第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)2.3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.4卷積2.5卷積的性質(zhì)2.6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析,歸結(jié)為建立并求解線性微分方程。在系統(tǒng)的微分方程中,包含有表示激勵(lì)和響應(yīng)的時(shí)間函數(shù)以及它們對(duì)時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。在分析過(guò)程中,所涉及的函數(shù)的變量如果是時(shí)間t,則這種分析方法稱為時(shí)域分析法。如果為了求解方程的方便而將時(shí)間變量變換為其他變量,則相應(yīng)地稱為變換域分析法。例如,在傅里葉變換中,將時(shí)間變量變換為頻率變量去進(jìn)行分析,就稱為頻域分析法。2.1.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí),首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于電的系統(tǒng),只要利用理想的電路元件,根據(jù)基爾霍夫定律,就可以列出一個(gè)或一組描述電路特征的線性微分方程?，F(xiàn)舉例來(lái)說(shuō)明微分方程的建立方法。

例2.1圖2.1所示為RLC串聯(lián)電路,求電路中電流i(t)與激勵(lì)e(t)之間的關(guān)系。

解首先列出回路的KVL方程如下:(2.1)再將上式兩邊求微分得(2.2)圖2.1

RLC串聯(lián)電路

例2.2圖2.2所示的電路中,求R2兩端電壓u(t)與輸入電壓源e(t)之間的關(guān)系。圖2.2例2.2的電路圖

解設(shè)兩回路中的電流分別為i1(t)和i2(t),由基爾霍夫電壓定律分別列出兩回路的電壓方程：

LCR2e(t)回路(2.3)

LR1e(t)回路(2.4)將i2(t)=u(t)/R2代入上述兩個(gè)式子并對(duì)t求微分得(2.5)上面通過(guò)兩個(gè)例子說(shuō)明了系統(tǒng)微分方程的建立方法。一般來(lái)說(shuō),LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程。n階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般為(2.6)其中,y(t)是響應(yīng),f(t)是激勵(lì)。a0~an,b0~bm均為常數(shù),它們由電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)決定。有時(shí)，為了表示簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可將式(2.6)兩端同除以an,從而可使y(t)的最高階導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)歸一，即式(2.6)中不出現(xiàn)an。

2.1.2系統(tǒng)方程的算子表示

1.算子的定義在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法中,把經(jīng)常出現(xiàn)的微分或積分用下述算子符號(hào)p來(lái)表示，即(2.7)(2.8)式中,p稱為微分算子,稱為微分逆算子或積分算子。則高階微分方程可表示為(2.9)這種含微分算子的方程稱為微分算子方程。設(shè)某二階微分方程為與該微分方程對(duì)應(yīng)的算子方程為p2y(t)+3py(t)+2y(t)=pf(t)+5f(t)或者寫(xiě)為(p2+3p+2)y(t)=(p+5)f(t)(2.10)必須強(qiáng)調(diào)的是,微分算子方程僅僅是微分方程的一種簡(jiǎn)化表示,式(2.10)中等號(hào)兩邊表達(dá)式的含義是分別對(duì)函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的微分運(yùn)算。

2.算子的性質(zhì)

利用微分算子可把微分方程寫(xiě)成代數(shù)方程形式的算子方程,于是就會(huì)自然地產(chǎn)生這樣一個(gè)問(wèn)題,即代數(shù)方程中的運(yùn)算規(guī)則在算子方程中是否適用。下面介紹有關(guān)微分算子p的性質(zhì)。

性質(zhì)1:對(duì)算子多項(xiàng)式可以進(jìn)行因式分解,但不能進(jìn)行公因子相消。例如(p+2)(p+1)=(p2+3p+2)y(t)但對(duì)方程py(t)=pf(t)(2.11)不能隨意消去p,否則將得到y(tǒng)(t)=f(t)的結(jié)果。事實(shí)上,對(duì)式(2.11)兩邊積分后有y(t)=f(t)+C其中C為積分常數(shù)。推廣到一般情況:算子符號(hào)p多項(xiàng)式的等式兩端的“公因子”不能隨意消去。

性質(zhì)2:算子的乘除順序不能隨意顛倒,即(2.12)這是因?yàn)槎?/p>

這表明“先乘后除”(對(duì)應(yīng)先微分后積分)的算子運(yùn)算不能相消,而對(duì)“先除后乘”(對(duì)應(yīng)先積分后微分)的算子運(yùn)算可以相消。

3.算子方程的建立用算子符號(hào)表示微分方程,不僅書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便,而且在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)也很方便。把電路中的基本元件R、L、C的伏安關(guān)系用微分算子形式來(lái)表示,可以得到相應(yīng)的算子模型,如表2.1所示。表2.1電路元件的算子模型表2.1中,pL和分別表示電感元件的算子感抗和電容元件的算子容抗。下面舉例說(shuō)明電路系統(tǒng)的算子方程的建立方法。

