2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫——方差分析在統(tǒng)計推斷中的應(yīng)用試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題（本大題共20小題，每小題1分，共20分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.方差分析的基本原理是（）。A.比較不同總體的均值是否存在顯著差異B.檢驗樣本數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布C.分析變量之間的線性關(guān)系D.評估數(shù)據(jù)的離散程度2.在單因素方差分析中，若F統(tǒng)計量的觀測值大于臨界值，通常意味著（）。A.各組數(shù)據(jù)之間存在顯著差異B.各組數(shù)據(jù)之間不存在顯著差異C.數(shù)據(jù)存在異常值D.數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布3.方差分析中，SS總（總平方和）可以分解為哪些部分？（）A.SS組間和SS組內(nèi)B.SS誤差和SS回歸C.SS處理和SS誤差D.SS總和處理4.如果在方差分析中，P值小于顯著性水平α，那么應(yīng)該（）。A.增加樣本量B.拒絕原假設(shè)C.接受原假設(shè)D.增加顯著性水平5.多因素方差分析中，主效應(yīng)指的是（）。A.各因素單獨對因變量的影響B(tài).因素之間的交互作用C.隨機誤差的影響D.數(shù)據(jù)的離散程度6.在方差分析中，如果發(fā)現(xiàn)某個因素的主效應(yīng)顯著，那么下一步應(yīng)該（）。A.增加該因素的樣本量B.檢驗該因素的交互作用C.忽略該因素D.增加顯著性水平7.方差分析的基本假設(shè)包括哪些？（）A.正態(tài)性、方差齊性、獨立性B.線性關(guān)系、正態(tài)分布、方差齊性C.獨立性、正態(tài)分布、線性關(guān)系D.方差齊性、正態(tài)分布、線性關(guān)系8.如果在方差分析中，某個因素的P值大于顯著性水平α，那么應(yīng)該（）。A.增加該因素的樣本量B.拒絕原假設(shè)C.接受原假設(shè)D.增加顯著性水平9.在多因素方差分析中，交互作用的檢驗是為了（）。A.確定各因素的主效應(yīng)B.確定因素之間的相互作用C.評估數(shù)據(jù)的離散程度D.檢驗樣本數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布10.方差分析中，MS組間（組間均方）的計算公式是（）。A.SS組間/df組間B.SS組內(nèi)/df組內(nèi)C.SS總/df總D.SS誤差/df誤差11.如果在方差分析中，某個因素的P值小于顯著性水平α，那么通常意味著（）。A.該因素對因變量沒有顯著影響B(tài).該因素對因變量有顯著影響C.數(shù)據(jù)存在異常值D.數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布12.在單因素方差分析中，如果各組樣本量不等，應(yīng)該使用（）。A.Bartlett檢驗B.Levene檢驗C.Fisher檢驗D.Kolmogorov-Smirnov檢驗13.方差分析中，MS組內(nèi)（組內(nèi)均方）的計算公式是（）。A.SS組間/df組間B.SS組內(nèi)/df組內(nèi)C.SS總/df總D.SS誤差/df誤差14.如果在方差分析中，發(fā)現(xiàn)某個因素的交互作用顯著，那么應(yīng)該（）。A.增加該因素的樣本量B.檢驗該因素的單獨效應(yīng)C.忽略該因素D.增加顯著性水平15.方差分析的基本步驟包括哪些？（）A.提出假設(shè)、計算統(tǒng)計量、做出決策B.收集數(shù)據(jù)、提出假設(shè)、計算統(tǒng)計量C.收集數(shù)據(jù)、計算統(tǒng)計量、做出決策D.提出假設(shè)、收集數(shù)據(jù)、做出決策16.在多因素方差分析中，如果某個因素的P值小于顯著性水平α，那么通常意味著（）。A.該因素對因變量沒有顯著影響B(tài).該因素對因變量有顯著影響C.數(shù)據(jù)存在異常值D.數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布17.方差分析中，SS總（總平方和）的計算公式是（）。A.SS組間+SS組內(nèi)B.SS處理+SS誤差C.SS總=SS組間+SS組內(nèi)D.SS總=SS處理+SS誤差18.如果在方差分析中，某個因素的P值大于顯著性水平α，那么通常意味著（）。A.該因素對因變量沒有顯著影響B(tài).該因素對因變量有顯著影響C.數(shù)據(jù)存在異常值D.數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布19.在單因素方差分析中，如果各組樣本量相等，應(yīng)該使用（）。A.Bartlett檢驗B.Levene檢驗C.Fisher檢驗D.TukeyHSD檢驗20.方差分析中，df組間（組間自由度）的計算公式是（）。A.k-1B.n-kC.n-1D.k二、多項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的五個選項中，有多項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。若選項有錯選、漏選或未選，則該題不得分。）1.方差分析的基本假設(shè)包括哪些？（）A.正態(tài)性B.方差齊性C.獨立性D.線性關(guān)系E.正態(tài)分布2.在多因素方差分析中，交互作用的檢驗是為了（）。A.確定各因素的主效應(yīng)B.確定因素之間的相互作用C.評估數(shù)據(jù)的離散程度D.檢驗樣本數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布E.評估各因素的單獨效應(yīng)3.方差分析中，SS總（總平方和）可以分解為哪些部分？（）A.SS組間B.SS組內(nèi)C.SS處理D.SS誤差E.SS回歸4.如果在方差分析中，某個因素的P值小于顯著性水平α，那么通常意味著（）。A.該因素對因變量沒有顯著影響B(tài).該因素對因變量有顯著影響C.數(shù)據(jù)存在異常值D.數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布E.該因素的主效應(yīng)顯著5.在單因素方差分析中，如果各組樣本量不等，應(yīng)該使用（）。A.Bartlett檢驗B.Levene檢驗C.Fisher檢驗D.Kolmogorov-Smirnov檢驗E.TukeyHSD檢驗6.方差分析的基本步驟包括哪些？（）A.提出假設(shè)B.計算統(tǒng)計量C.收集數(shù)據(jù)D.做出決策E.評估數(shù)據(jù)7.在多因素方差分析中，如果某個因素的P值小于顯著性水平α，那么通常意味著（）。A.該因素對因變量沒有顯著影響B(tài).該因素對因變量有顯著影響C.數(shù)據(jù)存在異常值D.數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布E.該因素的主效應(yīng)顯著8.方差分析中，MS組間（組間均方）的計算公式是（）。A.SS組間/df組間B.SS組內(nèi)/df組內(nèi)C.SS總/df總D.SS誤差/df誤差E.SS處理/df處理9.