§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算課標(biāo)要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.1.向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有又有的量平面向量是自由向量長(zhǎng)度(模)向量的

記作|a|或|AB|零向量長(zhǎng)度為0，其方向是任意的記作

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量與非零向量a共線的單位向量為±a平行向量(共線向量)方向或的非零向量0與任意向量(或共線)相等向量長(zhǎng)度且方向的向量?jī)上蛄坎荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度且方向的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a+b=；

結(jié)合律：(a+b)+c=

減法a-b=a+(-b)數(shù)乘|λa|=，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向；

當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向；

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=

設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則λ(μa)=；

(λ+μ)a=；

λ(a+b)=

3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.()(2)單位向量都相等.()(3)若a=b，b=c，則a=c.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b=λa，反之成立.()2.下列命題正確的是()A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B.若|a|=|b|，則a=b或a=-bC.向量AB與BA是平行向量D.平行向量不一定是共線向量3.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則OA+OB+OC+OD等于()A.OM B.2OM C.3OM D.4OM4.已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，向量b-ta與12a-32b共線，則實(shí)數(shù)t=.

熟記平面向量線性運(yùn)算的常用結(jié)論(1)設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP=12(OA+(2)在△ABC中，點(diǎn)P滿(mǎn)足PA+PB+PC=0?P為△ABC的重心?AP=13(AB+(3)OA=λOB+μO(píng)C(λ，μ為實(shí)數(shù)，點(diǎn)O，B，C不共線)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ+μ=1.(4)對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.題型一平面向量的基本概念例1(1)下列四個(gè)命題中正確的有()A.若a∥b，b∥c，則a∥cB.“a=b”的充要條件是“|a|=|b|且a∥b”C.在平行四邊形ABCD中，一定有AB=DCD.若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，a0為單位向量，則a=|a|a0(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A.AD=BC B.AC=BDC.PE=PF D.EP=PF思維升華平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)非零向量的平行具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.(4)a|a|是與非零向量a同方向的單位向量跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列關(guān)于向量的說(shuō)法正確的是()A.若|a|=0，則a=0B.若向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一條直線上C.對(duì)于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|D.若a∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb(2)在如圖所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的邊長(zhǎng)為1).①是共線向量的有；

②方向相反的向量有；

③模相等的向量有.

