南大線代期中考試及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)為常數(shù)，則\(|kA|=(\)\)A.\(k|A|\)B.\(k^n|A|\)C.\(|k||A|\)D.\(|k|^n|A|\)2.若\(A\)，\(B\)均為\(n\)階可逆矩陣，則\((AB)^{-1}=(\)\)A.\(A^{-1}B^{-1}\)B.\(B^{-1}A^{-1}\)C.\(AB\)D.\(BA\)3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是(\)A.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個零向量B.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有兩個向量成比例C.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個向量可由其余向量線性表示D.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意一個向量可由其余向量線性表示4.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(r(A)=2\)，則(\)A.\(A\)可逆B.\(|A|=0\)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.\(A\)的行向量組線性無關(guān)5.已知\(A\)是\(n\)階方陣，且滿足\(A^2-A-2E=0\)，則\(A^{-1}=(\)\)A.\(A-E\)B.\(\frac{1}{2}(A-E)\)C.\(A+E\)D.\(\frac{1}{2}(A+E)\)6.若\(A\)是正交矩陣，則(\)A.\(A^TA=E\)B.\(|A|=1\)C.\(A\)可逆且\(A^{-1}=A^T\)D.以上都對7.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)只有零解的充分必要條件是(\)A.\(m\geqn\)B.\(r(A)=m\)C.\(r(A)=n\)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^2\)的一個特征值是(\)A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(2\lambda\)D.\(\lambda+2\)9.已知向量\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(3,2,1)\)，則\(\alpha\cdot\beta=(\)\)A.\(10\)B.\(12\)C.\(8\)D.\(6\)10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)與對角矩陣相似，則(\)A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值B.\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量C.\(A\)是對稱矩陣D.\(|A|\neq0\)答案：1.B2.B3.C4.B5.D6.C7.C8.B9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列結(jié)論正確的是(\)A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\((A+B)^=A^+B^\)D.\(|AB|=|A||B|\)2.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，\(\alpha_4=(1,1,1)\)，則(\)A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)線性相關(guān)C.\(\alpha_4\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的一個極大線性無關(guān)組3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則(\)A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((\lambdaE-A)\xi=0\)C.\(\lambda\)是方程\(|\lambdaE-A|=0\)的根D.對于不同的特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)4.下列矩陣中，是正交矩陣的有(\)A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)5.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=b\)有解的充分必要條件是(\)A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(b\)可由\(A\)的列向量組線性表示C.\(r(A)=n\)D.\(r(A|b)=m\)6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\simB\)，則(\)A.\(|A|=|B|\)B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)與\(B\)合同7.以下關(guān)于矩陣的秩的說法正確的是(\)A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)D.若\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)8.設(shè)\(\alpha,\beta,\gamma\)為向量，下列運(yùn)算正確的是(\)A.\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)B.\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)C.\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)D.\(k(l\alpha)=(kl)\alpha\)9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)滿足(\)A.\(AA^=|A|E\)B.若\(|A|\neq0\)，則\(A^=|A|A^{-1}\)C.\(r(A^)=\begin{cases}n,&r(A)=n\\1,&r(A)=n-1\\0,&r(A)\ltn-1\end{cases}\)D.\(|A^|=|A|^{n-1}\)10.已知矩陣\(A\)可相似對角化，\(P\)為可逆矩陣使得\(P^{-1}AP=\Lambda\)（\(\Lambda\)為對角矩陣），則(\)A.\(A\)的特征值為\(\Lambda\)的對角元素B.\(P\)的列向量是\(A\)的特征向量C.\(A\)與\(\Lambda\)有相同的秩D.\(A\)與\(\Lambda\)有相同的行列式答案：1.BD2.ABCD3.ACD4.ACD5.AB6.ABC7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）2.向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，向量組一定線性相關(guān)。（）3.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)\ltn\)，則\(|A|=0\)。（）4.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)。（）5.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)為常數(shù)）。（）6.線性方程組\(Ax=b\)的解向量的任意線性組合仍是該方程組的解。（）7.若\(A\)與\(B\)等價，則\(A\)與\(B\)有相同的秩。（）8.方陣\(A\)的屬于不同特征值的特征向量一定正交。（）9.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（）10.矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關(guān)性。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有：\(|A|\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)與\(n\)階單位矩陣\(E\)等價；\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)；\(Ax=0\)只有零解等。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組線性相關(guān)；若僅當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)成立，則稱向量組線性無關(guān)。3.簡述求矩陣特征值和特征向量的步驟。答：先求特征多項式\(|\lambdaE-A|\)，令\(|\lambdaE-A|=0\)，解出特征值\(\lambda\)。對于每個特征值\(\lambda_i\)，求解齊次線性方程組\((\lambda_iE-A)x=0\)，其非零解就是屬于\(\lambda_i\)的特征向量。4.簡述矩陣的秩的定義。答：矩陣\(A\)的行向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為矩陣\(A\)的行秩，列向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為矩陣\(A\)的列秩，矩陣的行秩與列秩相等，統(tǒng)稱為矩陣\(A\)的秩。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論矩陣相似對角化的意義和應(yīng)用。答：意義在于將復(fù)雜矩陣轉(zhuǎn)化為簡單的對角矩陣進(jìn)行研究。應(yīng)用廣泛，如計算矩陣的高次冪，通過相似對角化\(A=P\LambdaP^{-1}\)，則\(A^n=P\Lambda^nP^{-1}\)，簡化計算。在微分方程、動力系統(tǒng)等領(lǐng)域也用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性等問題。2.探討線性方程組解的結(jié)構(gòu)與向量空間的關(guān)系。答：線性方程組\(Ax=b\)的解與向量空間聯(lián)系緊密。其對應(yīng)的齊次方程\(Ax=0\)的解空間是向量空間的子空間，基礎(chǔ)解系是該子空間的基。非齊次方程\(Ax=b\)的通解是一個特解加上齊次方程通解，反映了向量空間中不