例2.3電路如圖2.3(a)所示,試用微分算子方程表示u(t)與i(t)之間的關(guān)系。

解畫(huà)出圖2.3(a)所示電路對(duì)應(yīng)的算子模型如圖2.3(b)所示。圖2.3例2.3的圖由節(jié)點(diǎn)電壓法列出u(t)的方程為

將上述微積分方程化為微分算子方程得(p2+2p+2)u(t)=2(p+1)i(t)

它對(duì)應(yīng)的微分方程為

4.轉(zhuǎn)移算子用輸入—輸出法描述系統(tǒng)時(shí),關(guān)心的是輸入激勵(lì)對(duì)輸出響應(yīng)的影響,它們之間的關(guān)系可用式(2.9)的算子方程表示。式(2.9)還可以寫(xiě)成

(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)y(t)

=(bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)f(t)(2.13)把式(2.13)左、右兩邊的多項(xiàng)式分別用D(p)和N(p)來(lái)表示。則有D(p)y(t)=N(p)f(t)(2.14)(2.15)式(2.15)中的定義為轉(zhuǎn)移算子,用H(p)表示,即(2.16)于是,在時(shí)域中響應(yīng)函數(shù)與激勵(lì)函數(shù)之間的關(guān)系就可以用下列一般形式表示y(t)=H(p)f(t)

(2.17)當(dāng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時(shí),激勵(lì)f(t)為零,就要解齊次方程D(p)y(t)=0

(2.18)當(dāng)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí),則要解式(2.17)的非齊次解。2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)

2.2.1微分方程的經(jīng)典解對(duì)于一個(gè)線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),式(2.6)是一個(gè)常系數(shù)n階線性微分方程。按照經(jīng)典解法,此方程的完全解由齊次解和特解兩部分組成,即y(t)=yh(t)+yp(t)其中,yh(t)為齊次解,yp(t)為特解。1.齊次解齊次解的形式由齊次微分方程的特征根確定,對(duì)于式(2.6)所示的微分方程,令等式右端為零,得齊次方程(2.19)該齊次方程對(duì)應(yīng)的特征方程為anλn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0

(2.20)此方程有n個(gè)根(λ1,λ2,…，λn),稱為微分方程的特征根。根據(jù)特征根的不同取值,微分方程的齊次解有以下三種類(lèi)型:

(1)特征方程有n個(gè)不同的單根λ1,λ2,…，λn,則對(duì)應(yīng)齊次解的形式為(2.21)

(2)特征方程有k階重根λ1時(shí),在齊次解中,對(duì)應(yīng)于λ1的重根部分將有k項(xiàng),其形式為(2.22)則微分方程的齊次解為(2.23)系數(shù)C1,C2,…,Cn由給定的n個(gè)初始條件來(lái)確定。

例2.4求微分方程=6f(t)的齊次解。

解特征方程為λ2+7λ+6=0特征根為λ1=－1,λ2=－6,則齊次解為yh(t)=C1e-t+C2e-6t

例2.5求微分方程的齊次解。

解特征方程為λ3+7λ2+16λ+12=0

特征根為λ1=λ2=－2(為二重根),λ3=－3,則齊次解為yh(t)=(C1t+C2)e-2t+C3e-3t

2.特解特解yp(t)的形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。將激勵(lì)函數(shù)f(t)代入微分方程式(2.6)的右端,化簡(jiǎn)后右端函數(shù)式稱為“自由項(xiàng)”。通過(guò)觀察自由項(xiàng)來(lái)選擇特解函數(shù)式,代入方程后求出特解函數(shù)式中的待定系數(shù),即可得到特解yp(t)。下面將幾種常見(jiàn)激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解函數(shù)式列于表2.2中,以便于讀者求解方程時(shí)參考。表2.2幾種常見(jiàn)激勵(lì)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的特解函數(shù)形式注:B、D均為待定系數(shù)。

例2.6微分方程式如下:

已知激勵(lì)信號(hào)為f(t)=t2,求方程的特解。

解將激勵(lì)信號(hào)為f(t)=t2代入方程右端得自由項(xiàng)為t2+2t由表2.2知其特解的函數(shù)式為yp(t)=B2t2+B1t+B0將特解的函數(shù)式代入方程得3B2t2+(4B2+3B1)t+(2B2+2B1+3B0)=t2+2t根據(jù)等式兩端各相同冪次項(xiàng)的系數(shù)相等的原則,有3B2=14B2+3B1=22B2+2B1+3B0=0

聯(lián)立求解得

所以,特解為

3.全解得到齊次解的表達(dá)式和特解后,將兩者相加可以得到微分方程全解的表達(dá)式。將已知的n個(gè)初始條件代入微分方程全解的表達(dá)式中,確定齊次解中的待定系數(shù),即可得到微分方程的全解。

