5.1.1.2方程的解及一元一次方程在方程的基礎(chǔ)概念中，方程的解是連接未知數(shù)與等量關(guān)系的關(guān)鍵紐帶，而一元一次方程則是最基礎(chǔ)的方程類型，是學(xué)習(xí)更復(fù)雜方程的起點(diǎn)。深入理解方程的解的本質(zhì)、掌握一元一次方程的定義和特征，對(duì)后續(xù)解方程和解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義。一、方程的解的深化理解方程的解的本質(zhì)：方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的取值，它體現(xiàn)了未知數(shù)在特定條件下的“滿足性”。從數(shù)學(xué)意義上看，方程是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的條件等式，方程的解就是滿足這個(gè)條件的未知數(shù)的值。例如：方程\(x+3=5\)的解是\(x=2\)，因?yàn)橹挥挟?dāng)\(x\)取\(2\)時(shí)，等式才能成立。方程的解的個(gè)數(shù)：不同類型的方程，解的個(gè)數(shù)可能不同：一元一次方程通常有且只有一個(gè)解；有些方程可能無(wú)解（如\(x+1=x+2\)，無(wú)論\(x\)取何值，左右兩邊都不相等）；有些方程可能有多個(gè)解（如\(x^2=4\)有兩個(gè)解\(x=2\)和\(x=-2\)）；有些方程可能有無(wú)數(shù)個(gè)解（如\(2x+4=2(x+2)\)，無(wú)論\(x\)取何值，左右兩邊都相等）。檢驗(yàn)方程的解的步驟：檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為方程的解，需嚴(yán)格遵循以下步驟：步驟1：將待檢驗(yàn)的數(shù)代入方程的左邊，計(jì)算出結(jié)果；步驟2：將待檢驗(yàn)的數(shù)代入方程的右邊，計(jì)算出結(jié)果；步驟3：比較左右兩邊的結(jié)果，若相等，則該數(shù)是方程的解；若不相等，則不是。示例：檢驗(yàn)\(x=4\)是否是方程\(3(x-1)=9\)的解。解：代入左邊：\(3??(4-1)=3??3=9\)，代入右邊：\(9\)，左邊\(=\)右邊，因此\(x=4\)是該方程的解。二、一元一次方程的定義核心概念：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是\(1\)（次），等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。例如：\(5x+7=22\)（只含未知數(shù)\(x\)，次數(shù)為\(1\)，整式方程）、\(3(y-2)=4y+1\)（只含未知數(shù)\(y\)，次數(shù)為\(1\)）都是一元一次方程；而\(x+y=5\)（含兩個(gè)未知數(shù)）、\(x^2-4=0\)（未知數(shù)次數(shù)為\(2\)）、\(\frac{1}{x}+3=5\)（不是整式方程）都不是一元一次方程。構(gòu)成要素：一元一次方程必須同時(shí)滿足以下條件：只含有一個(gè)未知數(shù)：方程中所有的未知數(shù)是同一個(gè)字母，不含有其他字母。例如：方程\(2x+3=8\)只含未知數(shù)\(x\)，符合條件；方程\(2x+3y=8\)含兩個(gè)未知數(shù)，不符合條件。未知數(shù)的次數(shù)是\(1\)：方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是\(1\)，且未知數(shù)不能在分母中（否則為分式方程）。例如：方程\(3x^2+5=11\)中未知數(shù)的次數(shù)是\(2\)，不符合條件；方程\(2(x+1)=5\)中未知數(shù)的次數(shù)是\(1\)，符合條件。等號(hào)兩邊都是整式：方程的左右兩邊都是整式（分母中不含未知數(shù)）。例如：方程\(\frac{x}{2}+3=5\)是整式方程（\(\frac{x}{2}\)可化為\(\frac{1}{2}x\)，是單項(xiàng)式）；方程\(\frac{1}{x}+2=5\)是分式方程，不符合條件。一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為\(ax+b=0\)（其中\(zhòng)(a\)、\(b\)是常數(shù)，且\(aa?

