4．3對(duì)數(shù)4.3.1對(duì)數(shù)的概念明確目標(biāo)發(fā)展素養(yǎng)1.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)計(jì)算2.理解指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的等價(jià)關(guān)系，會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化3.理解常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念及記法1.借助指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)2.應(yīng)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)解題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)知識(shí)點(diǎn)對(duì)數(shù)的概念(一)教材梳理填空1．對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝

，其中a叫做對(duì)數(shù)的

，N叫做

．logaN底數(shù)真數(shù)2．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：lgNlnN[微思考]在對(duì)數(shù)的定義中，為什么不能取a≤0及a＝1呢？2．若a2＝M(a＞0，且a≠1)，則有

(

)A．log2M＝a

B．logaM＝2C．loga2＝M D．log2a＝M答案：B3．若log2x＝2，則x＝__________.答案：4題型一對(duì)數(shù)的概念

【學(xué)透用活】(1)對(duì)數(shù)的概念的實(shí)質(zhì)是指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，關(guān)鍵是弄清指數(shù)式各部分的“去向”，如圖．(2)對(duì)數(shù)式y(tǒng)＝logax有意義的條件是x＞0，有時(shí)底數(shù)a＞0，且a≠1也要考慮．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式．(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．

[解]

(1)因?yàn)閘g0.01＝x，所以10x＝0.01＝10－2，所以x＝－2.(2)因?yàn)閘og7(x＋2)＝2，所以x＋2＝72，解得x＝47.利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化求變量值的策略(1)已知底數(shù)與指數(shù)，用指數(shù)式求冪．(2)已知指數(shù)與冪，用指數(shù)式求底數(shù)．(3)已知底數(shù)與冪，利用對(duì)數(shù)式表示指數(shù)．

題型三對(duì)數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式

【學(xué)透用活】[典例3]

(1)求下列各式的值：①2－log23；②e3ln7；③lg0.0012.(2)求下列各式中x的值：①log3(lgx)＝1；②log3(log4(log5x))＝0.(2)①∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝31＝3，∴x＝103＝1000.②由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625.利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解的兩類問題的解法(1)求多重對(duì)數(shù)式的值的解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．

【對(duì)點(diǎn)練清】1．[變條件]若將本例(2)②中“l(fā)og3(log4(log5x))＝0”改為“l(fā)og3(log4(log5x))＝1”，則x＝________.解析：由log3(log4(log5x))＝1可得log4(log5x)＝3，則log5x＝43＝64，所以x＝564.答案：5642．[變?cè)O(shè)問]在本例(2)②條件下，計(jì)算625logx3的值為________．解析：因?yàn)閤＝625，則625log6253＝3.答案：33．[變條件]若將本例(2)②中“l(fā)og3(log4(log5x))＝0”改為“3log3(log4(log5x))＝1”，則x＝________.解析：由3log3(log4(log5x))＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.答案：625【課堂思維激活】一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．某同學(xué)解等式“l(fā)og(x－2)(x2－7x＋13)＝0中的x”的過程如下：解：∵log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，∴x2－7x＋13＝1.即x2－7x＋12＝0，解得x＝3或x＝4.故所求x的值為3或4.分析以上解題過程，判斷其是否正確．若不正確，請(qǐng)給出正確的解題過程．提示：不正確．忽略對(duì)數(shù)的底數(shù)a＞0，且a≠1.二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．分貝是計(jì)量聲音強(qiáng)度相對(duì)大小的單位，物理學(xué)家引入了聲壓級(jí)來描述聲音的大??；把聲壓p0＝2×10－5帕作為參考聲壓．把所要測(cè)量的聲壓p與參考聲壓p0的比值取常用對(duì)數(shù)后乘20得到的數(shù)值稱為聲壓級(jí)，聲壓級(jí)是聽力學(xué)中最重要的參數(shù)之一，單位是分貝(dB)，分貝值在60以下為無害區(qū)，60～110為過渡區(qū)，110以上為有害區(qū)．(1)根據(jù)上述材料，列出分貝值y與聲壓p的函數(shù)關(guān)系式．(2)某地聲壓p＝0.002帕，試問：該地為以上所說的什么區(qū)？(3)某電視臺(tái)現(xiàn)場(chǎng)錄制節(jié)目時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)多次響起響亮的掌聲，某觀眾用儀器測(cè)量到最響亮的一次音量達(dá)到了90分貝，試求此時(shí)該電視臺(tái)演播大廳的聲壓是多少．三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維3．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)．在實(shí)數(shù)軸R(箭頭向右)上[x]是在點(diǎn)x左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)x是整數(shù)時(shí)[x]就是x.這個(gè)函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用．求[lg1]＋[lg2]＋[lg3]＋…＋[lg10]＋[lg11]＋[lg12]＋…＋[lg2019]的值．解：根據(jù)定義，[lg1]＝[lg2]＝[lg3]＝…[lg9]＝0；[lg10]＝[lg11]＝[lg12]＝…[lg99]＝1；[lg100]＝[lg101]＝[lg102]＝…＝[lg999]＝2，[lg1000]＝[lg1001]＝[lg1002]＝…[lg2019]＝3.所以[