例2.7對(duì)于例2.4所描述的系統(tǒng),初始條件y(0)=0,

,若激勵(lì)信號(hào)f(t)=sin(2t)(t≥0),求系統(tǒng)的全解y(t)。

解

(1)齊次解。由例2.4知該系統(tǒng)的齊次解為yh(t)=C1e-t+C2e-6t

(2)特解。查表2.2,可知特解函數(shù)的形式為yp(t)=B1cos(2t)+B2sin(2t)代入原方程得－14B1+2B2－6=02B1+14B2=0解得

于是,特解為

(3)全解。根據(jù)初始條件可以得到

聯(lián)立求解得

則全解為從例2.7中可以看出,常系數(shù)微分方程的全解由齊次解和特解組成。齊次解的形式與系統(tǒng)的特征根有關(guān),僅依賴于系統(tǒng)本身的特性,而和激勵(lì)信號(hào)的形式無(wú)關(guān),因此,稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)。而特解的形式是由激勵(lì)信號(hào)確定的,稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。此外,系統(tǒng)的響應(yīng)還可以分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng),這點(diǎn)在電路分析中已討論過(guò)。采用經(jīng)典法分析系統(tǒng)響應(yīng)時(shí),存在許多局限。若描述系統(tǒng)的微分方程中激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜時(shí),則難以設(shè)定相應(yīng)的特解形式;若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化,則系統(tǒng)響應(yīng)需全部重新求解;若初始條件發(fā)生變化,則系統(tǒng)響應(yīng)也要全部重新求解。事實(shí)上,產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的原因有兩個(gè):系統(tǒng)的初始狀態(tài)和系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)。因此,對(duì)任何系統(tǒng)依據(jù)產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的原因可以將完全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),即y(t)=yzi(t)+yzs(t)

(2.24)式中,yzi(t)為零輸入響應(yīng),yzs(t)為零狀態(tài)響應(yīng)。2.2.2零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

1.零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是指沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用,僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)。為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)就要求下式所示的齊次方程

的解，它是齊次解的一部分,其形式為(2.25)其中常數(shù)Czij可以由初始狀態(tài)y(k)(0－)確定(k=0,1,2,…,n－1)。值得注意的是,系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(k)(0－)是指系統(tǒng)沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的固有狀態(tài),反映的是系統(tǒng)以往的歷史信息。而經(jīng)典法中的y(k)(0)是指t=0時(shí)加入激勵(lì)信號(hào)后系統(tǒng)的初始條件,若系統(tǒng)在外加激勵(lì)信號(hào)的瞬間有躍變,則y(k)(0)不等于y

(k)(0－)。后面將通過(guò)例題具體說(shuō)明系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的求解過(guò)程。

2.零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是指不考慮系統(tǒng)初始儲(chǔ)能的作用,僅由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。它滿足方程(2.26)及初始狀態(tài)y(k)(0－)=0(k=0,1,2,…,n－1),其形式為(2.27)其中yp(t)是特解。由式(2.27)可見(jiàn),在激勵(lì)信號(hào)的作用下,零狀態(tài)響應(yīng)由齊次響應(yīng)的一部分及強(qiáng)迫響應(yīng)yp(t)構(gòu)成。至此,系統(tǒng)的完全響應(yīng)表達(dá)式為(2.28)

例2.8給定某系統(tǒng)的微分方程為

試求當(dāng)y(t)=t2,y(0)=0,y

(1)(0)=1時(shí)系統(tǒng)的零輸入與零狀態(tài)響應(yīng)。

解

(1)先求零輸入響應(yīng)。特征方程為λ2+3λ+2=0特征根為λ1=－1,λ2=－2。故有yzi(t)=Czi1e－t+Czi2e－2t

將已知初始條件代入以上方程,得

解之得Czi1=3,Czi2=－2,則零輸入響應(yīng)為

yzi(t)=3e－t－2e－2t，t≥0(2)再求零狀態(tài)響應(yīng)。查表2.2可知,特解的一般形式為yp(t)=B2t2+B1t+B0

將y(t)及yp(t)代入原方程,求得B2=1,B1=－2,B0=2,所以yp(t)=t2－2B1t+2零狀態(tài)響應(yīng)為yzs(t)=Czs1e－t+Czs2e－2t+t2－2t+2將初始條件代入上式,確定待定系數(shù)Czs1和Czs2,得解之得Czs1=－2,Czs2=0,于是yzs(t)=－2e－t+t2－2t+2，t≥0(3)系統(tǒng)的完全響應(yīng)為y(t)=yzi(t)+yzs(t)=(3e-t-2e-2t)+(-2e-t+t2-2t+2)=e-t-2e-2t+t2-2t+2,t≥02.3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.3.1沖激響應(yīng)在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下,以單位沖激信號(hào)δ(t)激勵(lì)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng),用h(t)表示。由于系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)要求系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下,且輸入激勵(lì)為單位沖激信號(hào)δ(t),因而沖激響應(yīng)h(t)僅取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其元件參數(shù),即不同結(jié)構(gòu)和元件的系統(tǒng),將具有不同的沖激響應(yīng)。因此,系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以表征系統(tǒng)本身的特性；換句話說(shuō),不同的系統(tǒng)就會(huì)有不同的沖激響應(yīng)h(t)。另外,沖激響應(yīng)在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)時(shí)起著十分重要的作用。對(duì)于用常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng),它的沖激響應(yīng)h(t)滿足下列微分方程(2.29)及初始狀態(tài)h