0\)）。\(a\)是未知數(shù)的系數(shù)，\(b\)是常數(shù)項(xiàng)；\(aa?

0\)是因?yàn)槿鬨(a=0\)，則方程變?yōu)閈(b=0\)，此時(shí)若\(b=0\)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解；若\(ba?

0\)，方程無(wú)解，不再是一元一次方程。例如：方程\(3x-6=0\)是標(biāo)準(zhǔn)形式（\(a=3\)，\(b=-6\)）；方程\(2x+5=3x\)可整理為標(biāo)準(zhǔn)形式\(-x+5=0\)（\(a=-1\)，\(b=5\)）。三、一元一次方程的識(shí)別方法判斷一個(gè)方程是否為一元一次方程，需按以下步驟逐一驗(yàn)證：檢查是否為整式方程：方程的左右兩邊是否都是整式（分母中不含未知數(shù)）。若不是整式方程，則直接排除。確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)：方程中是否只含有一個(gè)未知數(shù)。若含有兩個(gè)或多個(gè)未知數(shù)，則不是一元一次方程。判斷未知數(shù)的次數(shù)：含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是否為\(1\)。若次數(shù)大于\(1\)或未知數(shù)在分母中，則不是一元一次方程。示例：判斷下列方程是否為一元一次方程：（1）\(4x+7=0\)（2）\(3x^2-2x=1\)（3）\(x+y=5\)（4）\(\frac{x}{3}+2=5x\)（5）\(\frac{1}{x}+3=7\)解：（1）是一元一次方程（整式方程，只含一個(gè)未知數(shù)\(x\)，次數(shù)為\(1\)）；（2）不是（未知數(shù)的次數(shù)是\(2\)）；（3）不是（含有兩個(gè)未知數(shù)\(x\)和\(y\)）；（4）是一元一次方程（整式方程，只含一個(gè)未知數(shù)\(x\)，次數(shù)為\(1\)）；（5）不是（是分式方程，分母中含有未知數(shù)\(x\)）。四、方程的解與一元一次方程的關(guān)系一元一次方程解的唯一性：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式的一元一次方程\(ax+b=0\)（\(aa?

0\)），它有且只有一個(gè)解，解為\(x=-\frac{a}\)。這是一元一次方程區(qū)別于其他方程的重要特征。例如：方程\(2x-6=0\)的解為\(x=3\)，且只有這一個(gè)解。利用方程的解求參數(shù)值：若已知某個(gè)未知數(shù)的值是一元一次方程的解，可將該值代入方程，得到關(guān)于參數(shù)的新方程，進(jìn)而求出參數(shù)的值。示例：已知\(x=2\)是方程\(2x+k=7\)的解，求\(k\)的值。解：將\(x=2\)代入方程得\(2??2+k=7\)，即\(4+k=7\)，解得\(k=3\)。五、常見(jiàn)錯(cuò)誤與規(guī)避方法對(duì)一元一次方程定義理解不透徹：常見(jiàn)錯(cuò)誤：認(rèn)為未知數(shù)的次數(shù)是“字母的個(gè)數(shù)”（如誤將\(3xy=6\)當(dāng)作一元一次方程，實(shí)際含兩個(gè)未知數(shù)，次數(shù)為\(2\)）；忽略“整式方程”條件（如誤將\(\frac{1}{x}+2=5\)當(dāng)作一元一次方程，實(shí)際是分式方程）。規(guī)避方法：牢記一元一次方程的三個(gè)核心條件（“一元”“一次”“整式方程”），逐一驗(yàn)證，特別注意未知數(shù)不能在分母中。檢驗(yàn)方程的解時(shí)步驟不規(guī)范：常見(jiàn)錯(cuò)誤：檢驗(yàn)時(shí)只計(jì)算左邊或右邊，或省略比較步驟（如檢驗(yàn)\(x=3\)是否是方程\(2x+1=7\)的解時(shí)，只算左邊\(=7\)，未算右邊就得出結(jié)論）。規(guī)避方法：嚴(yán)格按照“代入左邊→代入右邊→比較結(jié)果”的步驟進(jìn)行檢驗(yàn)，確保每一步都有依據(jù)。混淆“解”與“解方程”：常見(jiàn)錯(cuò)誤：將“求方程的解”描述為“方程的解是\(x=5\)的過(guò)程”，混淆結(jié)果與過(guò)程。規(guī)避方法：明確“解”是數(shù)值結(jié)果，“解方程”是求這個(gè)結(jié)果的過(guò)程，通過(guò)具體語(yǔ)境區(qū)分二者。六、典型例題解析識(shí)別一元一次方程：例：下列方程中，屬于一元一次方程的是（

