專題25：二面角的常見求法<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>立體幾何中的二面角是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二面角的大小更是歷年高考的熱點(diǎn)問題，每年各省、市的高考試題中幾乎都會(huì)出現(xiàn)此類題型。其求解的策略主要有兩類方法：其一是找出二面角的平面角進(jìn)行求解；其二是間接法：射影法，空間向量法等.在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：定義法題型一：定義法由二面角的定義，設(shè)法從棱上某一點(diǎn)O出發(fā)在兩個(gè)半平面內(nèi)都找到垂直于棱的射線OA和OB，則∠AOB就是二面角的平面角.例1如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A【思路點(diǎn)撥】由題意得到△DAB?△DBC,過點(diǎn)A作AH⊥DB，則CH⊥DB，由二面角的定義得∠AHC為所求二面角的平面角，再計(jì)算二面角的余弦值從而得到所求的值練1如圖，三棱錐A?BCD中，△ABC為等邊三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．當(dāng)AD與平面BCD所成角為45°時(shí)，求二面角C?AD?B的余弦值．

【思路點(diǎn)撥】由AD與平面BCD所成角確定正三角形ABC邊長與CD長的關(guān)系，再作二面角C?AD?B的平面角，借助余弦定理計(jì)算即可.題型二：題型二：垂面法垂面法：作一個(gè)與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角。用垂面法尋找面的垂線，切入點(diǎn)就是尋找面的垂面，然后由面面垂直得到線面垂直，垂面法是我們解決有關(guān)求點(diǎn)到平面的距離、直線和平面所成的角與二面角的重要方法之一。例2如果二面角α?l?β的平面角是銳角，空間一點(diǎn)P到平面α、β和棱l的距離分別為22【思路點(diǎn)撥】本題可借助已知條件構(gòu)造出經(jīng)過PA,PB的平面，再證明該平面與二面角的面的交線所成角即為二面角的平面角,分點(diǎn)P在二面角α?練2.已知PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，且α∩β=l，若AB=2，∠APB=60°，則P到l上任一點(diǎn)距離最小值是

．【思路點(diǎn)撥】過A作AC⊥l，交l于點(diǎn)C，連結(jié)BC、PC，得：BC⊥l，PC⊥l，由∠PAC=∠PBC=90°，P、B、C、A四點(diǎn)共圓，可得∠ACB=120°，由正弦定理能求出P到棱l的最小距離PC．題型三：射影法題型三：射影法在沒有給出棱的二面角問題中，可以根據(jù)題設(shè)條件先分別求出該二面角的一個(gè)面的面積及其射影的面積，再借助該面的面積與其射影的面積之間的關(guān)系S'=Scos例3棱長為a正方體ABCD?A1B1C1D1中，【思路點(diǎn)撥】利用圖形在底面的射影圖形的面積之間的關(guān)系（即面積射影定理）進(jìn)行分析求解.練3正方體ABCD?A1B1C1D1中，【思路點(diǎn)撥】此題屬無棱二面角問題，圖中沒有二面角的棱，我們也可以去找到棱去解決，但這里通過射影而直接求角更方便.題型四：三垂線法題型四：三垂線法在二面角α?l?β中，若A∈α,B∈β且AB⊥β，則過點(diǎn)B作BO⊥l,由三垂線定理可證AO⊥l，即∠AOB就是二面角的平面角.例4如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD的體積.【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)E找出面BCD的垂線，就可以利用三垂線法找出二面角的平面角.練4如圖,直棱柱ABC?A1B1CAA1=AC【思路點(diǎn)撥】可以證明DE⊥平面A1DC，因而過D作DF⊥A1C那么∠DFE為二面角D題型五：補(bǔ)形法題型五：補(bǔ)形法 當(dāng)一個(gè)幾何體不規(guī)則時(shí)，可以適當(dāng)補(bǔ)幾何體使得新的幾何體是特殊幾何體時(shí)，往往就容易解決問題了例5如圖,在三棱錐A?BCD中,側(cè)面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=3,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面求二面角B?AC【思路點(diǎn)撥】分析已知得到A,B,C,D是正方體的其中四個(gè)頂點(diǎn)，所以以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過長度找到A點(diǎn)坐標(biāo),求出平面BAC和平面ACD的法向量,求出法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值,即二面角B?AC?練5在三棱錐S?ABC中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°.若AB=2,SC=22，求平面與平面夾角的余弦值.【思路點(diǎn)撥】三棱錐S?ABC中不易找到兩兩垂直的三直線，我們設(shè)法補(bǔ)成特殊幾何體，就容易建立空間直角坐標(biāo)系解決問題了.題型六：補(bǔ)角法題型六：補(bǔ)角法當(dāng)二面角的平面角為鈍角，可以求其補(bǔ)角，再利用定義法或三垂線法來找求二面角.例6在三棱錐S?ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M為AB的中點(diǎn)．求二面角【思路點(diǎn)撥】取CM的中點(diǎn)N，連接DN、SN，分析可知二面角S?CM?A的平面角為∠SND，通過解△SDN練6如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D為AB的中點(diǎn)，若AB=2，A【思路點(diǎn)撥】轉(zhuǎn)化為求其補(bǔ)角，利用三垂線法作出二面角的平面角從而求解．顯然二面角A1?BC1題型七：空間向量法題型七：空間向量法若求一個(gè)二面角不容易使用定義法和三垂線法，又容易建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，則寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)然后求出兩個(gè)平面的法向量，再利用cosθ=a例7已知正方形的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點(diǎn)M在線段AB上.直線DE與平面EMC所成的角為60°，則面MCE與面CEF夾角余弦值為

．

【思路點(diǎn)撥】由面面垂直判定證面ABFE⊥面ADE，結(jié)合翻折后的線線、線面及面面關(guān)系，取AE的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，并應(yīng)用向量法求面面角的余弦值．例8如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD,△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=66DO【思路點(diǎn)撥】二面角B?PC?E練7如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)，∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5．求二面角C?AE?B的正弦值.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)锳B⊥AC，因而以AB，AC分別為軸，軸，就可以建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系了.<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.已知點(diǎn)A、B分別在二面角α?l?β的兩個(gè)面α、β上,AC⊥l，BD⊥l，C、D為垂足，AC=BD=CD，若AB與l成60°角，則二面角α?l?β為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.二面角α?l?β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱l，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，則平面α與平面β的夾角為

．3.已知正四面體ABCD的棱長為1，點(diǎn)M是棱CD的中點(diǎn)，則二面角M?AB?D的余弦值為

．4.在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，現(xiàn)將△ACD沿對(duì)角線AC向上翻折，得到空間四邊形ABCD，若BD=62，則二面角D?AC?B的大小的余弦值為

5.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23(1)證明：BM//平面CDE；(2)求二面角F?BM?E的正弦值．6.在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB⊥AA1，求平面B1BCC7.如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足AE=25AD，AF=12AB，將△AEF(1)證明：EF⊥PD；(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．8.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60°．

(1)證明AD⊥平面PAB；

(2)求異面直線PC與AD所成的角的正切值；

9.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AD⊥平面PCD，平面ADP⊥平面APC，PC=P