必刷大題6導(dǎo)數(shù)的綜合問題(分值：60分)1.(13分)(2025·廣東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex(x2-ax-a)，a∈R.(1)當(dāng)a>-2時，討論f(x)的單調(diào)性；(6分)(2)若a≥0，當(dāng)x=x1時，函數(shù)f(x)有極大值m；當(dāng)x=x2時，f(x)有極小值n，求m-n的取值范圍.(7分)解(1)易知函數(shù)f(x)的定義域為R，則f'(x)=ex(x+2)(x-a)，又因為a>-2，所以當(dāng)x∈(-2，a)時，f'(x)<0；當(dāng)x∈(-∞，-2)∪(a，+∞)時，f'(x)>0，因此可得f(x)在(-2，a)上單調(diào)遞減，在(-∞，-2)，(a，+∞)上單調(diào)遞增.(2)若a≥0，由(1)可知f(x)在x=-2處取得極大值，在x=a處取得極小值，所以m=f(-2)=e-2(4+a)，n=f(a)=-aea，即m-n=e-2(4+a)+aea.設(shè)函數(shù)g(a)=aea+e-2(4+a)，a≥0，則g'(a)=(a+1)ea+e-2>0，所以g(a)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，所以g(a)≥g(0)=4e-2，即m-n的取值范圍為[4e-2，+∞).2.(15分)(2024·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)=a(x+a)-lnx(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(6分)(2)證明：當(dāng)a>0時，f(x)≥3lna+2.(9分)(1)解依題意x>0，f'(x)=a-1x，當(dāng)a≤0時，f'(x)<0當(dāng)a>0時，由f'(x)>0得x>1a由f'(x)<0得0<x<1a即當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在0，1a上單調(diào)遞減，在(2)證明由(1)知當(dāng)a>0時，f(x)的最小值為f1a=1+a2+lna1+a2+lna-(3lna+2)=a2-2lna-1，設(shè)g(x)=x2-2lnx-1(x>0)，則g'(x)=2x-2x=2(當(dāng)0<x<1時，g'(x)<0，當(dāng)x>1時，g'(x)>0，∴函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，即g(x)的最小值為g(1)=12-2ln1-1=0，即g(x)≥g(1)=0，∴g(a)≥0，即f(x)的最小值f1a=1+a2+lna≥3lna+2∴f(x)≥3lna+2.3.(15分)已知函數(shù)f(x)=ax+(a-1)lnx+1x-2，a∈R(1)討論f(x)的單調(diào)性；(7分)(2)若f(x)只有一個零點，求a的取值范圍.(8分)解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=a+a-1x-1x若a≤0，則f'(x)<0，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減；若a>0，則當(dāng)x∈0，1a時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈1a，+∞時，f'(x)>0綜上，當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，f(x)在0，1a上單調(diào)遞減，在(2)若a≤0，f1e=ae+1-a+e-2=1e-1a+e-1>0，f(1)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)有唯一零點.若a>0，因為函數(shù)f(x)在0，1a上單調(diào)遞減，在1a，+∞上單調(diào)遞增，所以要使得函數(shù)f(x)有唯一零點，只需f(x)min=f1a=1-(a-1)lna+a-2=(a-1)(1-lna)綜上，a≤0或a=1或a=e.4.(17分)已知函數(shù)f(x)=x-aln(1+x)，a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(8分)(2)證明：對于任意正整數(shù)n，都有1+13+15+…+12n-1>12ln(2(1)解易知f(x)的定義域為(-1，+∞)，由f(x)=x-aln(1+x)，得f'(x)=1-a1+x=當(dāng)a≤0時，f'(x)>0在(-1，+∞)上恒成立，所以f(x)在(-1，+∞)上為增函數(shù)；當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=a-1，當(dāng)x∈(-1，a-1)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(a-1，+∞)時，f'(x)>0，即f(x)在(-1，a-1)上單調(diào)遞減，在(a-1，+∞)上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a≤0時，f(x)在(-1，+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)a>0時，f(x)在(-1，a-1)上單調(diào)遞減，在(a-1，+∞)上單調(diào)遞增.(2)證明當(dāng)a=1時，f(x)=x-ln(1+x)，由(1)知，f(x)在(-1，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)=x-ln(1+x)≥f(0)=0，得到x≥ln(x+1)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，對于任意正整數(shù)n，令x=22則22n-1>ln22n-1+1