）A.\(x+2y=1\)B.\(x^2-4x=3\)C.\(x=0\)D.\(\frac{1}{x}+2=5\)解：A含兩個(gè)未知數(shù)，B未知數(shù)次數(shù)為\(2\)，D是分式方程，只有C符合一元一次方程的定義。答案：C。利用方程的解求參數(shù)：例：已知\(x=-1\)是方程\(3x-2a=5\)的解，求\(a\)的值。解：將\(x=-1\)代入方程得\(3??(-1)-2a=5\)，即\(-3-2a=5\)，移項(xiàng)得\(-2a=5+3\)，合并得\(-2a=8\)，解得\(a=-4\)。根據(jù)條件列一元一次方程：例：一個(gè)數(shù)的\(5\)倍減去\(3\)等于這個(gè)數(shù)的\(2\)倍加上\(6\)，設(shè)這個(gè)數(shù)為\(x\)，列出一元一次方程。解：等量關(guān)系：這個(gè)數(shù)的\(5\)倍-\(3=\)這個(gè)數(shù)的\(2\)倍+\(6\)，列方程：\(5x-3=2x+6\)。判斷方程解的情況：例：方程\(2x+3=2x+5\)有解嗎？為什么？解：無(wú)解。理由：將方程兩邊同時(shí)減去\(2x\)得\(3=5\)，該等式不成立，因此無(wú)論\(x\)取何值，原方程都不成立，即方程無(wú)解。方程的解是滿足方程等量關(guān)系的未知數(shù)的值，檢驗(yàn)解的過(guò)程是驗(yàn)證等量關(guān)系的關(guān)鍵；一元一次方程作為最基礎(chǔ)的方程類型，其“一元”“一次”“整式方程”的特征需準(zhǔn)確把握。通過(guò)理解方程解的本質(zhì)、掌握一元一次方程的定義和識(shí)別方法，可為后續(xù)學(xué)習(xí)一元一次方程的解法奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，要學(xué)會(huì)利用方程的解的性質(zhì)解決參數(shù)問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)方程思想的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。2024人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

5.1.1.2方程的解及一元一次方程第五章

一元一次方程aiTujmiaNg1.掌握方程的解的概念2.知道一元一次方程的概念已知甲糧倉(cāng)有糧食729

t，乙糧倉(cāng)有糧食384

t.為了使甲糧倉(cāng)糧食儲(chǔ)量是乙糧倉(cāng)糧食儲(chǔ)量的2倍，需要從乙糧倉(cāng)運(yùn)送多少噸糧食到甲糧倉(cāng)？解：設(shè)需要從乙糧倉(cāng)運(yùn)送x

t糧食到甲糧倉(cāng).根據(jù)題意，列得方程729+x＝2(384－x).列方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要方法，要想得到實(shí)際問(wèn)題的解，還需要求出方程中未知數(shù)的值.那么，怎樣求出符合方程的未知數(shù)的值呢？估算方程1700+150x=2450中未知數(shù)x

的值是多少？x12345…1700+150x…18502000215023002450當(dāng)x=5時(shí)，方程1700+150x=2450等號(hào)左右兩邊相等.

x=5叫作方程1700+150x=2450的解.一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解.求方程的解的過(guò)程，叫作解方程.說(shuō)一說(shuō)當(dāng)x