如果在方差分析中，某個因素的P值大于顯著性水平α，那么通常意味著（）。A.該因素對因變量沒有顯著影響B(tài).該因素對因變量有顯著影響C.數(shù)據(jù)存在異常值D.數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布E.該因素的交互作用顯著10.在單因素方差分析中，如果各組樣本量相等，應(yīng)該使用（）。A.Bartlett檢驗B.Levene檢驗C.Fisher檢驗D.TukeyHSD檢驗E.ANOVA檢驗三、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案寫在答題紙上。）1.簡述方差分析的基本原理和適用條件。在咱們講方差分析的時候，我經(jīng)常跟學(xué)生說，這玩意兒其實挺有意思的。你想想看，我們有時候想知道不同組別之間，比如不同教學(xué)方法、不同藥品，對結(jié)果有沒有顯著影響。直接比較均值行不行？有時候行，有時候不行，特別是組別比較多的時候，比較就太麻煩了，還容易犯錯。方差分析就是來解決這個問題的。它不是直接比較各組均值，而是看各組之間的差異和組內(nèi)自身的差異，通過比較它們的“比例”來下結(jié)論。這就像咱們看班級成績，如果兩個班整體上成績波動差不多，但一個班高分多低分少，另一個班分?jǐn)?shù)比較均勻，那咱們是不是就能判斷教學(xué)方法有差別呢？方差分析就是基于這個思路。它有三個基本假設(shè)：數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布、各組方差相等（叫方差齊性）、樣本之間相互獨立。這三個假設(shè)要是不能滿足，結(jié)果就可能有偏差，這時候咱們就得小心使用了，可能需要用些修正方法。2.解釋什么是主效應(yīng)和交互作用，并說明在多因素方差分析中的重要性。主效應(yīng)，說白了，就是單獨看某一個因素對結(jié)果的影響。比如，咱們研究兩種肥料（因素A）和兩種澆水方式（因素B）對作物產(chǎn)量的影響，主效應(yīng)就是單獨看肥料種類對產(chǎn)量的影響，不管怎么澆水；或者是單獨看澆水方式對產(chǎn)量的影響，不管用什么肥料。這就像咱們分別看A對結(jié)果的影響，再單獨看B對結(jié)果的影響。但現(xiàn)實世界往往沒那么簡單，因素之間可能還會互相影響。這就像肥料和澆水方式可能一起作用，產(chǎn)生的效果不是單獨效果之和，這就是交互作用了。如果肥料A在澆水方式1下好，在方式2下不好，而肥料B在方式1下不好，在方式2下好，那這就是交互作用。交互作用的重要性在于，它揭示了因素之間聯(lián)合起來產(chǎn)生的新效應(yīng)。有時候，即使單個因素看起來影響不顯著，但它們的交互作用可能很顯著，這時候咱們就得關(guān)注這個交互作用，不能只看主效應(yīng)。所以在多因素分析里，檢驗交互作用非常有必要，它能幫我們更全面地理解數(shù)據(jù)背后的規(guī)律。3.當(dāng)方差分析的假設(shè)不滿足時，可以采用哪些方法進(jìn)行處理？咱們在實際用方差分析的時候，經(jīng)常會遇到假設(shè)不滿足的情況，這確實挺讓人頭疼的。如果數(shù)據(jù)不是正態(tài)分布，輕點說，結(jié)果可能不太準(zhǔn)；重點說，可能完全錯。這時候，第一個思路就是數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。對數(shù)轉(zhuǎn)換、平方根轉(zhuǎn)換、倒數(shù)轉(zhuǎn)換等等，都是常用的方法。目的就是把偏態(tài)的數(shù)據(jù)變得接近正態(tài)分布。你想想，把長長的尾巴砍掉一點，數(shù)據(jù)就更對稱了，正態(tài)分布就更像了。轉(zhuǎn)換之后，再跑一遍方差分析，往往效果會好很多。第二個方法，如果方差齊性不滿足，也就是各組數(shù)據(jù)的波動大小差異太大，那咱們就不能直接用標(biāo)準(zhǔn)的方差分析了。這時候可以用一些不依賴方差齊性的方法，比如Welch'sANOVA，或者更常用的，就是非參數(shù)檢驗，比如Kruskal-Wallis檢驗。這兩個方法都不假設(shè)方差相等，比較安全。第三個方法，如果樣本不獨立，比如有重復(fù)測量，或者數(shù)據(jù)有聚類結(jié)構(gòu)，那標(biāo)準(zhǔn)的方差分析就不適用了。這時候就得用重復(fù)測量方差分析或者混合效應(yīng)模型等方法?？傊龅郊僭O(shè)不滿足的情況，別慌，咱們有備選方案。數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換、調(diào)整后的ANOVA方法、或者非參數(shù)檢驗、特殊設(shè)計的方差分析模型，都是咱們的工具箱里的工具，關(guān)鍵是要根據(jù)具體情況選對工具。4.簡述單因素方差分析和雙因素方差分析的主要區(qū)別。單因素和雙因素方差分析，主要區(qū)別就在“因素”的數(shù)量上。單因素，顧名思義，就是只研究一個因素的影響。比如，咱們想知道三種不同的教學(xué)方法（A、B、C）對學(xué)生的考試成績有沒有顯著影響。這里，我們只有一個因素——教學(xué)方法，有三個水平（A、B、C）。咱們比較的是這三組學(xué)生的平均成績，看看它們之間有沒有顯著差異。核心是看這個單一因素的不同水平是否導(dǎo)致了結(jié)果的顯著不同。而雙因素方差分析，就是同時研究兩個因素的影響。比如，咱們不僅想知道教學(xué)方法（因素A）的影響，還想知道學(xué)生的學(xué)習(xí)時間（因素B）的影響，并且還要看看教學(xué)方法和學(xué)習(xí)時間之間會不會有“配合”的效果，也就是交互作用。這時候，我們就有兩個因素了。比較起來，雙因素分析更復(fù)雜一點，因為它不僅要分析每個因素的單獨影響（主效應(yīng)），還要分析這兩個因素結(jié)合起來會不會有額外的效果（交互作用）。如果交互作用顯著，那意味著一個因素的效果會隨著另一個因素水平的變化而變化，這比沒有交互作用要更復(fù)雜，也更難解釋。所以，單因素是“一條線”上的比較，雙因素是“兩條線”上的比較，不僅要看每條線自己怎么走，還要看兩條線交叉的地方是不是有特殊之處。5.在實際應(yīng)用中，如何解釋方差分析的檢驗結(jié)果？請結(jié)合一個具體例子說明。解釋方差分析的檢驗結(jié)果，我覺得關(guān)鍵在于把統(tǒng)計結(jié)果和實際意義結(jié)合起來。咱們拿到結(jié)果，首先看F統(tǒng)計量和對應(yīng)的P值。如果P值小于咱們設(shè)定的顯著性水平，比如0.05，那咱們就拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少有一個組的均值和其他組不一樣。但光說有差異還不夠，咱們還得看哪些組之間有差異，差異有多大。這就需要看多重比較的結(jié)果，比如TukeyHSD檢驗、Dunnett檢驗或者Bonferroni校正等，這些方法能幫我們找出哪些組之間的均值差異是統(tǒng)計顯著的。同時，咱們還得看看效應(yīng)量，比如PartialEtaSquared（η2），這個能告訴我們差異的大小，也就是這個因素解釋了結(jié)果多少變異。效應(yīng)量大，說明影響明顯；效應(yīng)量小，說明影響不明顯，即使統(tǒng)計上顯著，實際意義也可能不大。舉個例子吧，假設(shè)咱們比較了三種不同的廣告策略（A、B、C）對產(chǎn)品銷量的影響。方差分析結(jié)果顯示，廣告策略對銷量有顯著影響（P<0.05），η2=0.15。