題型二平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義例2若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|，則△ABC的形狀為()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算例3(2025·成都模擬)在△ABC中，BD+2CD=0，則AD等于()A.23AB+13AC BC.13AB+23AC D思維升華平面向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)[爪子定理]在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，若BDDC=mn，則AD=nm跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)D，E為△ABC所在平面內(nèi)兩點(diǎn)，AD=DC，CB=2BE，則DE等于(A.-32AB+AC B.3C.AB-32AC D.-AB(2)若|AB|=7，|AC|=4，則|BC|的取值范圍是()A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11)題型三共線定理及其應(yīng)用例4(1)(2024·福州模擬)已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若2e1+λe2與μe1+e2(λ，μ為實(shí)數(shù))是共線向量，則()A.λμ=-2 B.λμC.λμ=2 D.λμ(2)如圖，在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的點(diǎn)，若AP=mAB+14AC，則實(shí)數(shù)思維升華利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a=λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).(2)若a與b不共線且λa=μb，則λ=μ=0.(3)已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且OP=mOA+nOB(m，n∈R)，則A，P，B三點(diǎn)共線的充要條件是m+n=1.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·深圳模擬)設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1-ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為()A.-8 B.8 C.6 D.-6(2)如圖所示，在△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于點(diǎn)M，N，若AB=mAM，AC=nAN，m，n∈R，則m+n的值為等和(高)線定理如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若OP＝λOA＋μO(píng)B(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA'B'相似，必存在一個(gè)常數(shù)k，k∈R，使得OP'＝kOP，則OP'＝kOP＝kλOA＋kμO(píng)B，設(shè)OP'＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立.平面內(nèi)一個(gè)基底{OA，OB}及任一向量OP'，OP'＝λOA＋μO(píng)B(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P'在直線AB上或在與AB平行的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱(chēng)為等和(高)線.①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)O和直線AB之間時(shí)，k∈(0，1)；③當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；④當(dāng)?shù)群途€過(guò)點(diǎn)O時(shí)，k＝0；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的絕對(duì)值與點(diǎn)O到等和線的距離成正比.典例(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn).若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，則λ＋μ等于()A.1 B.34 C.23 D(2)如圖，圓O是邊長(zhǎng)為23的等邊△ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，BM＝xBA＋yBD(x，y∈R)，則2x＋y的最大值為.答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.大小方向大小0相同相反平行相等相同相等相反2.b+aa+(b+c)|λ||a|相同相反0(λμ)aλa+μaλa+λb3.b=λa自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C3.D4.1探究核心題型例1(1)C[A不正確，若b=0，則由a∥b，b∥c，無(wú)法得到a∥c；B不正確，當(dāng)|a|=|b|且a∥b時(shí)，a，b的方向可能相反，此時(shí)a與b是相反向量，即a=-b；當(dāng)a=b時(shí)，a與b的模相等且方向相同，即|a|=|b|且a∥b，故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分條件；C正確，平行四邊形ABCD對(duì)邊平行且相等，且AB和DC方向相同，故AB=DC；D不正確，向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同.](2)D[方法一(排除法)AD，BC不共線，AC，BD不共線，故A，B錯(cuò)誤；PE，方法二在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故∵AB∥CD，∴PBPD=PA則PB+PDPD即BDPD=ACPC，即PDBD∵EF∥AB，∴PEAB=PDBD=PCAC∴PE=PF，即P為EF的中點(diǎn)，∴EP=PF，故C錯(cuò)誤，D正確.]跟蹤訓(xùn)練1(1)AC[對(duì)于A，若|a|=0，則a=0，故A正確；對(duì)于B，若向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在同一條直線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a，b方向相同，則|a+b|=|a|+|b|，若a，b方向相反，則|a+b|<|a|+|b|，若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及三角形兩邊之和大于第三邊可知|a+b|<|a|+|b|.綜上可知，對(duì)于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|，故C正確；對(duì)于D，若a≠0，b=0，則a∥b，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，故D錯(cuò)誤.](2)①a和d，b和e②a和d，b和e③a，c，d解析①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共線向量；②a和d，b和e是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.例2B[OB+OC-2OA=(OB-OA)+(OC-OA)=AB+AC，OB-OC=CB=AB-∴|AB+AC|=|AB-AC|.故A，B，C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形.]例3C[因?yàn)锽D+2CD=0，所以D為線段BC上靠近C的三等分點(diǎn)，如圖所示，故AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=跟蹤訓(xùn)練2(1)B[如圖，因?yàn)锳D=DC，CB=2所以DC=12AC，所以DE=DC+CE=12AC=12AC+32(AB-AC)=(2)C[由題意知|AB|=7，|AC|=4，且|BC|=|AC-AB|，當(dāng)AC，AB同向時(shí)，|BC|取得最小值，|BC|=|AC-AB|=||AC|-|AB當(dāng)AC，AB反向時(shí)，|BC|取得最大值，|BC|=|AC-AB|=|AC|+|AB當(dāng)AC，AB不共線時(shí)，3=||AC|-|AB||<|BC|<|AC|+|AB故|BC|的取值范圍是[3，11].]例4(1)D[由題意，可設(shè)2e1+λe2=t(μe1+e2)，t∈R，又e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，故tμ=2，λ=t(2)1解析因?yàn)锳N=12所以AC=3AN，因?yàn)锳P=mAB+14AC=mAB+且B，P，N三點(diǎn)共線，所以m+34=1，所以m=1跟蹤訓(xùn)練3(1)B[根據(jù)題意，得BD=CD-CB=e1-4e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，設(shè)AB=tBD，則有2e1-ke2=t(e1-4e2)=te1-4te2，所以t=2，k=4t(2)2解析連接AO(圖略)，則AO=12(AB+AC)=m因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以m2+n2=1，所以m+n微拓展典例(1)B[方法一(常規(guī)方法)∵E為線段AO的中點(diǎn)，∴BE=12(BA=1=12BA+