高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省天立集團2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題B一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列關(guān)于函數(shù)的圖象中，可以直觀判斷方程在上有解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】方程f（x）-2=0在（-∞，0）上有解，

∴函數(shù)y=f（x）與y=2在（-∞，0）上有交點，

分別觀察直線y=2與函數(shù)f（x）的圖象在（-∞，0）上交點的情況，

選項A，B，C無交點，D有交點，

故選D．2.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點（）A.向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）B.向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）C.向左平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）D.向左平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，再將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），故選：B．3.“，且”是“，且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，且，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；當(dāng)，滿足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.故選：B.4.為加強學(xué)生音樂素養(yǎng)的培育，東莞市某高中舉行“校園十大歌手”比賽，比賽現(xiàn)場有7名評委給選手評分，另外，學(xué)校也提前發(fā)起了網(wǎng)絡(luò)評分，學(xué)生們可以在網(wǎng)絡(luò)上給選手評分，場內(nèi)數(shù)百名學(xué)生均參與網(wǎng)絡(luò)評分．某選手參加比賽后，現(xiàn)場評委的評分表和該選手網(wǎng)絡(luò)得分的條形圖如下圖所示：評委序號①②③④⑤⑥⑦評分108989109記現(xiàn)場評委評分的平均分為，網(wǎng)絡(luò)評分的平均分為，所有評委與場外學(xué)生評分的平均數(shù)為，那么下列選項正確的是（）A. B.C. D.與關(guān)系不確定【答案】C【解析】由題設(shè)，，，∴，若場外學(xué)生有人，則，又，∴，即.故選：C5.已知函數(shù)，方程有三個解，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，，即，即，設(shè)，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，，不妨取，則，，.故選：B.6.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】畫出的三角函數(shù)線，如下：則，，，設(shè)扇形的面積為，則，，又，故，所以，，因為，所以.所以.故選：A.7.如圖，在平面內(nèi)放置兩個相同的直角三角板，其中，且B，C，D三點共線，則下列結(jié)論不成立的是（）A. B.C.與共線 D.【答案】D【解析】設(shè)，∠A=30°，且三點共線，則，，，，所以.故A、B、C成立，D不成立.故選：D.8.在正方體中，M為棱的中點，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，取的中點，連接，因為M為棱的中點，所以∥，，因為∥,，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，，所以∥，，所以梯形為平面所在的截面，則為三棱臺的體積，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則正方體的體積為8，因為，所以,所以，所以，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】A：不妨取，滿足，但，故錯誤；B：因為，由，故可得，即，故正確；C：因為，不等式兩邊同除以不為零的常數(shù)，即可得，故正確；D：不妨取，滿足，但，故錯誤.綜上所述，正確的選項是：BC.10.甲乙兩臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床的正品率是0.8，乙機床的正品率為0.9，分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，則（）A.兩件都是次品的概率為0.02B.事件“至多有一件正品”與事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率為0.26D.事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件【答案】ACD【解析】對于A，若取出的兩件都是次品，其概率，故A項正確；對于B，事件“至多有一件正品”包含有兩件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有兩件正品、一件正品和一件次品，所以兩個事件不是互斥事件，故B項錯誤；對于C，恰有一件正品，其概率，故C項正確；對于D，“至少有一件正品”包含有兩件正品、一件正品和一件次品，所以事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件，故D項正確；故選：ACD.11.如圖，點M是正方體中的線段上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點M，使平面B.點M存在無數(shù)個位置滿足C.若正方體的棱長為1，三棱錐的體積最大值D.