課時8空間向量的概念與運(yùn)算一、課標(biāo)要求1．理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用.2．運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性與差異；3．運(yùn)用向量方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具．二、知識梳理1．三個基本定理（1）共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得．（2）共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在，使得．（3）空間向量基本定理如果三個向量e1，e2，e3，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得．2．直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線，那么稱此向量為直線的方向向量．（2）平面的法向量：直線⊥平面α，取直線a，則向量a叫做平面的法向量．3．空間中平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)兩直線l、m的方向向量分別為a，b，兩平面α，β的法向量分別為u，v，則平行線線平行l(wèi)∥m?線面平行l(wèi)∥α?=0面面平行α∥β?垂直線線垂直l⊥m?線面垂直l⊥α?面面垂直α⊥β??三、基礎(chǔ)回顧1．判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）(1)對于非零向量b，若a·b＝b·c，則a＝c.()(2)在空間直角坐標(biāo)系中，在yOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0，b，c)．()(3)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反．()(4)任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底．()2．如圖，已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，且，，設(shè)a，=b，=c，則用為基底表示為（

）A． B．C． D．3．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，且A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定4．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2，1)與平面α平行，則z＝________．四、考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一空間向量的運(yùn)算考向1線性運(yùn)算及共面定理例1（1）(2024·江西南昌市高三月考)半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個有八個面的半正多面體，如圖，P，A，B，C，D為該半正多面體的頂點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up9(→))＝a，eq\o(PB,\s\up9(→))＝b，eq\o(PC,\s\up9(→))＝c，則eq\o(PD,\s\up9(→))＝()A．－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)cB．eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)cC．a(chǎn)－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cD．eq\f(1,2)a＋b－eq\f(1,2)c（2）(多選題)下列說法正確的有()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDC．A，B，C三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件規(guī)律方法：對點(diǎn)訓(xùn)練（1）(2024·江蘇淮安市模擬)如圖，在正四面體ABCD中，F(xiàn)是棱AC的中點(diǎn)，E是線段DF的中點(diǎn)，若eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(BE,\s\up6(→))=()A.eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,4)c B.eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,4)a＋b＋eq\f(1,4)c D.eq\f(1,2)a－b＋c（2）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．①試判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；②試判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．考向2數(shù)量積及其應(yīng)用例2如圖所示，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．求：(1)AC′的長；(2)與的夾角的余弦值．規(guī)律方法：對點(diǎn)訓(xùn)練如圖，正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，試采用向量法求：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))的模；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))的夾角.考點(diǎn)二利用空間向量證明平行、垂直例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為棱PC的中點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F．求證：PA∥平面EDB；PB⊥平面EFD．規(guī)律方法：對點(diǎn)訓(xùn)練如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為棱CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn).求證：(1)平面A1B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.考點(diǎn)三坐標(biāo)法解決幾何圖形中的探索性問題例4如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝AD＝1，E為棱CD的中點(diǎn)．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，請說明理由．【對點(diǎn)訓(xùn)練】（2024·遼寧大連市統(tǒng)考）如圖，已知四棱錐P－A