高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市啟東市等2地2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】由點，可得直線的斜率為，因為經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，所以.故選：D.2.若直線與直線垂直，則（）A.8 B.8 C. D.【答案】A【解析】因為直線與直線垂直，所以，解得，故選：A3.如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，M為OA中點，N為BC中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得：，故選：A.4.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，所以的取值范圍為.故選：B.5.已知圓，圓，則圓與圓的公切線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由圓，可得，故圓心，半徑，由圓，可得，故故圓心，半徑，因為，所以，即兩圓相交，所以圓與圓的公切線條數(shù)為2.故選：B.6.已知橢圓的兩個焦點與短軸的兩個端點在同一個圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓的兩個焦點與短軸的兩個端點在同一個圓上，，即，，橢圓的離心率為，故選：C.7.已知直線，圓，若圓上有且僅有一個點到直線的距離為，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有一個點到直線的距離為，則，解得，故選：C8.已知橢圓，直線與橢圓在第二象限交于兩點，與兩坐標軸分別交于兩點，且，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由直線與橢圓在第二象限交于兩點知，直線的斜率存在且，設(shè)直線方程為，則,設(shè)Ax1,則有，兩式相減可得，即，因為，所以也是的中點，所以，解得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線和圓，則（）A.直線的傾斜角為B.直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為C.直線被圓截得的弦長為D.圓被直線截得的優(yōu)弧與劣弧弧長之比為【答案】BCD【解析】對于A選項，直線的斜率為，所以，直線的傾斜角為，A錯；對于B選項，直線交軸于點，交軸于點，所以，直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，B對；對于C選項，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為，C對；對于D選項，設(shè)劣弧所對圓心角的大小為，則為銳角，且，可得，則，故優(yōu)弧所對的圓心角為，則圓被直線截得的優(yōu)弧與劣弧弧長之比為，D對.故選：BCD.10.已知橢圓左、右焦點分別為，點在上，且的最大值為3，最小值為1，則下列說法正確的是（）A.橢圓的離心率為B.△的周長為4C.若°，則△的面積為D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】由的最大值為3，最小值為1知，，解得，所以離心率，故A正確；由橢圓的定義知，所以△的周長為，故B錯誤；由余弦定理，，即，所以，解得，所以，故C正確；由題意可得橢圓方程為，,設(shè)，則，所以，由，可知，故D正確.故選：ACD.11.在棱長為1的正方體中，點在線段上，點在線段上，則（）A.當(dāng)為的中點，為的中點時，平面B.當(dāng)為的中點時，C.當(dāng)//平面時，的最小值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】建立如圖所示的空間直角生標系，則因為點在線段BD上,點在線段上,設(shè),,.對于,當(dāng)為BD的中點,為的中點時,,,,平面平面平面,故正確;對于,當(dāng)為BD的中點時,,,故B正確;對于,易知平面的一個法向量為又平面,即所以當(dāng)時,,故C錯誤；對于,當(dāng)最小時,,因為即,即,即,解得,此時,故的最小值為,故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過點且與直線平行的直線方程為______．【答案】【解析】設(shè)與直線平行的直線為，因為點在直線上，所以，可得，所以該直線方程為.13.若過點的圓與兩坐標軸都相切，則該圓的標準方程為________．【答案】或【解析】∵點在一象限，∴設(shè)圓心，半徑，則圓的方程為，代入點圓的方程，解得或，∴圓的方程為：或.故答案為：或14.已知曲線是橢圓，則該橢圓的離心率為________；為上任意一點，與點之間的距離的最大值為_______．【答案】【解析】中，用替換，方程不變，所以橢圓關(guān)于對稱，用替換，方程不變，所以橢圓關(guān)于對稱，由，解得橢圓的長軸頂點：，由，解得橢圓的短軸頂點：，所以，，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即或者時等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點．