存在點M，使異面直線與AB所成的角是【答案】ABC【解析】連接，取與的交點為，連接，它們的交點為，連接.由正方體可得故四邊形為平行四邊形，故，.由正方形為正方形可得為的中點，同理為的中點，故所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，故平面，故A正確.由正方體可得平面，而平面，故，由正方形可得，而，故平面，無論在何處，總有平面，故，故B成立.當(dāng)變化時，到平面距離為定值，當(dāng)與重合時，三棱錐的體積最大，此時，故C正確.設(shè)正方體的棱長為1，因為，故異面直線與AB所成的角即為或其補角，在直角三角形中，，故，故不存在點M，使異面直線與AB所成的角是.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.圓錐和圓柱的底面半徑、高都是R，則圓錐的表面積和圓柱的表面積之比為_______．【答案】【解析】由圖得：圓錐的表面積是由底面和側(cè)面構(gòu)成，則，圓柱的表面積是由上下底面和側(cè)面構(gòu)成，則,所以圓錐的表面積和圓柱的表面積之比:.13.若實數(shù)滿足，則的最小值為______；的最小值為________．【答案】【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最小值為；，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為.14.函數(shù)在[1，3]上有且只有一個零點，則a的取值范圍是_______.【答案】【解析】當(dāng)時，對稱軸，原函數(shù)在[1，3]上有且只有一個零點，則，得；當(dāng)時，由于，要使原函數(shù)在[1，3]上有且只有一個零點，則得；當(dāng)時，在[1，3]上沒有零點.綜上所述：a的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是的中點，（1）求證：：（2）求點G到平面EFC的距離.（1）證明：建立以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸的空間直角坐標系如下所示：則，，則，故.（2）解：因為，設(shè)平面CEF的法向量為，則有故，即，令，則，即，又，所以點G到平面CEF的距離.17.心理學(xué)研究表明，學(xué)生在課堂上各時段的接受能力不同上課開始時，學(xué)生的興趣高昂，接受能力漸強，隨后有一段不太長的時間，學(xué)生的接受能力保持較理想的狀態(tài)；漸漸地學(xué)生的注意力開始分散，接受能力漸弱并趨于穩(wěn)定設(shè)上課開始分鐘時，學(xué)生的接受能力為（值越大，表示接受能力越強），與的函數(shù)關(guān)系為：．（1）上課開始后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強？能維持多少時間？（2）若一個數(shù)學(xué)難題，需要及以上的接受能力（即）以及分鐘時間才能講述完，則老師能否及時在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講述完這個難題？解：（1）由題意可知，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，fx的最大值為，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以開講后分鐘接受能力最強，且能維持分鐘.（2）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，滿足要求，當(dāng)時，，解得，故分鐘分鐘，老師不能在所需接受能力的狀態(tài)下講完這個難題．18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，．（1）求證：；（2）若分別為的中點，平面，求直線與平面所成角的大?。?）證明：連接，交于點，因為底面是正方形，所以且為的中點.又所以平面，由于平面,故.又,故.（2）設(shè)的中點為,連接,//，,所以為平行四邊形，//，因平面，所以平面，所以,的中點為,所以.由平面，又可得，又，又所以平面所以,又,所以平面由題意,兩兩垂直，以A為坐標原點,向量的方向為軸,軸,軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,則，，為平面的一個法向量.設(shè)直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角為.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，，則不等式的解集；（2）若存在使關(guān)于的方程有四個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)時，所以.令，解得，所以的定義域為-1,1，因為在單調(diào)遞增，在0,1單調(diào)遞減，函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增，在0,1單調(diào)遞減，因為，所以，解得，所以不等式的解集為.（2）令，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因為，所以，即有四個不同的實根，令，可知hx為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以有四個不同的實根可轉(zhuǎn)化為有兩個不等正根，所以，即，由可得，因為，即存在，使不等式成立，故，即，解得或，故實數(shù)的取值范圍為.四川省天立集團2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題B一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列關(guān)于函數(shù)的圖象中，可以直觀判斷方程在上有解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】方程f（x）-2=0在（-∞，0）上有解，