多重比較發(fā)現(xiàn)，策略A和策略B之間沒有顯著差異，但策略A和策略C之間有顯著差異，且策略C比策略A和B都好（P<0.05）。效應(yīng)量0.15說明廣告策略解釋了15%的銷量變異。那么咱們怎么解釋呢？就是說，這三種廣告策略確實對銷量有不同影響，策略C效果最好，策略A和B效果相當(dāng)?shù)疾蝗鏑。這個結(jié)果對咱們有什么啟示呢？就是以后做廣告，應(yīng)該優(yōu)先考慮策略C。這就是把統(tǒng)計結(jié)果（顯著、哪個組最好）和實際意義（策略C最有效，可以推廣使用）結(jié)合起來解釋的過程。不能只看P值，也不能只看效應(yīng)量，得綜合起來看。四、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請將計算過程和答案寫在答題紙上。）1.某研究人員想了解三種不同的訓(xùn)練方法（A、B、C）對運動員成績的影響。隨機抽取30名運動員，平均分成3組，分別采用不同的訓(xùn)練方法，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后，測得他們的成績?nèi)缦卤硭?。假設(shè)數(shù)據(jù)滿足方差分析的基本假設(shè)，請進(jìn)行方差分析，檢驗三種訓(xùn)練方法對運動員成績是否有顯著影響（α=0.05）。方法A：85,88,82,87,90方法B：78,80,82,79,81方法C：92,90,88,95,93解答：首先，咱們得計算總均值、各組均值、總平方和SS總、組間平方和SS組間、組內(nèi)平方和SS組內(nèi)?？偩担℅randMean,GM）=(85+88+82+87+90+78+80+82+79+81+92+90+88+95+93)/15=1230/15=82各組均值：方法A均值=(85+88+82+87+90)/5=432/5=86.4方法B均值=(78+80+82+79+81)/5=400/5=80方法C均值=(92+90+88+95+93)/5=458/5=91.6總平方和SS總=Σ(xi-GM)2=(85-82)2+(88-82)2+...+(93-82)2=9+36+0+25+64+16+4+0+9+1+100+64+0+169+121=632組間平方和SS組間=5[(86.4-82)2+(80-82)2+(91.6-82)2]=5[19.36+4+90.24]=5*113.6=568組內(nèi)平方和SS組內(nèi)=ΣΣ(xi-組內(nèi)均值)2方法A:(85-86.4)2+(88-86.4)2+(82-86.4)2+(87-86.4)2+(90-86.4)2=(-1.4)2+1.62+(-4.4)2+0.62+3.62=1.96+2.56+19.36+0.36+12.96=37.2方法B:(78-80)2+(80-80)2+(82-80)2+(79-80)2+(81-80)2=(-2)2+02+22+(-1)2+12=4+0+4+1+1=10方法C:(92-91.6)2+(90-91.6)2+(88-91.6)2+(95-91.6)2+(93-91.6)2=0.42+(-1.6)2+(-3.6)2+3.42+1.42=0.16+2.56+12.96+11.56+1.96=29.2SS組內(nèi)=37.2+10+29.2=76.4檢驗假設(shè)：H?：μ?=μ?=μ?；H?：至少有兩個均值不等計算F值：MS組間=SS組間/df組間=568/2=284MS組內(nèi)=SS組內(nèi)/df組內(nèi)=76.4/12=6.3667F=MS組間/MS組內(nèi)=284/6.3667≈44.745查F分布表，df?=2,df?=12,α=0.05，臨界值F?.05(2,12)≈3.885因為44.745>3.885，所以拒絕H?結(jié)論：三種訓(xùn)練方法對運動員成績有顯著影響（P<0.05）。2.某研究人員想了解兩種不同的教學(xué)方法和兩種不同的學(xué)習(xí)資源對學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響。隨機抽取60名學(xué)生，平均分成4組，分別接受不同的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)資源組合，一段時間后，測得他們的成績?nèi)缦卤硭?。假設(shè)數(shù)據(jù)滿足方差分析的基本假設(shè)，請進(jìn)行雙因素方差分析，檢驗教學(xué)方法、學(xué)習(xí)資源以及它們的交互作用對學(xué)習(xí)成績是否有顯著影響（α=0.05）。教學(xué)方法A：學(xué)習(xí)資源188,90,92,85,87學(xué)習(xí)資源282,84,80,78,81教學(xué)方法B：學(xué)習(xí)資源190,92,95,88,93學(xué)習(xí)資源285,87,83,80,86解答：首先，咱們得計算總均值、各單元格均值、總平方和SS總、因素A平方和SSA、因素B平方和SSB、交互作用平方和SSAB、誤差平方和SSE?？偩担℅randMean,GM）=(所有數(shù)據(jù)之和)/60=(88+90+92+85+87+82+84+80+78+81+90+92+95+88+93+85+87+83+80+86)/60=5040/60=84各單元格均值：A1=88+90+92+85+87/5=442/5=88.4A2=82+84+80+78+81/5=405/5=81B1=90+92+95+88+93/5=458/5=91.6B2=85+87+83+80+86/5=421/5=84.2總平方和SS總=Σ(xi-GM)2=(88-84)2+(90-84)2+...+(86-84)2=16+36+32+1+9+4+16+16+4+1+36+36+121+4+81+1+9+1+16+4=522因素A平方和SSA=5[88.4-84]2+5[81-84]2+5[91.6-84]2+5[84.2-84]2=5[19.36+9+57.76+0.04]=5*86.16=430.8因素B平方和SSB=5[88.4-84]2+5[81-84]2+5[91.6-84]2+5[84.2-84]2=5[19.36+9+57.76+0.04]=5*86.16=430.8交互作用平方和SSAB=5[(88.4-88.4-84+84)2+(81-88.4-84+84)2+(91.6-88.4-84+84)2+(84.2-88.4-84+84)2]=5[(0)2+(-3.4)2+(3.4)2+(-0.2)2]=5[0+11.56+11.56+0.04]=5*23.16=115.8誤差平方和SSE=SS總-SSA-SSB-SSAB=522-430.8-430.8-115.8=522-977.4=-455.4(這里計算有誤，應(yīng)該是)SSE=ΣΣ(xi-Xij)2A1:(88-88.4)2+...+(87-88.4)2=(-0.4)2+...+(-1.4)2=0.16+...+1.96=11.2A2:(82-81)2+...+(81-81)2=12+...+02=5B1:(90-91.6)2+...+(93-91.6)2=(-1.6)2+...+(1.4)2=2.56+...+1.96=16B2:(85-84.2)2+...+(86-84.2)2=(0.8)2+...+(1.8)2=0.64+...+3.24=12.8SSE=11.2+5+16+12.8=45.0檢驗假設(shè)：H?A：μ?=μ?；H?A：μ?≠μ?H?B：μ?=μ?；H?B：μ?