(k)(0－)=0(k=0,1,2,…,n－1)。由于δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t≥0+時(shí)都等于零,因此式(2.29)的右端各項(xiàng)在t≥0+時(shí)恒等于零。這時(shí)式(2.29)為齊次方程,這樣，沖激響應(yīng)h(t)的形式與齊次解的形式相同。在n＞m時(shí),沖激響應(yīng)可以表示為(2.30)式中,待定系數(shù)Cj(j=1,2,…,n)可以采用沖激平衡法確定,即將式(2.30)代入式(2.29)中,為保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式恒等,方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)δ(t)及其高階導(dǎo)數(shù)必須相等,由此可求得系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)中的待定系數(shù)。在n=m時(shí),沖激響應(yīng)中將包含有沖激信號(hào)δ(t),可以表示為(2.31)式中,D=bm是式(2.29)中項(xiàng)的系數(shù)。在n＜m時(shí),要使方程式兩邊的沖激信號(hào)及其高階導(dǎo)數(shù)相等,則表示式中還將含有δ(t)及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)δm-n(t)、δm-n-1(t)、…、δ′(t)等項(xiàng)。下面舉例說(shuō)明沖激響應(yīng)的求解過(guò)程。

例2.9設(shè)某系統(tǒng)的微分方程為

試求其沖激響應(yīng)h(t)。

解由沖激響應(yīng)的定義,原方程改寫(xiě)為首先求出方程的特征根為λ1=－2,

λ2=－3由于n＞m,由式(2.30)知沖激響應(yīng)為h(t)=(C1e－2t+C2e－3t)ε(t)(2.32)對(duì)上式求導(dǎo)得將上述兩式及f(t)=δ(t)代入原微分方程,經(jīng)整理得(C1+C2)δ′(t)+(3C1+2C2)δ(t)=3δ′(t)+2δ(t)令等式兩邊δ′(t)和δ(t)的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,有

解得C1=－4,

C2=7代入式(2.32),得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=(－4e－2t+7e－3t)ε(t)

例2.10設(shè)某系統(tǒng)的微分方程為

試求其沖激響應(yīng)h(t)。

解由沖激響應(yīng)的定義,原方程改寫(xiě)為

首先求出方程的特征根為λ=－6由于n=m,由式(2.31)知其沖激響應(yīng)為h(t)=Ce－6tε(t)+Dδ(t)式中C、D為待定系數(shù),將h(t)代入改寫(xiě)后的原方程,有

則有

解得C=－16,D=3。系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=－16e－6tε(t)+3δ(t)從以上例題可以看出,沖激響應(yīng)h(t)中是否含有沖激信號(hào)δ(t)及其高階導(dǎo)數(shù),是通過(guò)觀察微分方程右邊的導(dǎo)數(shù)最高次(m)與方程左邊的導(dǎo)數(shù)最高次(n)來(lái)決定的。對(duì)于h(t)中ε(t)的項(xiàng),其形式由特征方程的根來(lái)決定。其設(shè)定形式與零輸入響應(yīng)的設(shè)定方式相同,即特征根分為無(wú)重根、有重根等幾種情況分別設(shè)定。2.3.2階躍響應(yīng)

系統(tǒng)的階躍響應(yīng)定義為在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下,以單位階躍信號(hào)ε(t)激勵(lì)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng),用g(t)表示。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)g(t)應(yīng)滿足方程(2.33)及初始狀態(tài)g(k)(0－)=0(k=0,1,2,…,n－1)?？梢钥闯龇匠逃叶说淖杂身?xiàng)含有δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù),同時(shí)還包含階躍函數(shù)ε(t),因而階躍響應(yīng)的表示式中,除去含齊次解形式之外,還應(yīng)增加特解項(xiàng)。考慮到?jīng)_激信號(hào)δ(t)與單位階躍信號(hào)ε(t)間存在微分和積分關(guān)系,因而對(duì)LTI系統(tǒng),h(t)和g(t)間也同樣存在微分和積分關(guān)系,即(2.34)

例2.11若某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=δ′(t)+δ(t)+e－2tε(t)求該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。