∴函數(shù)y=f（x）與y=2在（-∞，0）上有交點，

分別觀察直線y=2與函數(shù)f（x）的圖象在（-∞，0）上交點的情況，

選項A，B，C無交點，D有交點，

故選D．2.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點（）A.向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）B.向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）C.向左平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）D.向左平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，再將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），故選：B．3.“，且”是“，且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，且，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；當(dāng)，滿足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.故選：B.4.為加強學(xué)生音樂素養(yǎng)的培育，東莞市某高中舉行“校園十大歌手”比賽，比賽現(xiàn)場有7名評委給選手評分，另外，學(xué)校也提前發(fā)起了網(wǎng)絡(luò)評分，學(xué)生們可以在網(wǎng)絡(luò)上給選手評分，場內(nèi)數(shù)百名學(xué)生均參與網(wǎng)絡(luò)評分．某選手參加比賽后，現(xiàn)場評委的評分表和該選手網(wǎng)絡(luò)得分的條形圖如下圖所示：評委序號①②③④⑤⑥⑦評分108989109記現(xiàn)場評委評分的平均分為，網(wǎng)絡(luò)評分的平均分為，所有評委與場外學(xué)生評分的平均數(shù)為，那么下列選項正確的是（）A. B.C. D.與關(guān)系不確定【答案】C【解析】由題設(shè)，，，∴，若場外學(xué)生有人，則，又，∴，即.故選：C5.已知函數(shù)，方程有三個解，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，，即，即，設(shè)，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，，不妨取，則，，.故選：B.6.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】畫出的三角函數(shù)線，如下：則，，，設(shè)扇形的面積為，則，，又，故，所以，，因為，所以.所以.故選：A.7.如圖，在平面內(nèi)放置兩個相同的直角三角板，其中，且B，C，D三點共線，則下列結(jié)論不成立的是（）A. B.C.與共線 D.【答案】D【解析】設(shè)，∠A=30°，且三點共線，則，，，，所以.故A、B、C成立，D不成立.故選：D.8.在正方體中，M為棱的中點，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，取的中點，連接，因為M為棱的中點，所以∥，，因為∥,，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，，所以∥，，所以梯形為平面所在的截面，則為三棱臺的體積，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則正方體的體積為8，因為，所以,所以，所以，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】A：不妨取，滿足，但，故錯誤；B：因為，由，故可得，即，故正確；C：因為，不等式兩邊同除以不為零的常數(shù)，即可得，故正確；D：不妨取，滿足，但，故錯誤.綜上所述，正確的選項是：BC.10.甲乙兩臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床的正品率是0.8，乙機床的正品率為0.9，分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，則（）A.兩件都是次品的概率為0.02B.事件“至多有一件正品”與事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率為0.26D.事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件【答案】ACD【解析】對于A，若取出的兩件都是次品，其概率，故A項正確；對于B，事件“至多有一件正品”包含有兩件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有兩件正品、一件正品和一件次品，所以兩個事件不是互斥事件，故B項錯誤；對于C，恰有一件正品，其概率，故C項正確；對于D，“至少有一件正品”包含有兩件正品、一件正品和一件次品，所以事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件，故D項正確；故選：ACD.11.如圖，點M是正方體中的線段上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點M，使平面B.點M存在無數(shù)個位置滿足C.若正方體的棱長為1，三棱錐的體積最大值D.存在點M，使異面直線與AB所成的角是【答案】ABC【解析】連接，取與的交點為，連接，它們的交點為，連接.由正方體可得故四邊形為平行四邊形，故，.由正方形為正方形可得為的中點，同理為的中點，故所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，故平面，故A正確.由正方體可得平面，而平面，故，由正方形可得，而，故平面，無論在何處，總有平面，故，故B成立.當(dāng)變化時，到平面距離為定值，當(dāng)與重合時，三棱錐的體積最大，此時，故C正確.設(shè)正方體的棱長為1，因為，故異面直線與AB所成的角即為或其補角，在直角三角形中，，故，故不存在點M，使異面直線與AB所成的角是.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.圓錐和圓柱的底面半徑、高都是R，則圓錐的表面積和圓柱的表面積之比為_______．【答案】【解析】由圖得：圓錐的表面積是由底面和側(cè)面構(gòu)成，則，圓柱的表面積是由上下底面和側(cè)面構(gòu)成，則,所以圓錐的表面積和圓柱的表面積之比:.13.若實數(shù)滿足，則的最小值為______；的最小值為________．【答案】【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最小值為；，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為.14.函數(shù)在[1，3]上有且只有一個零點，則a的取值范圍是_______.【答案】【解析】當(dāng)時，對稱軸，原函數(shù)在[1，3]上有且只有一個零點，則，得；當(dāng)時，由于，要使原函數(shù)在[1，3]上有且只有一個零點，則得；當(dāng)時，在[1，3]上沒有零點.綜上所述：a的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是的中點，（1）求證：：（2）求點G到平面EFC的距離.（1）證明：建立以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸的空間直角坐標系如下所示：則，，則，故.（2）解：因為，設(shè)平面CEF的法向量為，則有故，即，令，則，即，又，所以點G到平面CEF的距離.17.心理學(xué)研究表明，學(xué)生在課堂上各時段的接受能力不同上課開始時，學(xué)生的興趣高昂，接受能力漸強，隨后有一段不太長的時間，學(xué)生的接受能力保持較理想的狀態(tài)；漸漸地學(xué)生的注意力開始分散，接受能力漸弱并趨于穩(wěn)定設(shè)上課開始分鐘時，學(xué)生的接受能力為（值越大，表示接受能