§9.2用樣本估計(jì)總體課標(biāo)要求1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度.1.百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)這個(gè)值.2.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：x=.(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)).(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)).3.方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差：s2=或1nnΣ(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s=.4.總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差(1)一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為Y，則總體方差S2=1NNΣi=1(Yi-(2)加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1，2，…，k)，則總體方差為S2=1NkΣi=1fi(Yi-1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)對(duì)一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.()(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.()(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.()(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)的估計(jì)值.()2.在下列統(tǒng)計(jì)量中，用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是()A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.百分位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差3.已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學(xué)的物理成績(jī)分別為84，79，84，86，95，84，87，93，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是()A.86，84 B.84.5，85C.85，84 D.86.5，844.(2024·周口模擬)已知一組從小到大排列的數(shù)據(jù)為a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位數(shù)等于其極差，則2a+b=.1.若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，方差為s2，那么mx1+a，mx2+a，…，mxn+a的平均數(shù)為mx+a，方差為m2s2.2.數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1'=x1+a，x2'=x2+a，…，xn'=xn+a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變.題型一樣本數(shù)字特征的估計(jì)例1(1)(多選)(2024·郴州模擬)隨機(jī)抽取8位同學(xué)對(duì)他們2024年數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說(shuō)法正確的有()A.平均數(shù)為101 B.極差為9C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為101(2)如圖是2023年11月中國(guó)的10個(gè)城市地鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位：公里)及運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖，下列判斷正確的是()A.這10個(gè)城市中北京的地鐵運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)且運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)最多B.這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營(yíng)里程的中位數(shù)是516公里C.這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的平均數(shù)為15.4D.這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的極差是12思維升華計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)某次比賽通過(guò)賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為7，12，13，17，18，20，32，則()A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等(2)若某校高一年級(jí)10個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；中位數(shù)是.題型二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)例2某考試機(jī)構(gòu)舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績(jī)，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基計(jì)劃.在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求出圖中a的值并估計(jì)本次考試的及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占的比例)；(2)估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)；(3)估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù).思維升華頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.跟蹤訓(xùn)練2某高中為了解本校高二年級(jí)學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天體育鍛煉的時(shí)間，并以此作為樣本，按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知樣本中體育鍛煉時(shí)間在[50，60)內(nèi)的學(xué)生有10人.(1)求頻率分布直方圖中a和b的值；(2)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)(求平均數(shù)時(shí)，同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).題型三總體離散程度的估計(jì)例3某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行了10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i=1，2，…，10).試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2.(1)求z，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果z≥2s210，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高思維升華總體離散程度的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.跟蹤訓(xùn)練3某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生參加“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)得到參加競(jìng)賽的每名學(xué)生的成績(jī)(單位：分)，然后按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分成6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知b+0.03=2a.(1)求a，b的值，并估計(jì)參加競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)的第30百分位數(shù)；(2)已知成績(jī)?cè)赱80，90)內(nèi)所有學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?4分，方差為6，成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)所有學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?8分，方差為10，求成績(jī)?cè)赱80，100]內(nèi)所有學(xué)生的平均成績(jī)x和方差s2.答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.p%大于或等于2.(1)1n(x1+x2+…+xn(2)中間平均數(shù)(3)最多3.(1)1nnΣi=1(xi(2)1自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.D3.D4.10探究核心題型例1(1)ABD[平均數(shù)為97+98+99+100+101+103+104+1068=101，A極差為106-97=9，B正確；方差為(97-101)2+(98-101)2+…+(106-101)2因?yàn)?0%×8=4.8，故第60百分位數(shù)為101，D正確.](2)C[北京的地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)最多，而運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的是上海，A錯(cuò)誤；地鐵運(yùn)營(yíng)里程的中位數(shù)是558.6+5162=537.3(公里)，B地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的平均數(shù)為20+27+18+14+17+12+14+10+14+810=15.4，C地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的極差是27-8=19，D錯(cuò)誤.]跟蹤訓(xùn)練1(1)ACD[極差為32-7=25，故A正確；7×75%=5.25，故75%分位數(shù)為20，故B錯(cuò)誤；平均數(shù)為7+12+13+17+18+20+327=17，故C去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.](2)9692.5解析這組數(shù)據(jù)從小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，95，96，96，其中96出現(xiàn)的次數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是96，中位數(shù)是92+932=92.5例2解(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(a+0.004+0.013+0.014+0.016)×20=1，解得a=0.003.本次考試的及格率約為(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%.(2)得分在110分以下的學(xué)生所占的比例為(0.004+0.013+0.016)×20=0.66，得分在130分以下的學(xué)生所占的比例為0.66+0.014×20=0.94，所以第80百分位數(shù)位于[110，130)內(nèi)，由110+20×0.8-0.660.94-0.66=120，估計(jì)第80百分位數(shù)為120(3)由題圖可得，眾數(shù)的估計(jì)值為100.平均數(shù)的估計(jì)值為0.08×60+0.26×80+0.32×100+0.28×120+0.06×140=99.6.跟蹤訓(xùn)練2解(1)由題意可知，學(xué)生每天體育鍛煉的時(shí)間在[50，60)內(nèi)的頻率為10100=0.1則a=0.110=0.01由各組頻率之和為1，可知(0.005+0.01+b+0.025×2+0.005)×10=1，解得b=0.03.(2)前3組的頻率之和為(0.005+0.01+0.03)×10=0.45<0.5，前4組的頻率之和為0.45+0.025×10=0.7>0.5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)為x，所以0.45+(x-70)×0.025=0.5，解得x=72，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是72，估計(jì)平均數(shù)是(45+95)×0.05+55×0.1+65×0.3+(75+85)×0.25=72.例3解(1)由題意得zi=xi-yi的值分別為9，6，8，-8，15，11，19，18，20，12，則z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61(2)由(1)知，z=112s210=26.1故有z≥2s所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.跟蹤訓(xùn)練3解(1)因?yàn)樵陬l率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，所以(0.005+0.01+b+0.03+a