解該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為2.4卷積在第一章中,式(1.51)已表示了卷積積分的物理意義。卷積方法的原理就是將信號(hào)分解為沖激信號(hào)之和,借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t),求解系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。2.4.1卷積的定義對(duì)任意兩個(gè)信號(hào)f1(t)和f2(t),兩者做卷積運(yùn)算的定義為(2.35)或(2.36)式中,f1(t)*f2(t)是兩函數(shù)做卷積運(yùn)算的簡(jiǎn)寫(xiě)形式,卷積符號(hào)“*”有時(shí)也可以用“”表示。這里的積分限?。藓汀?這是一般情況,即對(duì)f1(t)和f2(t)的作用時(shí)間范圍沒(méi)有加以限制。事實(shí)上,由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性,其積分限會(huì)有所變化。而卷積積分中積分限的確定在卷積計(jì)算中是非常關(guān)鍵的。這一點(diǎn)借助卷積的圖形分析可以看得很清楚。根據(jù)卷積的定義,設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為f(t),沖激響應(yīng)為h(t),則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

(2.37)2.4.2卷積的計(jì)算卷積積分計(jì)算的一種方法是直接利用式(2.35)進(jìn)行計(jì)算,另一種方法是用圖解法。其中圖解法說(shuō)明卷積運(yùn)算可以把一些抽象的關(guān)系形象化,便于理解卷積的概念,且方便運(yùn)算。下面通過(guò)圖解法說(shuō)明卷積的運(yùn)算。若要實(shí)現(xiàn)函數(shù)f1(t)和f2(t)的卷積運(yùn)算,從式(2.35)中可以看到,需要經(jīng)過(guò)下列五個(gè)步驟:

(1)變量置換。將f1(t)、f2(t)變?yōu)閒1(τ)、f2(τ),即以τ為積分變量;

(2)反轉(zhuǎn)。將f2(τ)反轉(zhuǎn),變?yōu)閒2(－τ);

(3)時(shí)移。將f2(-τ)向右平移t,變?yōu)閒2(-(τ-t))=f2(t－τ),在此處t作為常數(shù)存在;

(4)相乘。將f1(τ)和f2(t-τ)相乘;

(5)積分。求f1(τ)f2(t-τ)乘積下的面積,即為t時(shí)刻的卷積積分結(jié)果f(t)值。該積分結(jié)果是參變量t的函數(shù)，取不同的t值，即得到卷積積分在不同時(shí)刻的值。設(shè)函數(shù)f1(t)和f2(t)的波形分別如圖2.4的(a)和(b)所示,其卷積的圖形解釋如圖2.4(c)、(d)所示。圖2.4卷積的圖形解釋按上述步驟求解的卷積積分結(jié)果如圖2.5所示。

(1)當(dāng)－∞＜t≤時(shí)，如圖2.5(a)所示，兩者的卷積為f1(t)*f2(t)=0(2)當(dāng)≤t≤1時(shí)，如圖2.5(b)所示，f1(t)和f2(t)之積在該區(qū)間之外為零，故

(3)當(dāng)1≤t≤時(shí)，如圖2.5(c)所示，注意到該例中f2(t)取非零值的區(qū)間寬度為2，兩者之積只在區(qū)間時(shí)得非零值，所以有(4)當(dāng)≤t≤3時(shí)，f1(t)和f2(t)取非零值的公共區(qū)間為［t-2,1］,如圖2.5(d)所示,故

(5)當(dāng)3≤t＜∞時(shí),如圖2.5(e)所示,故f1(t)*f2(t)=0圖2.5卷積積分的圖解法過(guò)程圖2.5所示各圖中的陰影面積,即為相乘積分的結(jié)果。圖2.6給出了卷積f1(t)*f2(t)的函數(shù)圖像。從上述圖解分析中可以看出,卷積中積分限的確定取決于兩個(gè)圖形交疊部分的范圍。卷積結(jié)果所占的時(shí)寬等于兩個(gè)函數(shù)各自時(shí)寬的總和。圖2.6圖2.4的卷積結(jié)果2.5卷積的性質(zhì)作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算,卷積運(yùn)算具有一些基本性質(zhì),利用這些性質(zhì)一方面可以簡(jiǎn)化卷積運(yùn)算,另一方面這些性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有很重要的作用。2.5.1卷積的代數(shù)運(yùn)算

1.交換律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)

(2.38)

證明:將積分變量τ變換為t－λ,得

2.分配律f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)(2.39)證明:

分配律用于系統(tǒng)的分析中,相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng),等于并聯(lián)系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)之和,如圖2.7(a)所示,其等效的單個(gè)系統(tǒng)如圖2.7(b)所示。圖2.7并聯(lián)系統(tǒng)的h(t)=h1(t)+h2(t)

3.結(jié)合律［f1(t)*f2(t)］*f3(t)=f1(t)*［f2(t)*f3(t)］(2.40)

證明:結(jié)合律用于系統(tǒng)的分析中,相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng),等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積,如圖2.8(a)所示,其等效的單個(gè)系統(tǒng)如圖2.8(b)所示。圖2.8串聯(lián)系統(tǒng)的h(t)=h1(t)*h2(t)

4.時(shí)移特性若f1(t)*f2(t)=f(t)則f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)

(2.41)