（1）求△的外接圓方程；（2）若點關(guān)于直線的對稱點為，求點到直線的距離．解：（1）設(shè)△的外接圓方程為，代入，可得，解得,所以△的外接圓方程為（2）設(shè)，由可知,所以直線的方程為，即，由關(guān)于直線的對稱點為，可得，解得，即,所以，直線方程為，即，所以點到直線的距離.16.如圖，直三棱柱的所有棱長均為2，分別是的中點．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．（1）證明：因為直三棱柱的所有棱長均為2，分別是的中點，所以，平面，因為平面，所以.因為平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）解：取的中點，連接，則兩兩垂直.以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，易知,,則，設(shè)平面的法向量為,則，取，可得.設(shè)直線與平面所成角為，則,所以.所以直線與平面所成角的余弦值為.17.已知圓．（1）若直線經(jīng)過點,且與圓相切,求直線的方程；（2）設(shè)點,點在圓上,為線段的中點,求的軌跡的長度．解：（1）圓C的標準方程為:,,點在圓外,故過點A且與圓C相切的直線有2條，①當(dāng)直線的斜率不存在時,,圓心到直線的距離,直線與圓C相切.(2)當(dāng)直線斜率存在時,可設(shè)直線,即,圓心C到直線的距離,由題意,解得,此時,即,終上所述,直線的方程為x=-1或.（2）設(shè)因為為DE的中點,所以,點E在圓C上,,即，即，所以點的軌跡是以為圓心,32為半徑的圓,的軌跡的長度為.18.已知橢圓的右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線經(jīng)過且與橢圓交于兩點，證明：當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時．解：（1）由題意可知，，∴，則,∴橢圓的方程：（2）當(dāng)直線斜率不存在時，與圓不相切且此時；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，即，聯(lián)立，得，設(shè)Mx1,則，,則，當(dāng)時，則，直線或，此時圓心到的距離,或,∴當(dāng)時，直線與圓相切；當(dāng)直線與圓相切時，，解得，此時；綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時.19.如圖1，△是等邊三角形，△為等腰直角三角形，．將△沿翻折到△位置，且點不在平面內(nèi)（如圖2）．點在線段上（不含端點）．（1）證明：；（2）直線與所成角的余弦值為．①直線與平面所成角為60°時，求；②設(shè)平面與平面的夾角為，求的取值范圍．（1）證明：設(shè)為線段的中點，連接，如圖，因為，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以（2）解：因△為等腰直角三角形，，所以，因為△是等邊三角形，所以，設(shè)，則因為，所以，所以解得或，因為，所以，所以兩兩垂直，以為坐標原點，為基底，建立如圖所示空間直角坐標系，①，則，設(shè)，得設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以因為直線與平面所成角為60°，所以，解得（不合題意，舍），所以②設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，令，則，且，因為時，，所以，，所以的取值范圍.江蘇省南通市啟東市等2地2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】由點，可得直線的斜率為，因為經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，所以.故選：D.2.若直線與直線垂直，則（）A.8 B.8 C. D.【答案】A【解析】因為直線與直線垂直，所以，解得，故選：A3.如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，M為OA中點，N為BC中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得：，故選：A.4.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，所以的取值范圍為.故選：B.5.已知圓，圓，則圓與圓的公切線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由圓，可得，故圓心，半徑，由圓，可得，故故圓心，半徑，因為，所以，即兩圓相交，所以圓與圓的公切線條數(shù)為2.故選：B.6.已知橢圓的兩個焦點與短軸的兩個端點在同一個圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓的兩個焦點與短軸的兩個端點在同一個圓上，，即，，橢圓的離心率為，故選：C.7.