等于幾時(shí)，方程1.2x+1=0.8x+3左、右兩邊的值相等？x12345…1.2x+1…0.8x

+

3…2.23.83.44.64.65.45.86.277當(dāng)x=5時(shí)，左邊=1.2×5+1=7，右邊=0.8×5+3=7，這時(shí)方程左、右兩邊的值相等.例題【教材P114】

例2（1）x=2，x=是方程2x=3的解嗎？解：當(dāng)x=2時(shí)，方程2x=3的左邊=2×2=4，右邊=3，方程左、右兩邊的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解.例題【教材P114】

例2（1）x=2，x=是方程2x=3的解嗎？右邊=3，方程左、右兩邊的值相等，當(dāng)x=時(shí)，方程2x=3的左邊=2×=3，所以x=是方程2x=3的解.（2）x=10，x=20是方程3x=4(x-

5)

的解嗎？當(dāng)x=10時(shí)，方程3x=4(x-5)的左邊=3×10=30，右邊=4×(10-5)=20，方程左、右兩邊的值不相等，所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解.（2）x=10，x=20是方程3x=4(x-

5)

的解嗎？當(dāng)x=20時(shí)，方程3x=4(x-5)的左邊=3×20=60，右邊=4×(20-5)=60，方程左、右兩邊的值相等，所以x=20是方程3x=4(x-5)的解.特別提醒方程的解與解方程的區(qū)別及聯(lián)系：類型方程的解解方程區(qū)別聯(lián)系是一個(gè)具體的數(shù)，是解方程的結(jié)果求方程的解的過(guò)程方程的解是通過(guò)解方程求得的思考x=60是方程x2=4000的解嗎？x=80呢？解：當(dāng)x=60時(shí)，方程的左邊=×602=2250，右邊=4000，方程左、右兩邊的值不相等，所以x=60不是方程x2=4000的解.思考x=60是方程x2=4000的解嗎？x=80呢？當(dāng)x=80時(shí)，方程的左邊=×802=4000，右邊=4000，方程左、右兩邊的值相等，所以x=80是方程x2=4000的解.解題策略檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是方程的解的方法：把這個(gè)數(shù)分別代入方程的左、右兩邊，當(dāng)左邊＝右邊時(shí)，這個(gè)數(shù)是方程的解，當(dāng)左邊≠右邊時(shí)，這個(gè)數(shù)不是方程的解.思考觀察方程1.2x+1=0.8x+33x=4(

x-5)它們有什么共同特征？只含一個(gè)未知數(shù)的等式未知數(shù)的次數(shù)都是10.52x－(1-0.52)x=80含有未知數(shù)的式子都是整式一元一次方程一般地，如果方程中只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫作一元一次方程.一元一次方程的三個(gè)要素：①只含有一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的次數(shù)都是1；③是整式方程三者缺一不可及時(shí)鞏固下列式子中，是一元一次方程的是______（填序號(hào)）.①1+4=2+3；②x+y=1；③=3；④x2-2x-1=0；⑤=3；⑥6+5y=2y-3.不含未知數(shù)含有兩個(gè)未知數(shù)是未知數(shù)最高次數(shù)是2不是整式是③⑥識(shí)別一元一次方程的一般步驟：觀察方程是否是整式方程不是一元一次方程方程是否只含有一個(gè)未知數(shù)不是一元一次方程方程中未知數(shù)的次數(shù)是否都是1不是一元一次方程是一元一次方程是是是否否否溯源用“元”表示未知數(shù)，源于我國(guó)宋元時(shí)期的“天元術(shù)”.天元術(shù)指的是用“天元”表示未知數(shù)，進(jìn)而列出方程，現(xiàn)存的使用天元術(shù)的最早著作是這一時(shí)期我國(guó)數(shù)學(xué)家李冶(1192-1279)于1248年所著的《測(cè)圓海鏡》，書(shū)中的“立天元一”相當(dāng)于現(xiàn)在的“設(shè)未知數(shù)x”。后來(lái)在研究涉及多個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題時(shí)，又引入“地元”“人元”