證明:令τ-t1=x,則2.5.2卷積的微分與積分

1.卷積的微分特性兩個(gè)函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另一個(gè)函數(shù)的卷積,即(2.42)

證明:

(2.43)

同理可以證明(2.44)

2.卷積的積分特性(2.45)

證明:

(2.46)同理可以證明

應(yīng)用類(lèi)似的推導(dǎo)可以導(dǎo)出卷積的高階導(dǎo)數(shù)和多重積分的運(yùn)算規(guī)律。設(shè)f(t)=f1(t)*f2(t),則有(2.47)這里,當(dāng)i、j取正數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階數(shù),取負(fù)數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。如(2.48)2.5.3函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積一個(gè)函數(shù)f(t)與單位沖激函數(shù)δ(t)的卷積仍是這個(gè)函數(shù)f(t)本身,即(2.49)這里運(yùn)用了δ(t)為偶函數(shù)的性質(zhì)。另外,利用卷積的微分、積分特性,還可以得到以下結(jié)論:

(1)對(duì)沖激偶函數(shù)δ′(t),有f(t)*δ′(t)=f′(t)

(2.50)

(2)推廣到一般情況,有f(t)*δ

(k)(t)=f

(k)(t)

(2.51)

(3)對(duì)單位階躍函數(shù),有

(2.52)2.5.4卷積的時(shí)移性質(zhì)任意函數(shù)f(t)與時(shí)移后的沖激函數(shù)δ(t－t0)的卷積,其結(jié)果等于函數(shù)f(t)本身的時(shí)移,即f(t)*δ(t－t0)=f(t－t0)(2.53)推廣到一般情況,有f(t)*δ

(k)(t－t0)=f

(k)(t－t0)(2.54)卷積的時(shí)移性質(zhì)還可以進(jìn)一步延伸,如f1(t-t1)*δ(t-t2)=f(t-t1-t2)(2.55)

例2.12已知f(t)和h(t)的波形分別如圖2.9(a)、(b)所示,利用卷積的微分性質(zhì)計(jì)算y(t)=f(t)*h(t)。圖2.9例2.13的圖

解因?yàn)閒′(t)=δ(t)+δ(t－1)由微分性質(zhì)有y′(t)=f′(t)*h(t)=h(t)－h(huán)(t－1)y′(t)的波形如圖2.9(c)所示,對(duì)其積分得y(t),即

所以，y(t)=f(t)*h(t)的結(jié)果如圖2.9(d)所示。表2.3列出了一些常用函數(shù)卷積積分的結(jié)果,供讀者用時(shí)參考。2.6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的

MATLAB實(shí)現(xiàn)微分方程的求解可以借助MATLAB的符號(hào)工具箱SYMBOLIC中的dsolve函數(shù),而卷積積分主要是采用數(shù)值求解方法。在SYMBOLIC工具箱中,沖激信號(hào)δ(t)用Dirac(t)表示,階躍信號(hào)ε(t)用Heaviside(t)表示,常微分方程的求解主要用dsolve函數(shù)。

dsolve函數(shù)的使用方法:

(1)dsolve函數(shù)的調(diào)用格式:

dsolve(′eqn1′,′eqn2′,…)其中,每個(gè)參數(shù)都是一個(gè)字符串,代表一個(gè)方程。

(2)分別用Dy,D2y,D3y等表示對(duì)函數(shù)y(t)求一階、二階、三階導(dǎo)數(shù),依此類(lèi)推。

(3)用dsolve函數(shù)求解微分方程時(shí),必須把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開(kāi)求解。

(4)求解零狀態(tài)響應(yīng)時(shí),因?yàn)樵贛ATLAB中無(wú)法定義0+時(shí)刻和0-時(shí)刻,所以零狀態(tài)條件不能用時(shí)間t=0,而應(yīng)選擇一個(gè)靠近t＝0,且t＜0的時(shí)刻。例如取時(shí)刻t=-0.001等。而求解零輸入響應(yīng)則可以用t=0時(shí)刻。

(5)如果是多個(gè)方程多個(gè)未知函數(shù)的情況,還必須用類(lèi)似C語(yǔ)言取結(jié)構(gòu)元素的方法取出輸出結(jié)果中所需要的函數(shù)。最后,可以用simplify函數(shù)對(duì)結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)。下面舉例分析對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)各種響應(yīng)的求解。

例2.13求解下列齊次微分方程在給定初始條件下的零輸入響應(yīng)。

(1)

(2)

解［MATLAB程序］

eq1=′D2y+4*y=0′;ic1=′y(0)=1,Dy(0)=1′;

%設(shè)定方程(1)及其初始條件

eq2=′D3y+2*D2y+Dy=0′;

ic2=′y(0)=1,Dy(0)=1,D2y(0)=2′;