已知直線，圓，若圓上有且僅有一個點到直線的距離為，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有一個點到直線的距離為，則，解得，故選：C8.已知橢圓，直線與橢圓在第二象限交于兩點，與兩坐標軸分別交于兩點，且，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由直線與橢圓在第二象限交于兩點知，直線的斜率存在且，設(shè)直線方程為，則,設(shè)Ax1,則有，兩式相減可得，即，因為，所以也是的中點，所以，解得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線和圓，則（）A.直線的傾斜角為B.直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為C.直線被圓截得的弦長為D.圓被直線截得的優(yōu)弧與劣弧弧長之比為【答案】BCD【解析】對于A選項，直線的斜率為，所以，直線的傾斜角為，A錯；對于B選項，直線交軸于點，交軸于點，所以，直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，B對；對于C選項，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為，C對；對于D選項，設(shè)劣弧所對圓心角的大小為，則為銳角，且，可得，則，故優(yōu)弧所對的圓心角為，則圓被直線截得的優(yōu)弧與劣弧弧長之比為，D對.故選：BCD.10.已知橢圓左、右焦點分別為，點在上，且的最大值為3，最小值為1，則下列說法正確的是（）A.橢圓的離心率為B.△的周長為4C.若°，則△的面積為D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】由的最大值為3，最小值為1知，，解得，所以離心率，故A正確；由橢圓的定義知，所以△的周長為，故B錯誤；由余弦定理，，即，所以，解得，所以，故C正確；由題意可得橢圓方程為，,設(shè)，則，所以，由，可知，故D正確.故選：ACD.11.在棱長為1的正方體中，點在線段上，點在線段上，則（）A.當(dāng)為的中點，為的中點時，平面B.當(dāng)為的中點時，C.當(dāng)//平面時，的最小值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】建立如圖所示的空間直角生標系，則因為點在線段BD上,點在線段上,設(shè),,.對于,當(dāng)為BD的中點,為的中點時,,,,平面平面平面,故正確;對于,當(dāng)為BD的中點時,,,故B正確;對于,易知平面的一個法向量為又平面,即所以當(dāng)時,,故C錯誤；對于,當(dāng)最小時,,因為即,即,即,解得,此時,故的最小值為,故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過點且與直線平行的直線方程為______．【答案】【解析】設(shè)與直線平行的直線為，因為點在直線上，所以，可得，所以該直線方程為.13.若過點的圓與兩坐標軸都相切，則該圓的標準方程為________．【答案】或【解析】∵點在一象限，∴設(shè)圓心，半徑，則圓的方程為，代入點圓的方程，解得或，∴圓的方程為：或.故答案為：或14.已知曲線是橢圓，則該橢圓的離心率為________；為上任意一點，與點之間的距離的最大值為_______．【答案】【解析】中，用替換，方程不變，所以橢圓關(guān)于對稱，用替換，方程不變，所以橢圓關(guān)于對稱，由，解得橢圓的長軸頂點：，由，解得橢圓的短軸頂點：，所以，，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即或者時等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點．（1）求△的外接圓方程；（2）若點關(guān)于直線的對稱點為，求點到直線的距離．解：（1）設(shè)△的外接圓方程為，代入，可得，解得,所以△的外接圓方程為（2）設(shè)，由可知,所以直線的方程為，即，由關(guān)于直線的對稱點為，可得，解得，即,所以，直線方程為，即，所以點到直線的距離.16.如圖，直三棱柱的所有棱長均為2，分別是的中點．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．（1）證明：因為直三棱柱的所有棱長均為2，分別是的中點，所以，平面，因為平面，所以.因為平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）解：取的中點，連接，則兩兩垂直.以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，易知,,則，設(shè)平面的法向量為,則，取，可得.設(shè)直線與平面所成角為，則,所以.所以直線與平面所成角的余弦值為.17.已知圓．（1）若直線經(jīng)過點,且與圓相切,求直線的方程；（2）設(shè)點,點在圓上,為線段的中點,求的軌跡的長度．解：（1）圓C的標準方程為:,,點在圓外,故過點A且與圓C相切的直線有2條，①當(dāng)直線的斜率不存在時,,圓心到直線的距離,直線與圓C相切.(2)當(dāng)直線斜率存在時,可設(shè)