≠μ?H?AB：無交互作用；H?AB：有交互作用計算F值：MSA=SSA/dfA=430.8/1=430.8MSB=SSB/dfB=430.8/1=430.8MSAB=SSAB/dfAB=115.8/1=115.8MSE=SSE/dfE=45/48=0.9375F_A=MSA/MSE=430.8/0.9375≈459.52F_B=MSB/MSE=430.8/0.9375≈459.52F_AB=MSAB/MSE=115.8/0.9375≈123.52查F分布表，α=0.05：F?.05(1,48)≈4.06因為F_A≈459.52>4.06,F_B≈459.52>4.06,F_AB≈123.52>4.06所以拒絕H?A,H?B,H?AB結(jié)論：教學(xué)方法、學(xué)習(xí)資源以及它們的交互作用對學(xué)習(xí)成績都有顯著影響（P<0.05）。3.某研究人員想了解兩種不同的教學(xué)方法（A、B）對女生和男生學(xué)習(xí)成績的影響。隨機抽取100名學(xué)生，平均分成4組，分別接受不同的教學(xué)方法和性別組合，一段時間后，測得他們的成績?nèi)缦卤硭?。假設(shè)數(shù)據(jù)滿足方差分析的基本假設(shè)，請進(jìn)行雙因素方差分析，檢驗教學(xué)方法、性別以及它們的交互作用對學(xué)習(xí)成績是否有顯著影響（α=0.05）。女生：教學(xué)方法A85,87,89,86,88教學(xué)方法B82,84,80,83,81男生：教學(xué)方法A90,92,95,91,93教學(xué)方法B87,89,85,88,86解答：首先，咱們得計算總均值、各單元格均值、總平方和SS總、因素A平方和SSA、因素B平方和SSB、交互作用平方和SSAB、誤差平方和SSE?？偩担℅randMean,GM）=(所有數(shù)據(jù)之和)/100=(85+87+89+86+88+82+84+80+83+81+90+92+95+91+93+87+89+85+88+86)/100=8450/100=84.5各單元格均值：A1=85+87+89+86+88/5=435/5=87A2=82+84+80+83+81/5=410/5=82B1=90+92+95+91+93/5=461/5=92.2B2=87+89+85+88+86/5=435/5=87總平方和SS總=Σ(xi-GM)2=(85-84.5)2+(87-84.5)2+...+(86-84.5)2=0.25+6.25+...+2.25=510因素A平方和SSA=5[87-84.5]2+5[82-84.5]2+5[92.2-84.5]2+5[87-84.5]2=5[6.25+6.25+57.76+6.25]=5*76.01=380.05因素B平方和SSB=5[87-84.5]2+5[82-84.5]2+5[92.2-84.5]2+5[87-84.5]2=5[6.25+6.25+57.76+6.25]=5*76.01=380.05交互作用平方和SSAB=5[(87-87-84.5+84.5)2+(82-87-84.5+84.5)2+(92.2-87-84.5+84.5)2+(87-87-84.5+84.5)2]=5[(0)2+(-3)2+(3)2+(0)2]=5[0+9+9+0]=5*18=90誤差平方和SSE=SS總-SSA-SSB-SSAB=510-380.05-380.05-90=510-850.1=-340.1(這里計算有誤，應(yīng)該是)SSE=ΣΣ(xi-Xij)2A1:(85-87)2+...+(88-87)2=(-2)2+...+(1)2=4+...+1=18A2:(82-82)2+...+(81-82)2=02+...+(-1)2=0+...+1=5B1:(90-92.2)2+...+(93-92.2)2=(-2.2)2+...+(0.8)2=4.84+...+0.64=15.84B2:(87-87)2+...+(86-87)2=02+...+(-1)2=0+...+1=5SSE=18+5+15.84+5=43.84檢驗假設(shè)：H?A：μ?=μ?；H?A：μ?≠μ?H?B：μ?=μ?；H?B：μ?≠μ?H?AB：無交互作用；H?AB：有交互作用計算F值：MSA=SSA/dfA=380.05/1=380.05MSB=SSB/dfB=380.05/1=380.05MSAB=SSAB/dfAB=90/1=90MSE=SSE/dfE=43.84/48=0.9125F_A=MSA/MSE=380.05/0.9125≈417.92F_B=MSB/MSE=380.05/0.9125≈417.92F_AB=MSAB/MSE=90/0.9125≈98.21查F分布表，α=0.05：F?.05(1,48)≈4.06因為F_A≈417.92>4.06,F_B≈417.92>4.06,F_AB≈98.21>4.06所以拒絕H?A,H?B,H?AB結(jié)論：教學(xué)方法、性別以及它們的交互作用對學(xué)習(xí)成績都有顯著影響（P<0.05）。五、論述題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。請將答案寫在答題紙上。）1.論述方差分析在統(tǒng)計推斷中的重要性和應(yīng)用價值，并結(jié)合具體場景說明如何合理運用方差分析。方差分析，在我看來，統(tǒng)計推斷里頭，絕對是個大殺器，用好了，能解決好多好多問題。它為啥重要呢？主要是因為咱們經(jīng)常想知道不同組別、不同因素之間，對某個結(jié)果有沒有顯著影響，而且它不用一個個去比，直接看整體差異和內(nèi)部差異的“比例”，效率高還靠譜。應(yīng)用價值也特別大，你想啊，科研、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、教育、醫(yī)學(xué)，到處都有用武之地。比如，農(nóng)業(yè)上想比較不同種子、不同肥料的效果；教育上想看不同教學(xué)方法、不同學(xué)習(xí)資源的影響；工業(yè)上想分析不同工藝、不同原材料對產(chǎn)品質(zhì)量的影響；醫(yī)學(xué)上想比較不同藥物、不同治療方案的效果等等。這些都是方差分析大展身手的地方。那怎么合理運用方差分析呢？首先，得看咱們的數(shù)據(jù)符不符合假設(shè)。方差分析有三個基本假設(shè)：正態(tài)性、方差齊性、獨立性。這可不是瞎猜的，得實際檢驗一下。比如，用Shapiro-Wilk檢驗或Kolmogorov-Smirnov檢驗看正態(tài)性，用Levene檢驗看方差齊性。要是數(shù)據(jù)不滿足這些假設(shè)，那直接用標(biāo)準(zhǔn)的方差分析可能就錯了，得想辦法處理。比如，正態(tài)性不滿足，可以試試數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，對數(shù)轉(zhuǎn)換、平方根轉(zhuǎn)換什么的，有時候能救回來。方差齊性不滿足，可以用Welch'sANOVA或者直接上非參數(shù)檢驗，比如Kruskal-Wallis。獨立性不滿足，那可能就需要重復(fù)測量方差分析或者考慮聚類效應(yīng)了。所以，第一步，得把數(shù)據(jù)檢查得明明白白，看看是不是“方方正正”的，能用的才用。其次，得看是單因素還是多因素。如果就一個因素在比，那用單因素方差分析。如果同時有幾個因素在摻和，還想看看因素之間會不會有“勾兌”效應(yīng)（交互作用），那就得用多因素方差分析。比如，咱們想看不同肥料（因素A）和不同澆水方式（因素B）對作物產(chǎn)量的影響，光看A單獨行不行？光看B單獨行不行？還得看看A和B一起用，有沒有什么特別的“化學(xué)反應(yīng)”？這就是交互作用了。如果交互作用顯著，那解釋起來就復(fù)雜了，不能簡單地說A好B也好，或者A和B加起來就好。這時候就得重點關(guān)注交互作用，甚至可能要進(jìn)一步做簡單效應(yīng)分析。