2025年數(shù)學(xué)類的綜合試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，則\(A\capB\)的元素個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4答案：B2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)答案：A3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,-4)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x\)的值為（）A.2B.-2C.8D.-8答案：B4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_5=10\)，則\(a_4\)的值為（）A.5B.6C.8D.10答案：A5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B6.直線\(3x+4y-12=0\)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是（）A.6B.12C.24D.48答案：A7.圓\(x^2+y^2-4x+6y=0\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((2,-3)\)B.\((-2,3)\)C.\((-2,-3)\)D.\((2,3)\)答案：A8.已知函數(shù)\(f(x)=x^3\)，則\(f^\prime(1)\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：C9.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加活動(dòng)，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法種數(shù)為（）A.46B.56C.64D.72答案：A10.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則雙曲線的離心率為（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.以下說法正確的是（）A.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)B.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)C.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a+c>b+d\)D.若\(a>b\)，\(ab>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)答案：CD2.下列函數(shù)中，在其定義域上是增函數(shù)的是（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\log_2x\)C.\(y=x^3\)D.\(y=x^2\)答案：ABC3.已知\(\alpha\)是銳角，\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，則（）A.\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)B.\(\tan\alpha=\frac{4}{3}\)C.\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{7\sqrt{2}}{10}\)D.\(\sin2\alpha=\frac{24}{25}\)答案：ABCD4.對(duì)于直線\(l:ax+by+c=0\)，以下說法正確的是（）A.當(dāng)\(a=0\)，\(b\neq0\)時(shí)，直線\(l\)平行于\(x\)軸B.當(dāng)\(b=0\)，\(a\neq0\)時(shí)，直線\(l\)平行于\(y\)軸C.直線\(l\)的斜率為\(-\frac{a}\)D.若直線\(l\)與兩坐標(biāo)軸都相交，則它在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為\(-\frac{c}{a}\)，\(-\frac{c}\)（\(a\neq0\)，\(b\neq0\)）答案：ABD5.一個(gè)正方體的棱長為\(a\)，以下說法正確的是（）A.正方體的表面積為\(6a^2\)B.正方體的體積為\(a^3\)C.正方體的外接球半徑為\(\frac{\sqrt{3}}{2}a\)D.正方體的內(nèi)切球半徑為\(\frac{a}{2}\)答案：ABCD6.已知函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)（\(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((0,\frac{1}{2})\)，則（）A.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增C.函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)的最小正周期為\(\pi\)D.函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{5\pi}{12},0)\)對(duì)稱答案：ABCD7.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），\(F_1,F_2\)為其左右焦點(diǎn)，\(P\)為橢圓上一點(diǎn)，\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，且\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)，則以下說法正確的是（）A.橢圓的焦距為\(2c\)B.\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(\frac{\sqrt{3}}{3}b^2\)C.若\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)，則\(|PF_1|\cdot|PF_2|=4\)D.橢圓的離心率\(e\)的取值范圍是\([\frac{1}{2},1)\)答案：ABCD8.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+n\)，則（）A.\(a_1=2\)B.\(a_n=2n\)C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的最小值為\(2\)答案：ABC9.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-4x\)，則（）A.\(f(0)=0\)B.當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-4x\)C.\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-2,2)\)D.\(f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((0,0)\)對(duì)稱答案：ABD10.以下關(guān)于排列組合的說法正確的是（）A.\(A_{n}^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)B.\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)C.\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)D.\(A_{n}^m=C_{n}^m\cdotA_{m}^m\)答案：ABCD三、判斷題1.空集是任何集合的真子集。（）答案：錯(cuò)誤2.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）答案：正確3.若\(a\cdotb=0\)，則\(a=0\)或\(b=0\)。（）答案：錯(cuò)誤4.直線\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）在\(y\)軸上的截距是\(b\)。（）答案：正確5.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心是原點(diǎn)\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）答案：正確6.若\(a>b\)，\(c<0\)，則\(ac<bc\)。（）答案：正確7.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(d\)是公差。（）答案：正確8.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的定義域是\((0,+\infty)\)。（）答案：正確9.若\(A,B\)是互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）答案：正確10.拋物線\(y^2=2px\)（\(p>0\)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((\frac{p}{2},0)\)。（）答案：正確四、簡答題1.求函數(shù)\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。先對(duì)不等式進(jìn)行求解，\(2k\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\leq2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)，即\(2k\pi-\frac{\pi}{3}\leq2x\leq2k\pi+\frac{2\pi}{3}\)，進(jìn)一步得到\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)。所以函數(shù)\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。則\(a_5-a_3=2d\)，已知\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，所以\(2d=9-5=4\)，解得\(d=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，把\(d=2\)代入可得\(a_1+2\times2=5\)，即\(a_1=1\)。那么通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\)。3.求過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：因?yàn)樗笾本€與直線\(2x-y+1=0\)平行，所以它們斜率相等。直線\(2x-y+1=0\)可化為\(y=2x+1\)，其斜率為\(2\)。設(shè)所求直線方程為\(y=2x+b\)，把點(diǎn)\((1,2)\)代入可得\(2=2\times1+b\)，解得\(b=0\)。所以所求直線方程為\(y=2x\)，即\(2x-y=0\)。4.已知圓\(C\)的方程為\(x^2+y^2-4x+6y-3=0\)，求圓心坐標(biāo)和半徑。答案：將圓\(C\)的方程\(x^2+y^2-4x+6y-3=0\)轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。配方可得\((x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0\)，即\((x-2)^2+(y+3)^2=16\)。所以圓心坐標(biāo)為\((2,-3)\)，半徑\(r=4\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)性與極值。答案：先對(duì)函數(shù)\(y=x^3-3x\)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime=0\)，則\(3(x+1)(x-1)=0\)，解得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x<-1\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-1<x<1\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，函數(shù)取得極大值\(y=(-1)^3-3\times(-1)=2\)；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，函數(shù)取得極小值\(y=1^3-3\times1=-2\)。2.已知橢圓\(\fra