數(shù)學(xué)探究用向量法研究三角形的性質(zhì)◆一、數(shù)學(xué)探究的定義數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí),是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題自主探究、學(xué)習(xí)的過程.這個過程包括:觀察分析數(shù)學(xué)事實、提出有意義的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)探究猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律、給出解釋或證明.數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式,有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程,初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系,初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力;有助于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力.◆二、數(shù)學(xué)探究的基本步驟數(shù)學(xué)探究的基本步驟如下:(1)討論探究方案,確定研究思路;(2)獨自探究,撰寫個人研究報告;(3)交流討論,完善研究成果,形成共同的研究報告;(4)進(jìn)行成果交流、評價.◆一、數(shù)學(xué)探究實例1.背景在向量整章知識學(xué)習(xí)完以后,學(xué)生對于向量能解決平面幾何中的計算問題已有了一定的了解,而且學(xué)生對于用向量來證明幾何中的垂直和平行問題很感興趣,有一部分學(xué)生對于幾何中的證明在獨立地或互相討論地進(jìn)行探索.為了幫助學(xué)生改變原有的單純接受式的學(xué)習(xí)方式,在開展有效地學(xué)習(xí)的同時,形成一種對知識進(jìn)行主動探求的積極的學(xué)習(xí)方式,在向量的復(fù)習(xí)課上讓學(xué)生通過自主探究和小組合作的研究性學(xué)習(xí)方式來用向量的知識解決平面幾何中的定理證明.2.選題運用向量的知識不但可以解決平面幾何中的垂直和平行的證明和計算等問題,而且還能解決平面幾何中一些定理的證明問題.先回顧初中我們學(xué)習(xí)過的一些定理,然后讓每位學(xué)生獨立地選擇一個自己比較熟悉或感興趣的平面幾何中的定理,運用向量的知識進(jìn)行證明.下面是學(xué)生確定的定理:(1)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(2)三角形的角平分線的交點叫作三角形的內(nèi)心,它是三角形內(nèi)切圓的圓心,它到各邊的距離相等.(3)三角形的外接圓圓心,即外心,是三角形三邊的垂直平分線的交點,它到三個頂點的距離相等.(4)三角形的三條高的交點叫作三角形的垂心.(5)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.(6)三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分第三邊得到的兩條線段對應(yīng)之比.3.探究用向量的方法證明三角形內(nèi)角平分線定理:三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分第三邊得到的兩條線段對應(yīng)之比.如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線為AD,交BC于點D,求證:ABAC=BD分析∵AD為角平分線,∴AD=λ|AB|AB+λ|AC|AC(λ∈R).由B,D,C三點共線得到BD=μBC(0<μ<1),進(jìn)而可以得到AD=(1-μ)AB+μAC.根據(jù)平面向量基本定理可得出|AB||AC|=μ1-解答證明:∵AD為角平分線,∴存在實數(shù)λ,使AD=λAB|AB|+AC|∵B,D,C三點共線,∴存在實數(shù)μ,使BD=μBC(0<μ<1),∴AD-AB=μ(AC-AB),∴AD=(1-μ)AB+μAC②.由①②及平面向量基本定理得λ∴λ|AC|λ|∵BD=μBC,∴DC=(1-μ)BC,∴|BD||DC|=μ1-μ,∴4.總結(jié)利用向量法的“三步曲”:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量或其坐標(biāo)表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算或其坐標(biāo)運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角、平行、垂直等;(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.◆二、數(shù)學(xué)探究活動研究報告用向量法研究三角形的性質(zhì)年級班 完成時間:

1.本課題組的成員姓名某某某某某某某某某2.發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論及發(fā)現(xiàn)過程概述運用向量的知識不但可以解決平面幾何中的垂直和平行的證明和計算等問題,而且還能解決平面幾何中一些定理的證明問題.先回顧初中我們學(xué)習(xí)過的一些定理,然后讓每位學(xué)生獨立地選擇一個自己比較熟悉或感興趣的平面幾何中的定理,運用向量的知識進(jìn)行證明.角平分線定理:三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分第三邊得到的兩條線段對應(yīng)之比3.證明思路及其形成過程描述證明思路:先將定理用符號語言描述,再通過向量進(jìn)行解答.如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線為AD,交BC于點D,求證:ABAC=BD∵AD為角平分線,∴AD=λ|AB|AB+λ|AC|AC(λ∈R).由B,D,C三點共線得到BD=μBC(0<μ<1),進(jìn)而可以得到AD=(1-μ)AB+μAC.根據(jù)平面向量基本定理可得出|AB||AC|=μ4.結(jié)論的證明或否定證明:∵AD為角平分線,∴存在實數(shù)λ,使AD=λAB|AB|+AC|∵B,D,C三點共線,∴存在實數(shù)μ,使BD=μBC(0<μ<1),∴AD-AB=μ(AC-AB),∴AD=(1-μ)AB+μAC②.由①②及平面向量基本定理得λ|AB|=1-μ,∵BD=μBC,∴DC=(1-μ)BC,∴|BD||DC|=μ1-μ,5.用向量方法探索幾何圖形性質(zhì)的一般步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量或其坐標(biāo)表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算或其坐標(biāo)運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角、平行、垂直等;(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系6.收獲與體會向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性,用它研究問題時可以實現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機結(jié)合,因而向量方法是幾何研究的一個有效的工具1.在長方形ABCD中,已知AB=3,BC=2,E為BC的中點,P為AB上一點,試?yán)孟蛄恐R判斷點P在什