所以，設(shè)計實驗的時候，就要想清楚是單因素還是多因素，否則分析起來容易混亂。最后，得看怎么解釋結(jié)果。方差分析給出的是統(tǒng)計顯著性，但咱們還得看效應(yīng)量，比如PartialEtaSquared（η2），這個能告訴我們差異有多大，有意義嗎？有時候統(tǒng)計上顯著，但效應(yīng)量小得可憐，那可能就是“假顯著”，實際意義不大。還得看多重比較的結(jié)果，如果某個組顯著，到底是哪個組？不能只說“有顯著差異”，得具體到“A組比B組顯著”這種程度。解釋的時候，要結(jié)合實際情況，不能光說數(shù)字。比如，假設(shè)咱們發(fā)現(xiàn)不同教學(xué)方法對成績有顯著影響，還得說清楚是哪種教學(xué)方法效果最好，差多少，這在實際應(yīng)用中才有指導(dǎo)意義。所以，合理運用方差分析，不光是會用軟件跑一遍，還得懂假設(shè)，會處理異常，選對模型，最后把結(jié)果解釋得明明白白，真正為決策提供支持。這得是咱們統(tǒng)計老師經(jīng)常強調(diào)的，光會計算是不夠的，得理解，得會用，還得會用腦子去想。2.結(jié)合一個你熟悉的學(xué)科領(lǐng)域，詳細(xì)描述一個可以運用方差分析的研究問題，并設(shè)計一個簡單的研究方案，說明如何收集數(shù)據(jù)，以及如何進(jìn)行方差分析。我比較熟悉教育領(lǐng)域，所以我想描述一個關(guān)于不同教學(xué)方法對學(xué)生閱讀理解能力影響的研究問題，并設(shè)計一個簡單的研究方案。研究問題可以這樣設(shè)：探究三種不同的閱讀教學(xué)方法（方法A：傳統(tǒng)講授法；方法B：小組合作學(xué)習(xí)法；方法C：項目式學(xué)習(xí)法）對初中生閱讀理解能力的影響是否存在顯著差異。針對這個研究問題，我設(shè)計一個簡單的研究方案如下：首先，得選取研究對象。隨機抽取某地區(qū)三所初中，每所學(xué)校隨機抽取一個班級，保證班級在年級、學(xué)生之前的基礎(chǔ)水平上沒有顯著差異。這樣能減少其他因素對實驗結(jié)果的干擾。然后，從這三個班級里，再隨機抽取一部分學(xué)生，比如每個班級抽取30名學(xué)生，總共90名學(xué)生作為實驗對象。為了保證樣本的代表性，最好考慮學(xué)生的性別、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)等因素，如果可能的話，進(jìn)行分層抽樣。接下來，就是實驗設(shè)計。將這90名學(xué)生隨機分成三組，每組30人，分別接受一種教學(xué)方法。比如，第一組30人用傳統(tǒng)講授法（方法A），第二組30人用小組合作學(xué)習(xí)法（方法B），第三組30人用項目式學(xué)習(xí)法（方法C）。教學(xué)時間、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)進(jìn)度等方面，要盡量保持一致，確保只有教學(xué)方法這個變量在變化。教學(xué)周期可以設(shè)定為一個學(xué)期，比如16周。數(shù)據(jù)收集部分，分兩個階段。第一階段，在實驗開始前，對全體90名學(xué)生進(jìn)行一次閱讀理解能力的前測?？梢杂靡粋€標(biāo)準(zhǔn)的閱讀理解測試卷，測量他們的初始水平。這個很重要，能幫咱們看看實驗前后學(xué)生的變化是不是真的由教學(xué)方法引起的，而不是本身就會進(jìn)步。第二階段，在實驗結(jié)束后，對全體90名學(xué)生進(jìn)行一次閱讀理解能力的前測。這次測試和前測用同一張或者等值測試卷，測量他們在不同教學(xué)方法下的最終閱讀理解能力。數(shù)據(jù)分析部分，咱們就用方差分析。具體來說，可以采用單因素方差分析。把前測成績和后測成績分別作為一個變量，把教學(xué)方法作為分組變量。首先，對前測成績進(jìn)行單因素方差分析，看看三個組在實驗前的閱讀理解能力是否有顯著差異。如果沒有顯著差異，說明實驗對象是同質(zhì)的，可以進(jìn)行后續(xù)的實驗。如果有顯著差異，那可能說明實驗對象本身就有區(qū)別，需要考慮協(xié)方差分析，用前測成績作為協(xié)變量。然后，對后測成績進(jìn)行單因素方差分析，檢驗三種教學(xué)方法對學(xué)生閱讀理解能力的影響是否存在顯著差異。如果P值小于顯著性水平（比如0.05），就拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少有兩種教學(xué)方法的效果不一樣。如果P值大于0.05，就接受原假設(shè)，認(rèn)為三種教學(xué)方法的效果沒有顯著差異。最后，如果方差分析結(jié)果顯示有顯著差異，還得進(jìn)行多重比較，比如用TukeyHSD檢驗，來確定具體是哪兩個組之間存在顯著差異。比如，可能發(fā)現(xiàn)方法C比方法A和B效果都好，但方法A和B之間沒有顯著差異。這個結(jié)果就能給教育實踐提供指導(dǎo)，比如，項目式學(xué)習(xí)法可能更適合提高學(xué)生的閱讀理解能力。在整個研究過程中，還得注意數(shù)據(jù)的可靠性和有效性，比如測試卷的信度和效度，實驗過程的嚴(yán)謹(jǐn)性等等。這樣，咱們得出的結(jié)論才更有說服力。這個方案，我覺得是比較完整和合理的，能比較好地運用方差分析來回答咱們的研究問題。本次試卷答案如下一、單項選擇題1.A解析：方差分析的基本原理是通過比較不同組別之間的差異（組間差異）和組別內(nèi)部的差異（組內(nèi)差異）來判斷這些差異是否顯著，從而判斷不同總體的均值是否存在顯著差異。它不是直接比較各組均值，而是看各組之間的差異和組內(nèi)自身的差異，通過比較它們的“比例”來下結(jié)論。這就像咱們看班級成績，如果兩個班整體上成績波動差不多，但一個班高分多低分少，另一個班分?jǐn)?shù)比較均勻，那咱們是不是就能判斷教學(xué)方法有差別呢？方差分析就是基于這個思路。2.A解析：在單因素方差分析中，若F統(tǒng)計量的觀測值大于臨界值，通常意味著各組數(shù)據(jù)之間存在顯著差異。F統(tǒng)計量是組間均方與組內(nèi)均方的比值，用來衡量組間差異相對于組內(nèi)差異的大小。如果F值很大，說明組間差異相對于組內(nèi)差異來說非常顯著，因此可以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少有一個組的均值與其他組不同。3.A解析：在方差分析中，SS總（總平方和）可以分解為組間平方和（SS組間）和組內(nèi)平方和（SS組內(nèi)）。組間平方和反映了不同組別之間均值差異引起的變異，而組內(nèi)平方和反映了組內(nèi)個體差異引起的變異。這種分解有助于我們理解總變異的來源，并判斷不同組別之間是否存在顯著差異。4.B解析：如果在方差分析中，P值小于顯著性水平α，那么應(yīng)該拒絕原假設(shè)。原假設(shè)通常假設(shè)各組均值相等，P值表示在原假設(shè)成立的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。如果P值小于α，說明觀察到的結(jié)果非常罕見，有理由懷疑原假設(shè)，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少有一個組的均值與其他組不同。5.A解析：多因素方差分析中，主效應(yīng)指的是單獨看某一個因素對結(jié)果的影響。比如，咱們研究三種不同的訓(xùn)練方法（A、B、C）對運動員成績的影響。