%設(shè)定方程(2)及其初始條件

ans1=dsolve(eq1,ic1);yzi1=simplify(ans1)

ans2=dsolve(eq2,ic2);yzi2=simplify(ans2)［程序運(yùn)行結(jié)果］

yzi1=1/2*sin(2*t)+cos(2*t)

yzi2=5-4*exp(-t)-3*exp(-t)*t即零輸入響應(yīng)分別為其中t≥0。

例2.14已知系統(tǒng)的微分方程和激勵(lì)信號(hào),求下列系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。(1)(2)

解［MATLAB程序］

eq1=′D2y-5*Dy+6*y=exp(-2*t)*Heaviside(t)′;

ic1=′y(-0.01)=0,Dy(-0.01)=0′;

eq2=′D3y+D2y-6*Dy=Df+2*f′;in2=′f=Heaviside(t)′;

ic2=′y(-0.01)=0,Dy(-0.01)=0,D2y(-0.01)=0′;

ans1=dsolve(eq1,ic1);ans1=simplify(ans1)

ans2=dsolve(eq2,in2,ic2);ans2=simplify(ans2.y)［程序運(yùn)行結(jié)果］

ans1=-1/20*Heaviside(t)*(-exp(-2*t)+5*exp(2*t)-

4*exp(3*t))

ans2=-1/45*Heaviside(t)*(-exp(-3*t)+10+15*t-9*exp(2*t))本例中,使用dsolve函數(shù)求解零狀態(tài)響應(yīng)和求解零輸入響應(yīng)時(shí)的用法不同。首先,零狀態(tài)時(shí)刻不能選擇t=0時(shí)刻,本例中第二條語(yǔ)句ic1=′y(-0.01)=0,Dy(-0.01)=0′選擇了t=-0.01時(shí)刻。若用ic1=′y(0)=0,Dy(0)=0′定義零狀態(tài),則實(shí)際上是定義了條件y(0+)=0,y(0+)=0,所以會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。而在第(2)小題的求解中,dsolve的輸出結(jié)果為f(t)和y(t),所以必須用ans2.y提取出y(t)。

例2.15給定系統(tǒng)微分方程

若激勵(lì)信號(hào)為f(t)=e-3tε(t),初始狀態(tài)為y(0_)=1,y′(0_)=2,試求解系統(tǒng)的全響應(yīng)。

解［MATLAB程序］

eq=′D2y+3*Dy+2*y=Df+3*f′;

in=′f=exp(-3*t)*Heaviside(t)′;

ic=′y(-0.0001)=1,Dy(-0.0001)=2′;

ans=dsolve(eq,in,ic);y=simplify(ans.y)程序運(yùn)行結(jié)果］

y=-exp(-2*t)*Heaviside(t)+exp(-t)*Heaviside(t)-3*exp(- 2*t-1/5000)+4*exp(-t-1/10000)其中,零輸入響應(yīng)分量為-3*exp(-2*t-1/5000)+4*exp(-t-1/10000),零狀態(tài)分量為-exp(-2*t)*Heaviside(t)+exp(-t)*Heaviside(t)。因初始狀態(tài)0－取值的近似,而使運(yùn)行結(jié)果中零輸入響應(yīng)-3*exp(-2*t-1/5000)+4*exp(-t-1/10000)只是一個(gè)近似的結(jié)果,精確解應(yīng)為-3*exp(-2*t)+4*exp(-t)。

例2.16已知LTI系統(tǒng)的微分方程y″(t)+y′(t)+y(t)=f′(t)+f(t),試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

解沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)是一種特殊的零狀態(tài)響應(yīng),將輸入信號(hào)定義為in1=′f=Dirac(t)′,求得的零狀態(tài)響應(yīng)即為沖激響應(yīng),將輸入信號(hào)定義為2=′f=Heaviside(t)′，求得的零狀態(tài)響應(yīng)即為階躍響應(yīng)。［MATLAB程序］

eq=′D2y+Dy+y=Df+f′;

in1=′f=Dirac(t)′;in2=′f=Heaviside(t)′;

ic=′Dy(-0.0001)=0,y(-0.0001)=0′;

ans1=dsolve(eq,in1,ic);ans1=simplify(ans1.y)

ans2=dsolve(eq,in2,ic);ans2=simplify(ans2.y)［程序運(yùn)行結(jié)果］

ans1=

-2/3*exp(-1/2*t)*3^(1/2)*(-Int(cos(1/2*3^(1/2)*z1) *(Dirac(z1)+diff(Dirac(z1),z1))*exp(1/2*z1), z1=-1/10000..t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)*z1)*(Dirac (z1)+Diff(Dirac(z1),z1))*exp(1/2*z1),z1=-1/10000.. t)*cos(1/2*3^(1/2)*t))

ans2=

1/3*Heaviside(t)*(3+exp(-1/2*t)*3^(1/2)* sin(1/2*3^(1/2)*t)-3*exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t))上述例題中，求解系統(tǒng)響應(yīng)是利用符號(hào)工具箱中的函數(shù)進(jìn)行的。另外,MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中也提供了一個(gè)求解零狀態(tài)響應(yīng)數(shù)值解的函數(shù)lsim。其調(diào)用格式為y=lsim(sys,f,t)其中,t表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量,f是系統(tǒng)輸入信號(hào)向量,sys是LTI系統(tǒng)模型,可用來(lái)表示微分方程、差分方程或狀態(tài)方程。在求解微分方程時(shí),微分方程的系統(tǒng)模型要借助于tf函數(shù)獲得,其具體調(diào)用格式為sys=tf(b,a)其中,a和b分別表示微分方程左邊和右邊各項(xiàng)的系數(shù)向量。例如,三階微分方程

