a2，0，-a2·(0所以PA⊥CD所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD?平面PDC，所以PA⊥平面PDC.又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.跟蹤訓(xùn)練4證明因為AB=AC，E為BC的中點，所以AE⊥BC.因為AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為AB=3，BE=5所以AE=2，所以E(0，0，0)，C(5，0，0)A(0，2，