這里，我們只有一個因素——訓(xùn)練方法，有三個水平（A、B、C）。咱們比較的是這三組學(xué)生的平均成績，看看它們之間有沒有顯著差異。核心是看這個單一因素的不同水平是否導(dǎo)致了結(jié)果的顯著不同。6.B解析：在方差分析中，如果發(fā)現(xiàn)某個因素的主效應(yīng)顯著，那么下一步應(yīng)該檢驗該因素的交互作用。交互作用指的是不同因素之間的聯(lián)合效應(yīng)，可能掩蓋或增強主效應(yīng)。因此，即使主效應(yīng)顯著，也需要進(jìn)一步檢查交互作用，以全面了解因素之間的關(guān)系。7.A解析：方差分析的基本假設(shè)包括數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布、方差齊性、獨立性。正態(tài)性假設(shè)要求每個組的響應(yīng)變量服從正態(tài)分布；方差齊性假設(shè)要求所有組的方差相等；獨立性假設(shè)要求樣本之間相互獨立。這三個假設(shè)是方差分析有效性的基礎(chǔ)，如果假設(shè)不滿足，結(jié)果可能不準(zhǔn)確。8.C解析：如果在方差分析中，某個因素的P值大于顯著性水平α，那么通常意味著該因素對因變量沒有顯著影響。原假設(shè)通常假設(shè)該因素的效應(yīng)為零，P值表示在原假設(shè)成立的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。如果P值大于α，說明觀察到的結(jié)果并不罕見，沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，因此接受原假設(shè)，認(rèn)為該因素對因變量沒有顯著影響。9.B解析：在多因素方差分析中，交互作用的檢驗是為了確定因素之間的相互作用。交互作用指的是不同因素之間的聯(lián)合效應(yīng)，可能掩蓋或增強主效應(yīng)。通過檢驗交互作用，可以更全面地了解因素之間的關(guān)系，避免錯誤地解釋主效應(yīng)。10.A解析：方差分析中，MS組間（組間均方）的計算公式是SS組間/df組間。組間均方是組間平方和除以組間自由度，反映了不同組別之間均值差異引起的變異。通過計算組間均方，可以與組內(nèi)均方進(jìn)行比較，從而判斷組間差異是否顯著。11.B解析：如果在方差分析中，某個因素的P值小于顯著性水平α，那么通常意味著該因素對因變量有顯著影響。原假設(shè)通常假設(shè)該因素的效應(yīng)為零，P值表示在原假設(shè)成立的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。如果P值小于α，說明觀察到的結(jié)果非常罕見，有理由懷疑原假設(shè)，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素對因變量有顯著影響。12.B解析：在單因素方差分析中，如果各組樣本量不等，應(yīng)該使用Levene檢驗。Levene檢驗是一種用于檢驗不同組別方差齊性的方法，適用于樣本量不等的情況。如果樣本量相等，可以使用Bartlett檢驗。這兩種方法都是檢驗方差齊性的常用方法，可以幫助我們判斷是否滿足方差分析的基本假設(shè)。13.B解析：方差分析中，MS組內(nèi)（組內(nèi)均方）的計算公式是SS組內(nèi)/df組內(nèi)。組內(nèi)均方是組內(nèi)平方和除以組內(nèi)自由度，反映了組內(nèi)個體差異引起的變異。通過計算組內(nèi)均方，可以與組間均方進(jìn)行比較，從而判斷組內(nèi)差異是否顯著。14.B解析：如果在方差分析中，發(fā)現(xiàn)某個因素的交互作用顯著，那么應(yīng)該檢驗該因素的單獨效應(yīng)。交互作用顯著說明因素之間存在聯(lián)合效應(yīng)，可能掩蓋或增強主效應(yīng)。因此，即使交互作用顯著，也需要進(jìn)一步檢查主效應(yīng)，以全面了解因素之間的關(guān)系。15.A解析：方差分析的基本步驟包括提出假設(shè)、計算統(tǒng)計量、做出決策。首先，提出假設(shè)，即假設(shè)各組均值相等；然后，計算統(tǒng)計量，如F值和P值；最后，根據(jù)P值與顯著性水平的比較，做出決策，拒絕或接受原假設(shè)。16.B解析：在多因素方差分析中，如果某個因素的P值小于顯著性水平α，那么通常意味著該因素對因變量有顯著影響。原假設(shè)通常假設(shè)該因素的效應(yīng)為零，P值表示在原假設(shè)成立的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。如果P值小于α，說明觀察到的結(jié)果非常罕見，有理由懷疑原假設(shè)，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素對因變量有顯著影響。17.C解析：方差分析中，SS總（總平方和）的計算公式是SS總=SS組間+SS組內(nèi)。總平方和可以分解為組間平方和和組內(nèi)平方和，分別反映了不同來源的變異。通過分解總平方和，可以更清晰地理解變異的構(gòu)成，并判斷不同組別之間是否存在顯著差異。18.A解析：如果在方差分析中，某個因素的P值大于顯著性水平α，那么通常意味著該因素對因變量沒有顯著影響。原假設(shè)通常假設(shè)該因素的效應(yīng)為零，P值表示在原假設(shè)成立的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。如果P值大于α，說明觀察到的結(jié)果并不罕見，沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，因此接受原假設(shè)，認(rèn)為該因素對因變量沒有顯著影響。19.D解析：在單因素方差分析中，如果各組樣本量相等，應(yīng)該使用TukeyHSD檢驗。TukeyHSD檢驗是一種用于比較多組均值差異的方法，特別適用于樣本量相等的情況。通過TukeyHSD檢驗，可以確定哪些組之間的均值差異是統(tǒng)計顯著的。20.A解析：方差分析中，df組間（組間自由度）的計算公式是k-1。組間自由度反映了組間差異的來源，即組間均值的不確定性。通過計算組間自由度，可以與組內(nèi)自由度進(jìn)行比較，從而判斷組間差異是否顯著。二、多項選擇題1.A、C、E解析：方差分析的基本假設(shè)包括正態(tài)性、方差齊性、獨立性。正態(tài)性假設(shè)要求每個組的響應(yīng)變量服從正態(tài)分布；方差齊性假設(shè)要求所有組的方差相等；獨立性假設(shè)要求樣本之間相互獨立。這三個假設(shè)是方差分析有效性的基礎(chǔ)，如果假設(shè)不滿足，結(jié)果可能不準(zhǔn)確。2.A、B、C、D解析：多因素方差分析中，主效應(yīng)指的是各因素單獨對因變量的影響；交互作用指的是因素之間的聯(lián)合效應(yīng)，可能掩蓋或增強主效應(yīng)；評估數(shù)據(jù)的離散程度不是方差分析的主要目的；檢驗樣本數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布通常使用Shapiro-Wilk檢驗等。3.A、B、C、D解析：方差分析中，SS總（總平方和）可以分解為組間平方和（SS組間）、組內(nèi)平方和（SS組內(nèi)）、SS處理、SS誤差等。其中，SS組間反映了不同組別之間均值差異引起的變異；SS組內(nèi)反映了組內(nèi)個體差異引起的變異；SS處理通常指的是因素效應(yīng)引起的變異；SS誤差指的是隨機誤差引起的變異。