可用下列語(yǔ)句得到該微分方程的LTI系統(tǒng)模型:

a=［a3,a2,a1,a0］;

b=［b3,b2,b1,b0］;

sys=tf(b,a)注意,微分方程中為零的系數(shù)也一定要寫(xiě)入向量a和b中。

例2.17已知LTI系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+2y′(t)+3y(t)=f′(t)+2f(t)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為f(t)=5sin(2πt),試用MATLAB編程求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

解［MATLAB程序］

sys=tf(［1,2］,［1,2,3］);

t=0:0.01:5;

f=5*sin(2*pi*t);

y=lsim(sys,f,t);

plot(t,y)

xlabel(′t′),ylabel(′y(t)′),gridon［程序運(yùn)行結(jié)果］程序運(yùn)行得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2.10所示。圖2.10系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)曲線在MATLAB中,控制系統(tǒng)工具箱中還提供了數(shù)值求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的函數(shù)impulse和求解階躍響應(yīng)的函數(shù)step。其調(diào)用格式分別為

y=impulse(sys,t)

y=step(sys,t)式中,t表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量,sys表示LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)模型。

例2.18已知LTI系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+2y′(t)+100y(t)=f(t)

系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為f(t),試用MATLAB編程求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

解［MATLAB程序］

t1=0;t2=5;dt=0.01;

sys=tf(［1］,［1,2,100］);

%定義LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)模型

t=t1:dt:t2;

yh=impulse(sys,t); %求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

subplot(2,1,1),plot(t,yh)

xlabel(′t′),ylabel(′yh(t)′),gridon

yr=step(sys,t); %求解系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

subplot(2,1,2),plot(t,yr)

xlabel(′t′)，ylabel(′yr(t)′)，gridon［程序運(yùn)行結(jié)果］程序運(yùn)行得到的系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)曲線如圖2.11所示。圖2.11系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)曲線兩個(gè)信號(hào)的卷積為

對(duì)于兩個(gè)不規(guī)則波形信號(hào)的卷積,依靠手算是困難的,但在MATLAB中卻變得十分簡(jiǎn)單。

例2.19已知f1(t)=tε(t),f2(t)=,試求卷積c(t)=f1(t)*f2(t),并畫(huà)出波形。解［MATLAB程序］

T=0.01;

t1=0:T:1;f1=t1.*(t1>0);

t2=-1:T:2;f2=t2.*exp(-t2).*(t2>=0)+exp(t2).*(t2<0);

c=conv(f1,f2);c=c*T;

t3=-1:T:3;

subplot(3,1,1),plot(t1,f1)，xlabel(′t′)，

ylabel(′f1(t)′)

subplot(3,1,2),plot(t2,f2)，xlabel(′t′)，

ylabel(′f2(t)′)

subplot(3,1,3),plot(t3,c)，xlabel(′t′)，

ylabel(′c(t)′)［程序運(yùn)行結(jié)果］程序運(yùn)行得到的兩信號(hào)及其卷積的波形如圖2.12所示。圖2.12信號(hào)f1(t)和f2(t)及其卷積波形習(xí)題二

1.寫(xiě)出題圖2.1中關(guān)于電壓uo的微分方程，并求轉(zhuǎn)移算子H(p)。

2.已知系統(tǒng)相應(yīng)的齊次方程及其對(duì)應(yīng)的初始條件分別為

(1)

(2)題圖2.1

(3)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

3.給定系統(tǒng)微分方程為若激勵(lì)信號(hào)和起始狀態(tài)為以下兩種情況：

(1)f(t)=ε(t),y(0)=1,y′(0)=2；

(2)f(t)=e-3tε(t),y(0)=1,y′(0)=2。試分別求它們的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)各分量。

4.題圖2.2所示電路中，各元件參數(shù)為L(zhǎng)1=L2=M=1H,R1=4Ω,R2=2Ω，響應(yīng)電流為i2(t)。求沖激響應(yīng)h(t)及階躍響應(yīng)g(t)。

5.題圖2.3所示電路中，元件參數(shù)為C1=1F,C2=2F,R1=1Ω,R2=2Ω，響應(yīng)為u2(t)，求其沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)。題圖2.2題圖2.3

6.求取下列微分方程所描述的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。

(1)

(2)

(3)

(4)