4.A、B解析：如果在方差分析中，P值小于顯著性水平α，那么應(yīng)該拒絕原假設(shè)。原假設(shè)通常假設(shè)各組均值相等；P值表示在原假設(shè)成立的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。如果P值小于α，說明觀察到的結(jié)果非常罕見，有理由懷疑原假設(shè)，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少有一個組的均值與其他組不同。同時，還應(yīng)該結(jié)合效應(yīng)量來判斷差異的實際意義。5.A、B、C、D解析：在單因素方差分析中，如果各組樣本量不等，應(yīng)該使用Levene檢驗。Levene檢驗是一種用于檢驗不同組別方差齊性的方法，適用于樣本量不等的情況。如果樣本量相等，可以使用Bartlett檢驗。這兩種方法都是檢驗方差齊性的常用方法，可以幫助我們判斷是否滿足方差分析的基本假設(shè)。同時，還應(yīng)該考慮數(shù)據(jù)的正態(tài)性假設(shè)，如果數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性假設(shè)，可以嘗試數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，比如對數(shù)轉(zhuǎn)換、平方根轉(zhuǎn)換等，以改善數(shù)據(jù)的分布。三、簡答題1.方差分析的基本原理是通過對不同組別之間的差異（組間差異）和組別內(nèi)部的差異（組內(nèi)差異）進(jìn)行比較來判斷這些差異是否顯著，從而判斷不同總體的均值是否存在顯著差異。它不是直接比較各組均值，而是看各組之間的差異和組內(nèi)自身的差異，通過比較它們的“比例”來下結(jié)論。這就像咱們看班級成績，如果兩個班整體上成績波動差不多，但一個班高分多低分少，另一個班分?jǐn)?shù)比較均勻，那咱們是不是就能判斷教學(xué)方法有差別呢？方差分析就是基于這個思路。2.主效應(yīng)指的是單獨看某一個因素對結(jié)果的影響。比如，咱們研究三種不同的訓(xùn)練方法（A、B、C）對運動員成績的影響。這里，我們只有一個因素——訓(xùn)練方法，有三個水平（A、B、C）。咱們比較的是這三組學(xué)生的平均成績，看看它們之間有沒有顯著差異。核心是看這個單一因素的不同水平是否導(dǎo)致了結(jié)果的顯著不同。3.如果數(shù)據(jù)不滿足方差分析的基本假設(shè)，比如正態(tài)性不滿足，可以試試數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，對數(shù)轉(zhuǎn)換、平方根轉(zhuǎn)換什么的，有時候能救回來。方差齊性不滿足，可以用Welch'sANOVA或者直接上非參數(shù)檢驗，比如Kruskal-Wallis檢驗。獨立性不滿足，那可能就需要重復(fù)測量方差分析或者考慮聚類效應(yīng)了。所以，第一步，得把數(shù)據(jù)檢查得明明白白，看看是不是“方方正正”的，能用的才用。4.雙因素方差分析，不僅要看每條線自己怎么走，還要看兩條線交叉的地方是不是有特殊之處。比如，假設(shè)咱們發(fā)現(xiàn)不同肥料（因素A）和不同澆水方式（因素B）對作物產(chǎn)量的影響，光看A單獨行不行？光看B單獨行不行？還得看看A和B一起用，有沒有什么特別的“化學(xué)反應(yīng)”？這就是交互作用了。如果交互作用顯著，那意味著一個因素的效果會隨著另一個因素水平的變化而變化，這比沒有交互作用要更復(fù)雜，也更難解釋。所以，雙因素分析更復(fù)雜一點，因為它不僅要看每條線自己怎么走，還要看兩條線交叉的地方是不是有特殊之處。這比單因素分析要更全面地理解數(shù)據(jù)背后的規(guī)律。5.方差分析，在我看來，統(tǒng)計推斷里頭，絕對是個大殺器，用好了，能解決好多好多問題。它為啥重要呢？主要是因為咱們經(jīng)常想知道不同組別、不同因素之間，對某個結(jié)果有沒有顯著影響，而且它不用一個個去比，直接看整體差異和內(nèi)部差異的“比例”，效率高還靠譜。應(yīng)用價值也特別大，你想啊，科研、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、教育、醫(yī)學(xué)，到處都有用武之地。比如，農(nóng)業(yè)上想比較不同種子、不同肥料的效果；教育上想看不同教學(xué)方法、不同學(xué)習(xí)資源的影響；工業(yè)上想分析不同工藝、不同原材料對產(chǎn)品質(zhì)量的影響；醫(yī)學(xué)上想比較不同藥物、不同治療方案的效果等等。這些都是方差分析大展身手的地方。四、計算題1.首先，咱們得計算總均值、各組均值、總平方和SS總、組間平方和SS組間、組內(nèi)平方和SS組內(nèi)?？偩担℅randMean,GM）=(所有數(shù)據(jù)之和)/30=(85+88+82+87+90+78+80+82+79+81+90+92+95+88+93+85+87+83+80+86)/30=2550/30=85。各組均值：方法A均值=(85+88+82+87+90)/5=432/5=86.4。方法B均值=(78+80+82+79+81)/5=400/5=80。方法C均值=(92+90+88+95+93)/5=458/5=91.6?？偲椒胶蚐S總=Σ(xi-GM)2。比如，(85-85)2+(88-85)2+...+(86-85)2=02+32+(-3)2+22+52=9+9+4+4+25=51。組間平方和SS組間=5[(86.4-85)2+(80-85)2+(91.6-85)2+(80-85)2]=5[1.96+25+43.56+25+43.56]=5*105.98=529.9。組內(nèi)平方和SS組內(nèi)=ΣΣ(xi-Xij)2。比如，方法A:(85-86.4)2+...+(90-86.4)2=(-1.4)2+...+(3.6)2=1.96+...+12.96=37.2。方法B:(78-80)2+...+(81-80)2=(-2)2+...+12=4+...+1=5。方法C:(92-91.6)2+...+(93-91.6)2=(-2.6)2+...+(1.4)2=6.76+...+1.96=9.72。SS組內(nèi)=37.2+5+9.72=51.92。檢驗假設(shè)：H?：μ?=μ?=μ?；H?：至少有兩個均值不等。計算F值：MS組間=SS組間/df組間=529.9/2=264.95。MS組內(nèi)=51.92/28=1.8571。F=MS組間/MS組內(nèi)=264.95/1.8571≈142.86。查F分布表，df?=2,df?=28,α=0.05，臨界值F?.05(2,28)≈3.34。因為142.86>3.34，所以拒絕H?。結(jié)論：三種訓(xùn)練方法對運動員成績有顯著影響（P<0.05）。2.首先，咱們得計算總均值、各單元格均值、總平方和SS總、因素A平方和SSA、因素B平方和SSB、交互作用平方和SSAB、誤差平方和SSE?？偩担℅randMean,GM）=(所有數(shù)據(jù)之和)/30=(85+88+82+87+90+78+80+82+79+81+90+92+95+88+93+85+87+83+80+86)/30=2550/30=85。各組均值：方法A均值=(85+88+82+87+90)/5=432/5=86.4。方法B均值=(78+80+82+79+81)/5=400/19.2=20。方法C均值=(92+90+88+95+93)/30=458/5=91.6。總平方和SS總=Σ(xi-GM)2。比如，(85-85)2+(88-85)2+...+(86-85)2=02+32+(-3)2+22+52=9+9+4+4+25=51。因素A平方和SSA=5[(86.4-85)2+(80-85)2+(91.6-85)2+(80-85)2]=5[1.96+25+43.56+25+43.56]=5*105.98=529.9。因素B平方和SSB=5[(86.4-85)2+(80-85)2+(91.6-85)2+(80-85)2]=5[1.96+25+43.56+25+43.56]=5*105.98=529.9。交互作用平方和SSAB=5[(86.4-86.4-85-85+85)2+(80-86.4-85-85+85)2+(91.6-86.4-85-85+85)2+(80-86.4-85-85+85)2]=5[(0)2+(-3.4)2+(3.4)2+(0.2)2]=5[0+11.56+11.56+0.04]=5*23.16=116.8。誤差平方和SSE=SS總-SSA-SSB-SSAB=51.92-529.9-529.9-116.8=-395.78(這里計算有誤，應(yīng)該是)SSE=ΣΣ(xi-Xij)2A1:(85-86.4)2+...+(90-86.4)2=(-1.4)2+...+(3.6)2=1.96+...+12.96=37.2A2:(78-80)2+...+(81-80)2=(-2)2+...+12=5B1:(90-91.6)2+...+(93-91.6)2=(-2.6)2+...+(1.4)2=6.76+...+1.96=9.72B2:(87-87)2+...+(86-87)2=02+...+(-1)2=5SSE=37.2+5+9.72+5=47.92。檢驗假設(shè)：H?：μ?=μ?=μ?；H?：至少有兩個均值不等。計算F值：MS組間=SSA/df組間=529.9/2=264.95。MS組內(nèi)=47.92/28=1.6871。F=MS組間/MS組內(nèi)=264.95/1.6871≈156.18。查F分布表，df?=2,df?=28,α=0.05，臨界值F?.05(2,28)≈3.34。因為156.18>3.34，所以拒絕H?。結(jié)論：三種訓(xùn)練方法對運動員成績有顯著影響（P<0.05）。3.首先，咱們得計算總均值、各單元格均值、總平方和SS總、因素A平方和SSA、因素B平方和SSB、交互作用平方和SSAB、誤差平方和SSE?？偩担℅randMean,GM）=(所有數(shù)據(jù)之和)/30=2550/30=85。各組均值：方法A均值=(85+88+82+87+90)/5=432/5=86.4。方法B均值=(78+80+82+79+81)/5=400/5=80。方法C均值=(92+90+88+95+93)/30=458/5=91.6。總平方和SS總=Σ(xi-GM)2。比如，(85-85)2+(88-85)2+...+(86-85)2=02+32+(-3)2+22+52=51。因素A平方和SSA=5[(86.4-85)2+(80-85)2+(91.6-85)2+(80-85)2]=5[1.96+25+43.56+25+43.56]=5*105.98=529.9。因素B平方和SSB=5[(86.4-85)2+(80-85)2+(91.6-85)2+(80-85)2]=5[1.96+25+43.56+25+43.56]=5*105.98=529.9。交互作用平方和SSAB=5[(86.4-86.4-85-85+85)2+(80-86.4-85-85+85)2+(91.6-86.4-85-85+85)2+(80-86.4-85-85+85)2]=5[(0)2+(-3.4)2+(3.4)2+(0.2)2]=5*23.16=116.8。誤差平方和SSE=SS總-SSA-SSB-SSAB=47.92-529.9-529.9-116.8=-395.78(這里計算有誤，應(yīng)該是)SSE=ΣΣ(xi-Xij)2A1:(85-86.4)2+...+(90-86.4)2=(-1.4)2+...+(3.6)2=1.96+...+12.96=37.2A2:(78-80)2+...+(81-80)2=(-2)2+...+12=5B1:(90-91.6)2+...+(93-91.6)2=(-2.6)2+...+(1.4)2=6.76+...+1.96=9.72B2:(87-87)2+...+(86-87)2=02+...+(-1)2=5SSE=37.2+5+9.72+5=47.92。檢驗假設(shè)：H?：μ?=μ?=μ?；H?：至少有兩個均值不等。計算F借助F分布表，df?=2,df?=28,α=0.05，臨界值F?.05(2,28)≈3.34。因為F≈156.18>3.34，所以拒絕H?。結(jié)論：三種訓(xùn)練方法對運動員成績有顯著影響（P<0.05）。4.首先，咱們得計算總均值、各單元格均值、總平方和SS總、因素A平方和SSA、因素B平方和SSB、交互作用平方和SSAB、誤差平方和SSE?？偩担℅randMean,GM）=(所有數(shù)據(jù)之和)/30=2550/30=85。各組均值：方法A均值=(85+88+82+87+90)/5=432/432/5=86.4。方法B均值=(78+80+82+79+81)/30=400/5=80。方法C均值=(92+90+88+95+93)/30=458/5=91.6?？偲椒胶蚐S總=Σ(xi-GM)2。比如，(85-85)2+(88-85)2+...+(86-85)2=02+32+(-3)2+22+52=51。因素A平方和SSA=5[(86.4-85)2+(80-85)2+(91.6-85)2+(80-85)2]=5[1.96+25+43.56+25+43.56]=5*105.98=529.9。因素B平方和SSB=5[(86.4-85)2+(80-85)2+(91.6-85)2+(80-85)2]=5[1.96+25+43.56+25+43.56]=5*105.98=529.9。交互作用平方和SSAB=5[(86.4-86.4-85-85+85)2+(80-86.4-85-85+85)2+(91.6-86.4-85-85+85)2+(80-86.4-85-85+85)2]=5[(0)2+(-3.4)2+(3.4)2+(0.2)2]=5*23.16=116.8。誤差平方和SSE=SS總-SSA-SSB-SSAB=47.92-529.9-529.9-116.8=-395.78(這里計算有誤，應(yīng)該是)SSE=ΣΣ(xi-Xij)2A1:(85-86.4)2+...+(90-86.4)2=(-1.4)2+...+(3.6)2=1.96+...+12.96=37.2A2:(78-80)2+...+(81-80)2=(-2)2+...+12=5B1:(90-91.6)2+...+(93-91.6)2=(-2.6)2+...+(1.4)2=6.76+...+1.96=9.72B2:(87-87)2+...+(86-87)2=02+...+(-1)2=5SSE=37.2+5+9.72+5=47.92。檢驗假設(shè)：H?：μ?=μ?=μ?；H?：至少有兩個均值不等。計算F借助F分布表，df?=2,df?=28,α=0.05，臨界值F?.05(2,28)≈3.34。因為F≈156.18>3.34，所以拒絕H?。結(jié)論：三種訓(xùn)練方法對運動員成績有顯著影響（P<0.05）。5.首先，咱們得計算總均值、各單元格均值、總平方和SS總、因素A平方和SSA、因素B平方和SSB、交互作用平方和SSAB、誤差平方和SSE。總均值（GrandMean,GM）=(所有數(shù)據(jù)之和)/30=2550/30=85。各組均值：方法A均值=(85+88+82+87+90)/5=432/5=86.4。方